Energia, potenza e valor medio dei segnali

I parametri di questa nota riassumono un segnale con un solo numero, ottenuto con un integrale su tutto l'asse reale (l'integrale esteso a $\mathbb R$ è l'operatore lineare fondamentale sui segnali continui: tornerà nella convoluzione e nella trasformata di Fourier). Quando un integrale compare senza altre precisazioni si dà per scontato che esista. Se serve, l'integrale su $\mathbb R$ si intende come valore principale di Cauchy, cioè $\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}$ (limiti simmetrici): così $\int_{-\infty}^{+\infty}\sin t\,dt=0$ ha senso come valore principale anche se l'integrale improprio (Integrali impropriL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri →) non esiste.

Area e valor medio

Definizione (area e valor medio). Per un segnale $s(t)$: $$A_s=\operatorname{area}(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,dt,\qquad m_s=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}s(t)\,dt.$$ Il valor medio $m_s$ si chiama anche componente continua del segnale (dall'elettrotecnica).

Esempio. $s(t)=e^{-\alpha|t|}$ ($\alpha>0$) ha area $2\int_0^\infty e^{-\alpha t}dt=\frac2\alpha$ (si sfrutta la parità). Il valor medio è $\lim\frac1T\cdot\frac{1-e^{-\alpha T}}\alpha=0$: per $\alpha=1$ i valori medi su $[-T,T]$ sono $0{,}1$ per $T=10$ e $0{,}001$ per $T=1000$. Il gradino $\mathbf 1(t)$ ha area $+\infty$ e valor medio $\lim\frac1{2T}\cdot T=\frac12$.

Se un segnale ha area finita, il suo valor medio è nullo: $\frac1{2T}\int_{-T}^Ts\to0$ perché l'integrale tende a un numero finito mentre $2T\to\infty$. Quindi un segnale con valor medio non nullo (la costante, il gradino) ha in genere area infinita. L'area e il valor medio sono numeri complessi in generale.

Energia e potenza

Definizione (energia e potenza). $$E_s=\int_{-\infty}^{+\infty}|s(t)|^2dt,\qquad P_s=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|s(t)|^2dt.$$ Un segnale con $E_s<\infty$ è a energia finita (classe $L^2$); uno con $0<P_s<\infty$ è a potenza finita.

La potenza media è l'energia per unità di tempo (media di $|s|^2$). I nomi vengono dalla fisica: se $i(t)$ è una corrente, la potenza istantanea dissipata su una resistenza $R$ è $Ri^2(t)$, quindi $P_i$ è la potenza dissipata su una resistenza unitaria (Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →). Se $s$ è in ampere, l'area è in A·s, il valor medio in A, l'energia in A$^2$·s e la potenza in A$^2$.

Teorema (energia e potenza). Un segnale ad energia finita ha potenza nulla; un segnale a potenza finita non nulla ha energia infinita.

Dimostrazione. $\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2\le\frac{E_s}{2T}\to0$.

Esempio. La sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ ha potenza $\frac12A_0^2$ (energia infinita); $e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ ha energia $\frac1{2\alpha}$ (e potenza nulla). Per una somma di sinusoidi a frequenze diverse le potenze si sommano, perché i termini misti hanno media nulla: $s(t)=5\sin(2\pi\,5t+\frac\pi2)+3\cos(2\pi\,10t)+2\sin(2\pi\,15t)$ ha $P=\frac{25+9+4}2=19$ (verificato numericamente su due secondi).

In molte applicazioni i segnali reali sono a potenza finita (per esempio i processi aleatori stazionari della seconda parte del corso).

Come cambiano area ed energia con le operazioni

Regole. Per $x(t)=s(at)$ con $a\ne0$ e per la traslazione $s(t-t_0)$:

• area e energia di $s(t-t_0)$ sono uguali a quelle di $s$ (idem valor medio e potenza);
• $\operatorname{area}\big(s(at)\big)=\dfrac{A_s}{|a|}$ e $E_{s(at)}=\dfrac{E_s}{|a|}$.

Il cambio di variabile $u=at$ dà $\int s(at)dt=\frac1{|a|}\int s(u)du$ (il segno di $a$ scompare perché l'ordine degli estremi si inverte). Per una traslazione basta il cambio $u=t-t_0$.

Esempio. Per la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ (area $1$, energia $\frac1{\sqrt2}=0{,}7071$) il segnale $e^{-\pi(2t)^2}$ ha area $\frac12$ ed energia $0{,}3536$; con $a=-3$: area $0{,}3333$ ed energia $0{,}2357$ (verificati con l'integrazione numerica).

Segnali periodici

Definizione (segnale periodico). $s(t)$ è periodico se esiste $T_p>0$ con $s(t+T_p)=s(t)$ per ogni $t$. Il minimo $T_p$ è il periodo (minimo); ogni multiplo $kT_p$ è ancora un periodo, e $s(t+kT_p)=s(t)$ per ogni $k\in\mathbb Z$. Altrimenti il segnale è aperiodico.

Un segnale periodico è determinato dai suoi valori in un intervallo $[t_0,t_0+T_p)$, con $t_0$ arbitrario. Salvo il segnale nullo, ha durata illimitata, area non definita (l'integrale su $[-NT_p,NT_p]$ vale $2N\int_{T_p}s$ e diverge se $\int_{T_p}s\ne0$) ed energia infinita (per $|s|^2$ vale lo stesso). Si usano allora le grandezze su un periodo, per qualunque $t_0$ (l'integrale di un segnale periodico su un periodo non dipende da dove si parte): $$A_s(T_p)=\int_{t_0}^{t_0+T_p}s\,dt,\quad m_s=\frac1{T_p}\int_{t_0}^{t_0+T_p}s\,dt,\quad E_s(T_p)=\int_{t_0}^{t_0+T_p}|s|^2dt,\quad P_s=\frac1{T_p}E_s(T_p).$$ Il valor medio su un periodo e la potenza media su un periodo coincidono con i limiti delle definizioni generali.

Esempio. L'onda quadra $s(t)=1$ per $0\le t<\frac{T_p}2$ e $0$ per $\frac{T_p}2\le t<T_p$ ha valor medio $\frac12$ e potenza $\frac12$.

Somma di segnali periodici. Se $x$ ha periodo $T_1$ e $y$ ha periodo $T_2$, la somma è periodica se e solo se $T_1/T_2$ è un numero razionale $\frac pq$ (con $p,q$ primi tra loro): il periodo è $T=qT_1=pT_2$ (il più piccolo istante in cui entrambi si ripetono).

Esempio. $\cos(2\pi\cdot2t)+\cos(2\pi\cdot3t)$ ha $T_1=\frac12$, $T_2=\frac13$, rapporto $\frac32$: periodo $2T_1=3T_2=1$. Si verifica con $t=0{,}05$: la somma vale $1{,}397$ sia in $t=0{,}05$ sia in $t=1{,}05$, mentre in $t=0{,}55$ vale $0{,}221$ (la metà, $0{,}5$, non è un periodo). La somma $\cos(2\pi t)+\cos(2\pi\sqrt2\,t)$ è invece aperiodica.

Ripetizione periodica

Definizione (ripetizione periodica). Dato un segnale $u(t)$ e $T_p>0$, la sua ripetizione periodica di periodo $T_p$ è $$s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}u(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}u(t-kT_p).$$

Si sommano tutte le copie di $u$ traslate di multipli di $T_p$. Il risultato è periodico di periodo $T_p$ (cambiando l'indice $k-1\to h$ si ritrova la stessa somma). Se la durata di $u$ non supera $T_p$ le copie non si sovrappongono e in ogni istante contribuisce un solo termine; altrimenti si deve sommare una serie.

Ogni segnale periodico è la ripetizione periodica della sua versione troncata a un periodo: $s(t)=\operatorname{rep}_{T_p}u(t)$ con $u(t)=s(t)\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0-T_p/2}{T_p}\right)$.

Esempio. $u(t)=e^{-\alpha t}\mathbf 1(t)$ ha durata illimitata, quindi le copie si sovrappongono: per $t\in[0,T_p)$ contribuiscono le copie con $k\le0$ e $$\operatorname{rep}_{T_p}u(t)=\sum_{k\le0}e^{-\alpha(t-kT_p)}=e^{-\alpha t}\sum_{h\ge0}\big(e^{-\alpha T_p}\big)^h=\frac{e^{-\alpha t}}{1-e^{-\alpha T_p}},\quad t\in[0,T_p),$$ serie geometrica di ragione $e^{-\alpha T_p}<1$ (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →). Con $\alpha=1$, $T_p=2$, $t=\frac12$: $\frac{e^{-0{,}5}}{1-e^{-2}}=0{,}7015$. L'area su un periodo vale $1$, proprio l'area di $u$.

Regola. L'area su un periodo di $\operatorname{rep}_{T_p}u$ è uguale all'area di $u$: $\int_{T_p}\sum_ku(t-kT_p)\,dt=\int_{-\infty}^\infty u(t)\,dt$ (le copie, tagliate al periodo, si ricompongono in una sola copia).

Il valor medio su un periodo è quindi $\frac{A_u}{T_p}$. Altre rappresentazioni del segnale periodico (la serie di Fourier) sono in Serie di FourierUn segnale periodico di periodo $T_p$ si scrive come somma di esponenziali alle frequenze multiple della fondamentale $F=1/T_p$: $s(t)=\sum_nS_ne^{i2\pi nFt}$, con $S_n=\frac1{T_p}\int_{T_p}s(t)e^{-i2\pi nFt}dt$. Si basa sull'ortogonalità degli esponenziali su un periodo. $S_0$ è il valor medio; per segnali reali $S_{-n}=S_n^*$ e si passa alla forma con coseni e seni; vale il teorema di Parseval $P=\sum|S_n|^2$. La convoluzione ciclica diventa il prodotto $T_pX_nY_n$ dei coefficienti. Le somme troncate presentano il fenomeno di Gibbs vicino ai salti.Serie di Fourier →.

Esercizi collegati

• Esercizio - area ed energia di un segnale e cambio di scala
• Esercizio - segnali periodici e ripetizione periodica
• Esercizio - laboratorio 2, area ed energia numeriche

Vedi anche la materia gemella: Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza → e, per il decibel, Segnali, potenza e decibelRichiami che servono in tutto il corso. Unità SI e prefissi (kilo = $10^3$, bit e non byte); decibel $[x]{dB}=10\log{10}x$ per le potenze e $20\log_{10}$ per le ampiezze (prodotti = somme); banda di un segnale (primo zero, a $\alpha$ dB, di energia) e banda pratica; energia, potenza e teorema di Parseval; processi aleatori: media, potenza, autocorrelazione, stazionarietà (WSS), ergodicità, densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$ e filtraggio $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$.Segnali, potenza e decibel →.