Segnali, potenza e decibel

Questa nota raccoglie gli strumenti di base del corso (nelle slide: "Introduzione", argomenti di richiamo). Le dimostrazioni dei risultati di analisi dei segnali stanno nelle note di Segnali e Sistemi; qui si ricorda l'enunciato, si spiega a che cosa serve in Telecommunications e si fanno i conti con numeri veri.

1. Unità di misura e prefissi

Regola (unità SI). Si usano le unità del Sistema Internazionale. Scritte per esteso sono sempre in minuscolo, anche se il simbolo è maiuscolo: l'unità della corrente è l'ampere (A), della tensione il volt (V), dell'energia il joule (J), della potenza il watt (W), della frequenza l'hertz (Hz). I simboli non hanno mai il punto e il secondo è "s", non "sec".

Esempio. "Una potenza di 5 watt" ma "5 W"; "10 kHz", mai "10 KHz" né "10 khz.".

Quando l'unità base è troppo piccola o troppo grande si usano i prefissi, cioè potenze di dieci (scrittura scientifica: $0{,}0004=4\cdot10^{-4}$):

(oltre ci sono femto e atto per il piccolissimo, peta ed exa per il grandissimo). Il "kilo" è minuscolo: km, kg, kb.

Bit e byte. Il bit è un'unità adimensionale (una cifra binaria, 0 o 1). Il "byte" in molti sistemi vale 8 bit, e spesso si dice 1 kilobyte $=2^{10}=1024$ byte e 1 megabyte $=2^{20}=1\,048\,576$ byte; ma nel Sistema Internazionale sono ammesse solo potenze di dieci: $1\ \text{kb}=1000$ bit e $1\ \text{Mb}=10^6$ bit. L'ambiguità si evita convertendo tutto in bit. Inoltre la lettera B maiuscola è già presa dal bel (si veda sotto): non si usa "B" per "byte".

Esempio. Il rapporto tra i due "mega" è $2^{20}/10^6=1{,}0486$: il 4,9% di differenza. Per i giga la differenza sale a $2^{30}/10^9=1{,}0737$, il 7,4%. In un esercizio "un file da 2 MB su un canale a 1 Mbit/s" va convertito: $2\ \text{MB}=2\cdot8\cdot10^6=16\cdot10^6$ bit, quindi 16 s di trasmissione (con la convenzione SI).

2. Il decibel

Nelle telecomunicazioni i rapporti di potenza sono enormi: dal trasmettitore al ricevitore la potenza può scendere di un fattore $10^{-12}$ o meno. Una scala logaritmica rende i numeri maneggevoli e trasforma i prodotti in somme, ed è comoda perché un sistema è una catena di blocchi che amplificano o attenuano (si veda Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo → per le proprietà del logaritmo).

Definizione (decibel). Per un rapporto di potenze $A=\frac{P_1}{P_2}$ (con $P_1,P_2>0$): $$[A]_{dB}=10\log_{10}A,\qquad A=10^{[A]_{dB}/10}.$$ Per un rapporto di ampiezze (tensioni o correnti) $R=\frac{X_1}{X_2}$, poiché la potenza è il "segnale al quadrato" ($P=X^2$): $$[R]_{dB}=10\log_{10}R^2=20\log_{10}R.$$

Si scrive "dB" con la d minuscola e la B maiuscola: B sta per "bel" e indica la scala logaritmica (il decibel è un decimo di bel). Perché il logaritmo è definito solo per numeri positivi, in dB si rappresentano solo valori positivi; il valore 1 diventa 0 dB, i valori minori di 1 diventano dB negativi.

Esempio. $A=10\to10$ dB; $A=100\to20$ dB; $A=1000\to30$ dB; $A=0{,}1\to-10$ dB; $A=0{,}01\to-20$ dB. Una tensione che raddoppia ($R=2$) fa $20\log_{10}2=6{,}02$ dB, una potenza che raddoppia fa $10\log_{10}2=3{,}01$ dB.

Dalla definizione seguono le proprietà che si usano ogni giorno:

• somma in dB = prodotto in lineare: $[A_1A_2]_{dB}=[A_1]_{dB}+[A_2]_{dB}$, perché $\log(ab)=\log a+\log b$. Quindi $10\ \text{dB}+20\ \text{dB}$ corrisponde a $10\times100=1000$, cioè $30$ dB. Allo stesso modo un rapporto in dB è una differenza: $\left[\frac{A_1}{A_2}\right]_{dB}=[A_1]_{dB}-[A_2]_{dB}$.
• valori da ricordare: $0$ dB $\leftrightarrow\times1$; $3$ dB $\leftrightarrow\times2$ (infatti $\log_{10}2=0{,}30103$); $10$ dB $\leftrightarrow\times10$; $-3$ dB $\leftrightarrow\times\frac12$. Con questi tre numeri si costruisce a mano quasi tutto: $13$ dB $=10+3\to\times20$; $7$ dB $=10-3\to\times5$; $17$ dB $=20-3\to\times50$.
• guadagno e attenuazione: un'attenuazione $a=\frac1g$ in dB è $[a]_{dB}=-[g]_{dB}$; un'attenuazione di 30 dB è un guadagno di $-30$ dB.
• le potenze non si sommano in dB: due segnali da $10$ mW ciascuno che si sommano danno $20$ mW, cioè $13$ dBm, non $20$ dBm (si veda sotto): per sommare si torna in scala lineare.

Livelli assoluti. Per esprimere una potenza (e non un rapporto) si divide per un riferimento unitario: $P_{dBW}=10\log_{10}\frac{P}{1\ \text{W}}$ e $P_{dBm}=10\log_{10}\frac{P}{1\ \text{mW}}$. Poiché $1\ \text{W}=1000$ mW, $P_{dBm}=P_{dBW}+30$. Una potenza in dBm più un guadagno in dB dà una potenza in dBm; la differenza di due potenze in dBm è un rapporto, quindi dB. Vedi anche Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm → (corso di Fondamenti di Comunicazioni) per gli esempi sul rumore termico.

Esempio. Un trasmettitore da $P_{tx}=100$ mW $=20$ dBm ($10\log_{10}100=20$) attraversa un canale che attenua di $a=60$ dB. Si ricevono $20-60=-40$ dBm, cioè $10^{-4}$ mW $=10^{-7}$ W. Controllo in lineare: $a=10^{6}$, $\frac{0{,}1\ \text{W}}{10^6}=10^{-7}$ W. ✓

3. Segnali, durata, banda

Un segnale $x(t)$ è una funzione del tempo (reale o complessa); la sua trasformata di Fourier $X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ ne dà lo spettro (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Si definiscono:

Definizione (supporto, durata, banda). Il supporto è l'insieme dei tempi in cui $x(t)\neq0$ e la durata è la sua misura. La banda completa $\mathcal B$ è l'insieme delle frequenze in cui $X(f)\neq0$; la banda si restringe alle frequenze $f\ge0$ e la larghezza di banda $B$ è la sua misura. Per un segnale reale $\lvert X(f)\rvert$ è pari, quindi la banda completa è doppia della banda.

Esempio. $x(t)=\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ ha supporto $\left[-\frac T2,\frac T2\right]$ e durata $T$. La sua trasformata è $X(f)=T\operatorname{sinc}(fT)$ (con $\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin\pi u}{\pi u}$), diversa da zero per quasi tutte le $f$: la banda formale è infinita.

Principio di indeterminazione. Un segnale di durata limitata ha banda illimitata, e viceversa. Allora si usa una banda pratica: l'intervallo $[f_1,f_2]$ attorno alla frequenza centrale $f_c$ fuori dal quale lo spettro è trascurabile. Ci sono tre criteri:

1. primo zero: $f_1,f_2$ sono i primi zeri di $X(f)$ a sinistra e a destra di $f_c$;
2. ampiezza: $f_1,f_2$ sono le frequenze più vicine a $f_c$ in cui $\lvert X(f)\rvert=\alpha\lvert X(f_c)\rvert$ con $\alpha<1$; i valori tipici sono $\alpha=0{,}7071$ (cioè $-3$ dB in ampiezza, "banda a 3 dB") e $\alpha=0{,}1$ (banda a 20 dB);
3. energia: come il precedente ma sulla densità di energia $\lvert X(f)\rvert^2$ con soglia $\alpha=0{,}5$ ($-3$ dB) o $\alpha=0{,}01$ ($-20$ dB). (Il $-3$ dB di energia coincide con il $-3$ dB di ampiezza, perché $0{,}7071^2=0{,}5$.)

Esempio. Per $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ si ha $\lvert X(f)\rvert/X(0)=\lvert\operatorname{sinc}(fT)\rvert$. Risolvendo numericamente $\operatorname{sinc}(u)=\alpha$: primo zero $u=1$, quindi $B=\frac1T$; per $\alpha=0{,}7071$ si trova $u=0{,}443$, quindi $B_{3\,dB}=\frac{0{,}443}T$; per $\alpha=0{,}1$ si trova $u=0{,}908$, $B_{20\,dB}=\frac{0{,}908}T$. Con $T=1$ ms: $1$ kHz, $443$ Hz e $908$ Hz. Il criterio scelto cambia la risposta: l'esercizio deve dire quale si usa.

4. Energia, potenza e Parseval

Definizione (energia e potenza). L'energia di $x(t)$ è $\mathcal E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x(t)\rvert^2dt$ (unità: V$^2\cdot$s, non joule: è un'energia "normalizzata" a una resistenza di $1\ \Omega$). La potenza media è $M_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}\lvert x(t)\rvert^2dt$ (unità: V$^2$).

Se $\mathcal E_x<\infty$ allora $M_x=0$ (segnali di durata finita); se $0<M_x<\infty$ allora $\mathcal E_x=\infty$ (segnali periodici e processi stazionari). Ricorda che la potenza "statistica" in V$^2$ non è la potenza elettrica in watt: per un carico resistivo $R$ vale $P_{el}=\frac{M_x}R$ (Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →).

Teorema (Parseval). $\displaystyle\mathcal E_x=\int\lvert x(t)\rvert^2dt=\int\lvert X(f)\rvert^2df$. La funzione $\mathcal E_x(f)=\lvert X(f)\rvert^2$ è la densità spettrale di energia: l'energia contenuta in una banda si ottiene integrandola. Vedi Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →.

Esempio. Il rettangolo $x(t)=A\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ con $A=2$ V e $T=1$ ms. Nel tempo: $\mathcal E_x=A^2T=4\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}$. In frequenza: $X(f)=AT\operatorname{sinc}(fT)$ e $\int A^2T^2\operatorname{sinc}^2(fT)df=A^2T$ (si usa $\int\operatorname{sinc}^2(u)du=1$): stesso valore. Il lobo principale, cioè la banda di primo zero $\lvert f\rvert<\frac1T$, contiene il $90{,}3\%$ dell'energia (calcolo numerico: $2\int_0^1\operatorname{sinc}^2u\,du=0{,}9028$).

5. Spazi dei segnali (richiamo)

Per la modulazione digitale servono i segnali come vettori. Uno spazio vettoriale con prodotto scalare ha dimensione $I$ se esiste una base ortonormale $\varphi_1,\dots,\varphi_I$, e ogni vettore si scrive $x=\sum_jx_j\varphi_j$ con $x_j=\langle x,\varphi_j\rangle$ (Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →, Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →). Dati $M$ vettori, la procedura di Gram-Schmidt ne ricava una base ortonormale dello spazio che generano, di dimensione $I\le M$ (Basi ortonormali e Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →).

Lo spazio dei segnali a energia finita $L^2(\mathbb R)$ (Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →) ha prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int x(t)y^*(t)\,dt$, e la norma indotta soddisfa $\lVert x\rVert^2=\mathcal E_x$: la norma al quadrato di un segnale è la sua energia. Su questo si basa Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →.

Esempio. I due segnali $x_1(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t}{T}\right)$ (non nullo in $\left[-\frac T2,\frac T2\right]$) e $x_2(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$ (non nullo in $\left[0,T\right]$) si sovrappongono per metà intervallo, $\left[0,\frac T2\right]$, dove valgono entrambi 1. Quindi $\langle x_1,x_2\rangle=\int_0^{T/2}1\,dt=\frac T2$, mentre l'energia (norma al quadrato) di ciascuno è $T$. Il coseno dell'angolo tra i due vettori è $\frac{\langle x_1,x_2\rangle}{\lVert x_1\rVert\lVert x_2\rVert}=\frac{T/2}{T}=\frac12$, cioè $60^\circ$. Non sono multipli l'uno dell'altro, quindi Gram-Schmidt dà una base ortonormale di due funzioni.

6. Processi aleatori

I segnali di interesse (voce, dati, rumore) non sono noti in anticipo: si modellano come processi aleatori. Un processo è un segnale $x_\omega(t)$ che dipende anche da un esito casuale $\omega$ dello spazio di probabilità (come una variabile aleatoria dipende da $\omega$, Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →): scegliere $\omega$ sceglie una realizzazione, cioè una forma d'onda $x_1(t),x_2(t),\dots$. Per ogni istante fissato $t$ la quantità $x(t)$ è una variabile aleatoria.

Definizione (media, potenza, autocorrelazione). $$m_x(t)=E[x_\omega(t)],\qquad M_x(t)=E\left[\lvert x_\omega(t)\rvert^2\right],\qquad r_x(t,\tau)=E\left[x_\omega(t)\,x_\omega^*(t-\tau)\right].$$ Sono tre funzioni deterministiche: la media a ogni $t$ è la media sulle realizzazioni (non è la media nel tempo di una realizzazione); la potenza è $M_x(t)=r_x(t,0)$; l'autocorrelazione descrive quanto sono legati i valori a distanza $\tau$ (Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →).

Esempio. $x_\omega(t)=A\cos(2\pi f_0t+\Theta)$ con $\Theta$ uniforme in $[0,2\pi)$: $m_x(t)=A\cdot E[\cos(2\pi f_0t+\Theta)]=0$ e $M_x(t)=A^2E[\cos^2(\cdot)]=\frac{A^2}2$, costanti nel tempo.

Stazionarietà. Un processo è stazionario (in una certa descrizione) se questa non cambia traslando il tempo. È stazionario in senso lato (WSS) se lo è la media ($m_x(t)=m_x$ costante) e l'autocorrelazione ($r_x(t,\tau)=r_x(\tau)$ non dipende da $t$). Per un WSS $M_x=r_x(0)$ è costante e $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$.

Ergodicità. Un processo stazionario è ergodico (in una metrica) se ogni realizzazione dà lo stesso valore di quella metrica: per esempio è ergodico in media se la media nel tempo di $x_1(t)$, $x_2(t)$, $\dots$ è sempre uguale a $m_x$. Un processo ergodico è stazionario, ma non viceversa: $x_\omega(t)=\omega$ (costante nel tempo, ma diversa a ogni estrazione) è stazionario ma non ergodico, perché ogni realizzazione ha una media nel tempo diversa. Per un ergodico la descrizione statistica coincide con quella temporale: la potenza statistica si misura come potenza media di una sola realizzazione.

Definizione (densità spettrale di potenza). Per un processo WSS la PSD è la trasformata dell'autocorrelazione: $\mathcal P_x(f)=\mathcal F[r_x(\tau)]$. Vale $\int\mathcal P_x(f)\,df=r_x(0)=M_x$: la PSD dice come la potenza si distribuisce sulle frequenze, e $\int_{f_1}^{f_2}\mathcal P_x(f)\,df$ è la potenza nella banda $[f_1,f_2]$. Per un processo reale è pari.

Esempio. Rumore bianco: $r_x(\tau)=\frac{N_0}2\delta(\tau)\Rightarrow\mathcal P_x(f)=\frac{N_0}2$ costante; filtrato in una banda $[-B,B]$ ha potenza $\frac{N_0}2\cdot2B=N_0B$ (da cui il fattore $\frac{N_0}2$: è la densità bilatera).

Teorema (filtraggio di un processo WSS). Se $x(t)$ è WSS e passa in un sistema LTI con risposta impulsiva $g(t)$ e risposta in frequenza $G(f)$, anche $y=g*x$ è WSS (e $x,y$ sono congiuntamente WSS) con $$m_y=m_xG(0),\qquad r_y=\bar g*g*r_x,\ (\bar g(t)=g(-t)),\qquad\mathcal P_y(f)=\lvert G(f)\rvert^2\mathcal P_x(f).$$ Si calcola quindi la potenza in uscita come $M_y=\int\lvert G\rvert^2\mathcal P_x\,df$.

Esempio. $x$ ha PSD $\mathcal P_x(f)=\frac{N_0}2$ e entra in un passa-basso ideale $G(f)=\operatorname{rect}\left(\frac f{2B}\right)$: $\mathcal P_y(f)=\frac{N_0}2\operatorname{rect}\left(\frac f{2B}\right)$ e $M_y=N_0B$. Se il guadagno in banda è $G_0=0{,}5$ in ampiezza, cioè $20\log_{10}0{,}5=-6{,}02$ dB, la potenza si moltiplica per $G_0^2=0{,}25$, che in potenza è $10\log_{10}0{,}25=-6{,}02$ dB: lo stesso numero di dB, come deve essere per la definizione $20\log_{10}$ per le ampiezze.

Correlazione tra processi. La mutua correlazione è $r_{xy}(t,\tau)=E[x_\omega(t)y_\omega^*(t-\tau)]$; due processi sono ortogonali se $r_{xy}\equiv0$ e scorrelati se $r_{xy}(t,\tau)=m_x(t)m_y^*(t-\tau)$. Se $r_{xy}$ dipende solo da $\tau$ i processi sono congiuntamente WSS e la mutua PSD è $\mathcal P_{xy}(f)=\mathcal F[r_{xy}]$.

Per il rumore e i filtri nel dettaglio vedi Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza → (Fondamenti di Comunicazioni).

7. Disuguaglianza di Jensen

Servirà per dimostrare che l'entropia è al più $\log_2M$ e il teorema di Shannon sulla codifica. Una funzione $h$ è strettamente concava se per pesi $c_j\in[0,1)$ con $\sum_jc_j=1$ vale $\sum_jc_jh(t_j)<h\left(\sum_jc_jt_j\right)$ (la corda sta sotto la curva); per le convesse la disuguaglianza è rovesciata.

Teorema (Jensen). Sia $x$ una variabile aleatoria non quasi certamente costante a valori in un intervallo $J$ e $h$ strettamente concava in $J$. Allora $E[h(x)]<h(E[x])$ (per $h$ strettamente convessa vale $E[h(x)]>h(E[x])$), purché i valori attesi esistano. "Quasi certamente (a.s.)" vuol dire con probabilità 1: per esempio $x$ vale una costante con probabilità 1.

Esempio. $h(t)=\log_2t$ è strettamente concava. Con $x\in\{1,4\}$ equiprobabile: $E[h(x)]=\frac12(0+2)=1$, mentre $h(E[x])=\log_2 2{,}5=1{,}32$; infatti $1<1{,}32$. Vedi Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →.

Errori comuni

• Scrivere $10\log_{10}$ per un rapporto di tensioni (serve $20\log_{10}$) o sommare dBm con dBm.
• Usare il byte o il kilobyte da 1024 nei conti di bit-rate: si converte tutto in bit con i prefissi SI.
• Scegliere una banda senza dire con quale criterio (primo zero, 3 dB, 90% dell'energia): sono numeri diversi.
• Confondere la media statistica $m_x(t)$ (sulle realizzazioni) con la media temporale di una realizzazione: coincidono solo per i processi ergodici in media.
• Dimenticare il quadrato nel filtraggio: $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$, non $\lvert G\rvert\mathcal P_x$.