Esercizio - trasformata di impulsi discreti e teorema di Parseval

Testo (dispense del corso Teoria dei Segnali, UniPD, Es. 6.3A e 6.3B, con $A_0$ costante reale).

• 6.3A Valutare le trasformate di Fourier dei segnali $$s_1(nT)=\begin{cases}A_0&n=\pm1\\0&\text{altrove}\end{cases},\qquad s_2(nT)=\begin{cases}A_0&n=-1,0,1\\0&\text{altrove}\end{cases}$$ e verificare che $S_1(f)$ ed $S_2(f)$ sono funzioni periodiche di periodo $F_p=1/T$, reali e pari.
• 6.3B Con riferimento all'esercizio precedente, verificare il teorema di Parseval.

Teoria usata: Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto → (definizione, periodicità, simmetrie, area, Parseval), Segnali a tempo discretoUn segnale a tempo discreto è una funzione complessa $s(nT)$ definita sui multipli interi del quanto temporale $T$ (insieme $\mathbb Z(T)$, velocità $F_p=1/T$). Le definizioni sono quelle dei segnali continui con la somma al posto dell'integrale e il quanto $T$ al posto di $dt$: area $\sum T,s(nT)$, energia $\sum T|s(nT)|^2$, convoluzione $\sum T,x(kT)y(nT-kT)$. L'impulso ideale discreto vale $1/T$ nell'origine. Esponenziali e sinusoidi discreti sono periodici solo se $f_0/F_p$ è razionale e hanno frequenza ambigua a meno di multipli di $F_p$. I segnali periodici con periodo $NT$ sono descritti da $N$ valori e si trattano al calcolatore.Segnali a tempo discreto → (impulso ideale discreto), Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi → (formula di Eulero).

Promemoria: la trasformata di un segnale discreto

Con il quanto temporale $T$ (e $F_p=1/T$) la trasformata è

$$S(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}T\,s(nT)\,e^{-i2\pi fnT},\qquad s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)\,e^{i2\pi fnT}\,df .$$

Il fattore $T$ davanti a ogni campione è lo stesso peso che compare nell'area e nell'energia. Per un segnale a durata limitata la serie è una somma finita, quindi si calcola in forma chiusa. Il teorema di Parseval (6.11) dice

$$\sum_nT\,|s(nT)|^2=\int_0^{F_p}|S(f)|^2\,df ,$$

cioè l'energia calcolata nel tempo è uguale all'area di $|S|^2$ su un periodo (qualunque, perché $S$ è periodica).

Es. 6.3A: calcolo di $S_1$ e $S_2$

$s_1$. Ha solo due campioni non nulli, in $n=-1$ e in $n=+1$, entrambi uguali a $A_0$. Nella somma sopravvivono quei due termini:

$$S_1(f)=T A_0\,e^{-i2\pi f(-1)T}+T A_0\,e^{-i2\pi f(+1)T}=TA_0\left(e^{i2\pi fT}+e^{-i2\pi fT}\right).$$

Per la formula di Eulero $e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}=2\cos\varphi$, quindi

$$\boxed{S_1(f)=2A_0T\cos(2\pi fT)}.$$

(Stesso risultato con gli impulsi: $s_1(nT)=A_0T\,[\delta(nT+T)+\delta(nT-T)]$ perché l'impulso ideale vale $\frac1T$ e il suo coefficiente deve essere $T\,s(mT)=TA_0$; e dalla regola (6.13) $\delta(nT-n_0T)\xrightarrow{\mathcal F}e^{-i2\pi fn_0T}$.)

$s_2$. Rispetto a $s_1$ c'è in più il campione $n=0$, che contribuisce con $TA_0\,e^{0}=TA_0$:

$$S_2(f)=TA_0\left(e^{i2\pi fT}+1+e^{-i2\pi fT}\right)=\boxed{A_0T\,\bigl[1+2\cos(2\pi fT)\bigr]}.$$

Forma chiusa equivalente. $s_2$ è un impulso rettangolare di $N=2n_0+1=3$ campioni ($n_0=1$) e la formula (6.15)-(6.16) del testo dà $S_2(f)=A_0NT\operatorname{sinc}_N(fNT)=A_0T\dfrac{\sin(3\pi fT)}{\sin(\pi fT)}$. È la stessa funzione: con $x=\pi fT$ vale $\sin3x=\sin x\,(3-4\sin^2x)=\sin x\,(1+2\cos2x)$ (perché $3-4\sin^2x=3-2(1-\cos2x)=1+2\cos2x$), da cui $\frac{\sin3x}{\sin x}=1+2\cos2x$ con $2x=2\pi fT$. Il punto $f=0$ è una forma $\frac00$ e il valore va preso come limite: $3$.

Verifica delle tre proprietà.

• Periodicità di periodo $F_p=1/T$. $\cos(2\pi(f+F_p)T)=\cos(2\pi fT+2\pi)=\cos(2\pi fT)$. È un fatto generale: ogni termine $e^{-i2\pi fnT}$ con $n$ intero non cambia se $f\to f+F_p$, perché $e^{-i2\pi F_pnT}=e^{-i2\pi n}=1$.
• Reali. In $S_1$ e $S_2$ le esponenziali compaiono in coppie coniugate $e^{i\varphi}$, $e^{-i\varphi}$ con lo stesso coefficiente reale $TA_0$, la cui somma è $2\cos\varphi$, reale (si ricordi che $A_0$ è reale).
• Pari. Il coseno è pari: $S(-f)=S(f)$.

Queste proprietà sono la conseguenza della regola generale: segnale reale e pari $\Rightarrow$ trasformata reale e pari (Fig. 6.2 del testo).

Qualche valore (in unità $A_0T$) per leggere la forma:

In $f=0$ si riconosce l'area del segnale: $S_1(0)=2A_0T=T(A_0+A_0)$, $S_2(0)=3A_0T=\operatorname{area}(s_2)$. Il primo zero di $S_2$ è in $f=\frac{F_p}3$.

Es. 6.3B: teorema di Parseval

Si confronta, per ciascun segnale, l'energia nel tempo con l'integrale di $|S|^2$ su un periodo $[0,F_p]$.

Energia nel tempo. Solo i campioni non nulli contano, ciascuno con peso $T$:

$$E_1=T\left(A_0^2+A_0^2\right)=2A_0^2T,\qquad E_2=T\left(A_0^2+A_0^2+A_0^2\right)=3A_0^2T .$$

Energia in frequenza per $s_1$. Poiché $S_1$ è reale, $|S_1|^2=4A_0^2T^2\cos^2(2\pi fT)$. Si usa $\cos^2\varphi=\frac{1+\cos2\varphi}2$:

$$\int_0^{F_p}\cos^2(2\pi fT)\,df=\int_0^{F_p}\frac{1+\cos(4\pi fT)}{2}\,df=\frac{F_p}2+0=\frac{F_p}{2},$$

perché $\cos(4\pi fT)$ compie esattamente due periodi su $[0,F_p]$ e il suo integrale su un numero intero di periodi è nullo. Quindi

$$\int_0^{F_p}|S_1|^2df=4A_0^2T^2\cdot\frac{F_p}2=2A_0^2T^2\cdot\frac1T=2A_0^2T=E_1 .\ \checkmark$$

Energia in frequenza per $s_2$. $|S_2|^2=A_0^2T^2\,(1+2c)^2=A_0^2T^2\,(1+4c+4c^2)$ con $c=\cos(2\pi fT)$. Su $[0,F_p]$: $\int1\,df=F_p$, $\int c\,df=0$ (un periodo intero), $\int c^2\,df=\frac{F_p}2$ (come sopra). Perciò

$$\int_0^{F_p}|S_2|^2df=A_0^2T^2\left(F_p+0+4\cdot\frac{F_p}2\right)=3A_0^2T^2F_p=3A_0^2T=E_2 .\ \checkmark$$

Il teorema è verificato in entrambi i casi. Si noti come tornano i fattori $T$: il quadrato di $S$ porta $T^2$, l'integrale su un periodo porta $F_p=\frac1T$, e il prodotto $T^2F_p=T$ è esattamente il peso $T$ dell'energia nel tempo.

Le due regole "area" collegate (6.10). Valgono anche $S(0)=\operatorname{area}(s)$ (già visto) e la proprietà duale $s(0)=\int_0^{F_p}S(f)\,df$. Per $s_1$: $\int_0^{F_p}2A_0T\cos(2\pi fT)\,df=0=s_1(0)$ ✓. Per $s_2$: $\int_0^{F_p}A_0T\,(1+2\cos(2\pi fT))\,df=A_0TF_p=A_0=s_2(0)$ ✓.

Controllo

Il codice calcola $S(f)$ sommando davvero la serie (6.1) su una griglia di frequenze (non usa la forma chiusa) e poi confronta con le formule trovate e con Parseval.

import numpy as np

A0, T = 2.0, 0.3
Fp = 1 / T
n = np.arange(-1, 2)                              # n = -1, 0, 1
s1 = np.array([A0, 0.0, A0])                      # A0 per n = +-1
s2 = np.array([A0, A0, A0])                       # A0 per n = -1, 0, 1

f = np.linspace(0, Fp, 20001)                     # un periodo
def trasformata(s, f):
    """S(f) = somma di T s(nT) e^{-i 2 pi f n T}, calcolata punto per punto"""
    return np.array([np.sum(T * s * np.exp(-2j * np.pi * ff * n * T)) for ff in f])

S1, S2 = trasformata(s1, f), trasformata(s2, f)
print("S1 reale:", np.max(np.abs(S1.imag)), " S2 reale:", np.max(np.abs(S2.imag)))
print("S1 = 2 A0 T cos:", np.allclose(S1.real, 2 * A0 * T * np.cos(2 * np.pi * f * T)))
print("S2 = A0 T (1 + 2 cos):", np.allclose(S2.real, A0 * T * (1 + 2 * np.cos(2 * np.pi * f * T))))
print("S2 = A0 T sin(3 pi fT)/sin(pi fT):", np.allclose(S2.real[1:-1], A0 * T * np.sin(3 * np.pi * f[1:-1] * T) / np.sin(np.pi * f[1:-1] * T)))

# periodicita' Fp e parita'
fx = np.array([0.37, 1.1, 2.9])
print("periodica:", np.allclose(trasformata(s2, fx), trasformata(s2, fx + Fp)))
print("pari:", np.allclose(trasformata(s2, fx), trasformata(s2, -fx)))

# Parseval
for nome, s, S in (("s1", s1, S1), ("s2", s2, S2)):
    E_tempo = np.sum(T * np.abs(s)**2)
    E_freq = np.trapezoid(np.abs(S)**2, f)        # integrale su un periodo
    print(nome, "energia nel tempo", E_tempo, " integrale di |S|^2 su un periodo", E_freq)
print("attese: 2 A0^2 T =", 2 * A0**2 * T, "  3 A0^2 T =", 3 * A0**2 * T)

# area e proprieta' duale
print("S1(0) =", S1[0].real, " area =", np.sum(T * s1), "  S2(0) =", S2[0].real, " area =", np.sum(T * s2))
print("s1(0) = int S1 df =", np.trapezoid(S1.real, f), "  s2(0) = int S2 df =", np.trapezoid(S2.real, f))

Risultati con $A_0=2$, $T=0{,}3$: parte immaginaria nulla; le tre uguaglianze di forma chiusa risultano vere; periodicità e parità vere; $E_1=2{,}4=\int|S_1|^2$ e $E_2=3{,}6=\int|S_2|^2$ (coincidono a meno di $10^{-15}$); $S_1(0)=1{,}2=\operatorname{area}(s_1)$, $S_2(0)=1{,}8=\operatorname{area}(s_2)$; $\int S_1\,df=0=s_1(0)$ e $\int S_2\,df=2=s_2(0)=A_0$. (np.trapezoid è np.trapz nelle versioni di NumPy precedenti alla 2.0.)

Errori comuni

• Dimenticare il peso $T$ davanti a ogni campione in $S(f)$: si otterrebbe $S/T$ e Parseval non tornerebbe.
• Integrare $|S|^2$ su tutto l'asse reale invece che su un periodo: $S$ è periodica e l'integrale su $\mathbb R$ sarebbe infinito.
• Dire che $S_2$ si annulla in $f=\frac{F_p}2$: lì vale $-A_0T$; il primo zero è in $\frac{F_p}3$.
• Dimenticare che $A_0$ deve essere reale perché $S$ sia reale: per $A_0$ complesso $S$ è complessa (ma resta pari).