Sistemi continui descritti da equazioni differenziali

Questa nota è il gemello continuo di Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata g*x. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto →: si ripetono le stesse idee (stato, evoluzione libera, risposta forzata, tre metodi) con derivate al posto dei ritardi e la trasformata di Laplace al posto della zeta (Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →, Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità → nella materia gemella; Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo → e Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → per la teoria delle equazioni differenziali).

Equazione differenziale e sistema

Definizione (sistema descritto da un'equazione differenziale). $$\sum_{i=0}^{n}a_i\,y^{(i)}(t)=\sum_{i=0}^{m}b_i\,x^{(i)}(t),\qquad a_n\neq0,$$ con $y^{(i)}$ derivata $i$-esima. $n$ è l'ordine. I coefficienti costanti rendono il sistema tempo-invariante; l'equazione è lineare, ma il sistema è lineare sull'ingresso solo se parte da condizioni iniziali nulle.

Il caso con $b_i$ qualunque si riconduce a quello "ridotto" $\sum a_iy^{(i)}=\tilde x$ con $\tilde x=\sum b_ix^{(i)}$ (derivazioni e moltiplicazioni per costanti dell'ingresso).

Dato un ingresso $x(t)$ causale a partire da $t=0$, la sola equazione non determina $y$: servono le condizioni iniziali $y(0),y'(0),\dots,y^{(n-1)}(0)$, cioè lo stato iniziale (energia già immagazzinata). Esempio fisico: la velocità di un corpo che cade dipende anche da con quale velocità è partito.

Evoluzione libera e risposta forzata

Teorema (scomposizione). $y(t)=y_\ell(t)+y_f(t)$ per $t\ge0$, con

• evoluzione libera $y_\ell$: la soluzione con ingresso nullo e condizioni iniziali date; combinazione lineare delle condizioni iniziali;
• risposta forzata $y_f=g*x$: la soluzione con condizioni iniziali nulle ($y_f(0)=y_f'(0)=\dots=0$).

Primo metodo: soluzione dell'equazione

La soluzione generale è omogenea più particolare.

1. Omogenea $\sum a_iy^{(i)}=0$: $y=e^{p_0t}$ è soluzione se e solo se $p_0$ è radice del polinomio caratteristico $h(p)=\sum_{i=0}^na_ip^i$, perché $h(p_0)e^{p_0t}=0$. Con radici semplici $p_1,\dots,p_n$: $y_h=\sum\alpha_ie^{p_it}$. Una radice di molteplicità $m_i$ dà anche $t\,e^{p_it},\dots,t^{m_i-1}e^{p_it}$. Radici complesse coniugate $-\sigma\pm\mathrm i\omega$ danno oscillazioni $e^{-\sigma t}\cos\omega t$, $e^{-\sigma t}\sin\omega t$. I $p_i$ sono i poli.
2. Particolare: si estende l'ingresso all'asse intero in modo comodo (un gradino $\to$ ingresso costante; $1(t)\cos\omega_1t\to\cos\omega_1t$) e si cerca una soluzione della stessa forma.
3. Condizioni iniziali: si impongono $y(0),\dots,y^{(n-1)}(0)$ per trovare gli $\alpha_i$. Ordinando i termini si separano libera e forzata.

Esempio 1 (corpo che cade, primo ordine). Un corpo di massa $m$ cade sotto la forza $F(t)=gm\,1(t)$ con attrito $kv$: $m\,v'(t)+k\,v(t)=g\,m\,1(t)$, ingresso la forza e uscita la velocità. $h(p)=mp+k$ ha radice $p_1=-\frac km$; $v_p=\frac{gm}k$ (per $t>0$); con $v(0)=v_0$: $$v(t)=\underbrace{\frac{gm}k\left(1-e^{-kt/m}\right)}_{v_f}+\underbrace{v_0e^{-kt/m}}_{v_\ell},\qquad t>0.$$ La risposta forzata sale a $v_\infty=\frac{gm}k$ (l'attrito compensa la gravità) con costante di tempo $\tau=\frac mk$; la libera decade con la stessa costante di tempo. Con $m=2\ \text{kg}$, $k=4\ \text{kg/s}$, $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$, $v_0=8\ \text{m/s}$: $\tau=0{,}5\ \text{s}$, $v_\infty=4{,}905\ \text{m/s}$, $v(t)=4{,}905\left(1-e^{-2t}\right)+8e^{-2t}$ (confrontata con l'integrazione numerica dell'equazione: errore $\sim10^{-10}$). È lo stesso comportamento di un filtro RC: Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →.

Esempio 2 (massa e molla, secondo ordine). Una massa $m$ attaccata a una molla di costante $K$, sottoposta alla forza $F(t)=F_0\cos(\omega_1t)\,1(t)$: $m\,y''+K\,y=F(t)$, ingresso la forza, uscita lo scostamento $y$ dall'equilibrio, condizioni iniziali $y(0)=y_0$, $y'(0)=v_0$. $h(p)=mp^2+K$ ha radici $\pm\mathrm i\omega_0$ con $\omega_0=\sqrt{K/m}$, quindi $y_h=\alpha_1e^{\mathrm i\omega_0t}+\alpha_2e^{-\mathrm i\omega_0t}$. Una soluzione particolare è $y_p=A_0\cos\omega_1t$ con $A_0(K-m\omega_1^2)=F_0$, cioè $A_0=\frac{F_0}{K-m\omega_1^2}$ (se $\omega_1\neq\omega_0$). Dalle condizioni iniziali ($\alpha_1+\alpha_2=y_0-A_0$, $\mathrm i\omega_0(\alpha_1-\alpha_2)=v_0$): $$y(t)=\underbrace{A_0\left(\cos\omega_1t-\cos\omega_0t\right)}_{y_f}+\underbrace{y_0\cos\omega_0t+\frac{v_0}{\omega_0}\sin\omega_0t}_{y_\ell},\qquad t>0.$$ Con $m=1$, $K=4$ ($\omega_0=2$), $F_0=1$, $\omega_1=3$, $y_0=0{,}5$, $v_0=1$: $A_0=\frac1{4-9}=-0{,}2$, $y_f=-0{,}2(\cos3t-\cos2t)$, $y_\ell=0{,}5\cos2t+0{,}5\sin2t$ (verificato con l'integrazione numerica, errore $\sim10^{-11}$). Se $\omega_1=\omega_0$ (risonanza) $A_0$ non esiste e la risposta forzata diventa $y_f=\frac{F_0}{2m\omega_0}\,t\sin\omega_0t$, un'oscillazione di ampiezza crescente (verificato).

Secondo metodo: trasformata di Laplace

Risposta forzata. Con condizioni iniziali nulle la regola di derivazione ($y^{(i)}\to p^iY$) trasforma l'equazione in $Y(p)\sum a_ip^i=X(p)\sum b_ip^i$: $$Y_f(p)=G(p)\,X(p),\qquad G(p)=\frac{\sum_{i=0}^mb_ip^i}{\sum_{i=0}^na_ip^i}$$ (funzione di trasferimento, trasformata di Laplace di $g$). Con l'antitrasformata di $G$ si trova la risposta impulsiva. Esempio: per $m\,y''+K\,y=F_0\cos\omega_1t\,1(t)$ si ha $Y_f=\dfrac{F_0\,p/m}{(p^2+\omega_0^2)(p^2+\omega_1^2)}$, la cui antitrasformata è la risposta forzata dell'Esempio 2.

Evoluzione libera. Con la regola di derivazione con condizioni iniziali, $y^{(i)}1(t)\to p^iY-\sum_{j=0}^{i-1}p^{i-1-j}y^{(j)}(0)$, e ponendo $x=0$ si ha $$Y_\ell(p)=\frac{\sum_{i=1}^na_i\sum_{j=0}^{i-1}p^{\,i-1-j}\,y^{(j)}(0)}{\sum_{i=0}^na_ip^i}.$$ Il denominatore è sempre $h(p)$; il numeratore ha grado minore di $n$ e dipende dalle condizioni iniziali. Esempio: per il corpo che cade ($n=1$) $Y_\ell=\frac{m\,v_0}{mp+k}\ \to\ v_0e^{-kt/m}$.

Risposta in frequenza e stabilità

Se tutti i poli hanno parte reale negativa, la risposta in frequenza è $G(f)=G(p)\big|_{p=\mathrm i2\pi f}$ e il filtro è quello della nota Risposta in frequenza e filtriLa risposta in frequenza G(f) = F[g] di un filtro LTI dà Y = G·X. Gli esponenziali complessi sono autofunzioni (autovalore G(f)), quindi un ingresso sinusoidale esce sinusoidale con ampiezza moltiplicata per |G(f0)| e fase aumentata di arg G(f0). Il filtro è reale se G è hermitiana, invertibile se G non si annulla. I filtri ideali sono rect in frequenza; non distorsione secondo Heaviside: |G| costante e fase lineare.Risposta in frequenza e filtri →. Esempio: il corpo che cade ha $G(p)=\frac1{mp+k}$, $G(f)=\frac1k\cdot\frac1{1+\mathrm i2\pi f\,m/k}$: un RC con guadagno $\frac1k$ e $T=\frac mk$.

Teorema (stabilità). Il sistema è stabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico hanno parte reale negativa ($\Re p_i<0$), cioè se $g(t)$, combinazione di $t^je^{p_it}$, è assolutamente integrabile (Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsivaUna tf lineare e tempo-invariante (LTI, filtro) ha nucleo h(t,u) = g(t-u): l'uscita è la convoluzione y = gx con la risposta impulsiva g (uscita all'impulso ideale nell'origine). Causale se e solo se g è causale; stabile BIBO se e solo se g è assolutamente integrabile (sommabile); reale se e solo se g è reale. Cascata: g = g2g1; parallelo: g1+g2; retroazione: Ge = G/(1+HG) in frequenza.Sistemi lineari tempo-invarianti e risposta impulsiva →). In tal caso l'evoluzione libera tende a $0$.

Esempio. Il corpo che cade ($p=-\frac km<0$) è stabile. La massa-molla ideale (poli $\pm\mathrm i\omega_0$, parte reale nulla) non è stabile BIBO: la risposta impulsiva $\frac{\sin\omega_0t}{m\omega_0}$ non è integrabile, e infatti un ingresso sinusoidale alla frequenza $\omega_0$ produce un'uscita illimitata. Il sistema $y''+2y'+5y=x$ ha poli $-1\pm2\mathrm i$ (stabile), con risposta impulsiva $g(t)=\frac12e^{-t}\sin2t\,1(t)$ (verificata).

Variabili di stato (cenno)

Con $s(t)=\big(y,y',\dots,y^{(n-1)}\big)^T$ si ottiene la forma $\dot s=As+Bx$, $y=Cs+Dx$, con soluzione $y(t)=\underbrace{Ce^{At}s(0)}_{y_\ell}+\underbrace{\int_0^tCe^{A(t-u)}Bx(u)du+Dx(t)}_{y_f}$: risposta impulsiva $g(t)=D\,\delta(t)+Ce^{At}B\,1(t)$, funzione di trasferimento $G(p)=D+C(pI-A)^{-1}B$, stabile se e solo se tutti gli autovalori di $A$ hanno parte reale negativa. Per i circuiti: Equazioni di stato e circuiti di ordine superioreUn circuito con n componenti dinamici (condensatori e induttori "indipendenti") è di ordine n. Si descrive con n equazioni di stato del primo ordine, dx/dt = A x + B u, nelle tensioni dei condensatori e correnti degli induttori. Per scriverle si risolve il circuito resistivo associato (ogni C sostituito da un GIT di valore vC, ogni L da un GIC di valore iL) e si ricavano iC e vL. Gli autovalori di A sono le frequenze naturali: la soluzione libera è una somma di modi e^(s t). Il circuito è assolutamente stabile se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa. Le equazioni si risolvono bene per via numerica (Eulero, SPICE).Equazioni di stato e circuiti di ordine superiore →, Circuiti del secondo ordine (RLC)Un circuito con un condensatore e un induttore (RLC serie o parallelo) è del secondo ordine: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω0² x = u(t), con ω0 = 1/√(LC) e α = R/(2L) (serie) oppure α = G/(2C) = 1/(2RC) (parallelo). Le radici s = -α ± √(α² - ω0²) danno tre casi: sovrasmorzato (α > ω0, due esponenziali reali), critico (α = ω0, e^(-αt)(A1 + A2 t)), sottosmorzato (α < ω0, oscillazioni smorzate con pulsazione ωs = √(ω0² - α²)). Servono due condizioni iniziali: x(0+) e dx/dt(0+), che si ricavano da vC(0+) e iL(0+).Circuiti del secondo ordine (RLC) →.

Errori comuni

• Dimenticare le condizioni iniziali: l'equazione da sola ha infinite soluzioni.
• Cercare la soluzione particolare con ingresso causale invece di estenderlo a tutto l'asse.
• Dichiarare stabile un sistema con poli sull'asse immaginario.
• Confondere $\omega$ e $f$: $p=\mathrm i\omega=\mathrm i2\pi f$.

Vedi anche: Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti → (materia gemella).