Campionamento e conversione analogico-digitale

1. Perché serve

Quasi tutte le sorgenti reali sono analogiche: la voce, la musica, la temperatura, un'immagine. Il resto del corso (modulazione digitale, codici, protocolli) lavora su sequenze di bit. Il primo blocco di un sistema di comunicazione digitale è quindi il convertitore analogico-digitale (A/D, analog to digital) e l'ultimo, al ricevitore, il convertitore D/A. Lo schema generale è

a(t) → [A/D] → bit → [modulatore] → canale → [demodulatore] → bit → [D/A] → a'(t)

L'obiettivo di tutto il corso si può enunciare così: ottenere $a'(t)$ il più simile possibile ad $a(t)$ spendendo pochi bit e poca potenza. Il canale reale non è ideale: lascia passare solo una banda di frequenze, aggiunge rumore e interferenze. In questa nota si studia il convertitore (Introduzione alle reti di telecomunicazioneUn servizio di telecomunicazione porta informazione da un trasmettitore a un ricevitore attraverso un canale. Le comunicazioni si classificano per destinatari (unicast, broadcast, multicast, anycast, multi-point) e per direzione (unidirezionali, bidirezionali; canali half-duplex e full-duplex); la rete è un grafo (nodi e archi) con topologie stella, mesh, albero, anello, bus, e una parte di accesso e una di core. Le risorse si danno con la commutazione di circuito (riservate) o di pacchetto (condivise, datagramma o circuito virtuale). Il controllo è diviso in livelli con protocolli, primitive, PDU/SDU/PCI e incapsulamento $PDU_N=PCI_N+SDU_N$; il modello ISO/OSI ha 7 livelli.Introduzione alle reti di telecomunicazione → spiega dove si colloca nella rete), la quantizzazione è nella nota successiva (Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →).

2. Lo schema del convertitore A/D

Definizione (convertitore A/D). Dal segnale analogico $a(t)$ si ottiene un flusso di bit con questi blocchi in cascata:

1. filtro anti-aliasing (passa-basso, si veda il §4);
2. campionatore: preleva $a(nT_s)$ a istanti multipli del periodo di campionamento $T_s$; la frequenza di campionamento (o symbol rate) è $F_s=\frac1{T_s}$ campioni al secondo;
3. quantizzatore $Q$: associa a ogni campione un valore $a_q(nT_s)$ preso da un insieme finito di $L$ livelli $\mathcal A_q=\{Q_1,\dots,Q_L\}$;
4. bitmap inversa e serializzatore (P/S): ogni livello è rappresentato con una parola di $b$ bit, con $L=2^b$ cioè $b=\log_2L$, e le parole si mettono in fila.

Esempio. Con $L=8$ livelli servono $b=\log_28=3$ bit per campione, e la bitmap associa $000,001,\dots,111$ agli 8 livelli. Non è obbligatorio che $L$ sia una potenza di 2, ma lo si sceglie così: con $L=6$ servirebbero comunque $\lceil\log_26\rceil=3$ bit e due parole di codice sarebbero sprecate.

Se ogni campione è rappresentato con $b$ bit e i campioni sono $F_s$ al secondo, si trasmettono $F_s\,b$ bit al secondo. Il tempo di bit $T_b$ (durata di un bit) e il tempo di campione sono legati da $T_s=bT_b$: $$\boxed{R_b=\frac1{T_b}=b\,F_s}\qquad[\text{bit/s}],$$ il bit-rate nominale. "Nominale" perché è quello che si ha senza codifica di sorgente: se i livelli non sono equiprobabili si può fare meglio (Codifica di sorgenteLa codifica di sorgente senza perdita assegna ai simboli (o a parole di $N$ simboli) parole di codice di lunghezza variabile, corte per i simboli probabili, con una mappa invertibile. Un codice a prefisso è sempre decodificabile; Kraft-McMillan: se il codice è decodificabile $\sum M^{-l_i}\le1$ e viceversa esiste un codice a prefisso con quelle lunghezze. Shannon: $L\ge\frac{H}{\log_2M}$ e esiste un codice con $L<\frac{H}{\log_2M}+1$ (lunghezze $\lceil\log_M\frac1p\rceil$). Shannon-Fano divide dall'alto, Huffman unisce dal basso i due meno probabili ed è ottimo; raggruppare simboli e la codifica aritmetica si avvicinano al limite.Codifica di sorgente →).

Esempio (telefonia). La voce è limitata a circa $B=3{,}4$ kHz; si campiona a $F_s=8$ kHz con $b=8$ bit: $R_b=8000\cdot8=64$ kbit/s. Esempio (CD audio). $B=20$ kHz, $F_s=44{,}1$ kHz, $b=16$ bit, due canali (stereo): $R_b=2\cdot44100\cdot16=1\,411\,200$ bit/s $\approx1{,}41$ Mbit/s.

Al ricevitore si fa il percorso opposto: i bit sono riordinati in gruppi di $b$ (S/P), ogni gruppo è trasformato nel livello corrispondente e un interpolatore ricostruisce il segnale continuo da questi valori.

3. Il teorema del campionamento

Campionare è la parte "facile" della conversione, perché si può invertire senza perdere nulla se si rispettano le condizioni del teorema di Nyquist (dimostrazione completa in Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →; la relazione con la trasformata del treno di impulsi è in Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →).

Teorema (campionamento). Sia $a(t)$ un segnale a banda limitata, con $A(f)=0$ per $\lvert f\rvert>B$. Se $F_s=\frac1{T_s}\ge2B$ allora $a(t)$ si ricostruisce esattamente dai campioni $a(nT_s)$ con un filtro interpolatore di risposta in frequenza $$G(f)=\begin{cases}T_s&\lvert f\rvert<B\\\text{qualsiasi}&B\le\lvert f\rvert\le F_s-B\\0&\lvert f\rvert>F_s-B\end{cases}$$ La frequenza $2B$ è la frequenza di Nyquist (o Nyquist rate), la minima possibile.

Perché. Campionare in tempo equivale, in frequenza, a ripetere lo spettro del segnale a intervalli di $F_s$: lo spettro del segnale campionato è $\frac1{T_s}\sum_kA(f-kF_s)$. Le copie sono larghe $2B$ ciascuna; se $F_s\ge2B$ non si toccano e un passa-basso che tiene solo la copia centrale (moltiplicando per $T_s$ per compensare il fattore $\frac1{T_s}$) restituisce $a(t)$. Se $F_s<2B$ le copie si sovrappongono: è l'aliasing (aliasing), e la somma in frequenza non si può più separare.

Esempio (aliasing). Un tono a $6$ kHz campionato a $F_s=8$ kHz ha campioni $\cos\left(2\pi\frac6{8}n\right)=\cos\left(2\pi\left(1-\frac28\right)n\right)=\cos\left(2\pi\frac28n\right)$, identici a quelli di un tono a $2$ kHz: il ricevitore non può distinguere i due e ricostruirebbe $2$ kHz. In generale una frequenza $f_0>\frac{F_s}2$ si "ripiega" su $\lvert f_0-kF_s\rvert$ con $k$ intero più vicino. Per un segnale di banda $B=3$ kHz, tra $F_s=1$, $2$ e $8$ kHz l'unica scelta valida è $F_s=8$ kHz perché solo $8\ge2B=6$.

4. Due problemi pratici

(a) Un segnale reale non è a banda limitata. Un segnale di durata finita ha banda infinita (Segnali, potenza e decibelRichiami che servono in tutto il corso. Unità SI e prefissi (kilo = $10^3$, bit e non byte); decibel $[x]{dB}=10\log{10}x$ per le potenze e $20\log_{10}$ per le ampiezze (prodotti = somme); banda di un segnale (primo zero, a $\alpha$ dB, di energia) e banda pratica; energia, potenza e teorema di Parseval; processi aleatori: media, potenza, autocorrelazione, stazionarietà (WSS), ergodicità, densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$ e filtraggio $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$.Segnali, potenza e decibel →, principio di indeterminazione). Allora prima del campionatore si mette il filtro anti-aliasing, un passa-basso $\operatorname{rect}\left(\frac f{2B}\right)$ che taglia lo spettro oltre $B$; si ricostruirà solo il segnale tagliato. L'errore commesso si può calcolare: se $x_i$ è il segnale originale e $x$ quello filtrato, l'errore $e=x-x_i$ ha densità di energia $\mathcal E_e(f)=\lvert X_i(f)\rvert^2\lvert H(f)-1\rvert^2$ che vale $0$ per $\lvert f\rvert\le B$ e $\lvert X_i(f)\rvert^2$ per $\lvert f\rvert>B$: l'errore è l'energia dello spettro tagliato, $2\int_B^\infty\lvert X_i(f)\rvert^2df$. Per questo la banda si sceglie con un criterio (§3 di Segnali, potenza e decibelRichiami che servono in tutto il corso. Unità SI e prefissi (kilo = $10^3$, bit e non byte); decibel $[x]{dB}=10\log{10}x$ per le potenze e $20\log_{10}$ per le ampiezze (prodotti = somme); banda di un segnale (primo zero, a $\alpha$ dB, di energia) e banda pratica; energia, potenza e teorema di Parseval; processi aleatori: media, potenza, autocorrelazione, stazionarietà (WSS), ergodicità, densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$ e filtraggio $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$.Segnali, potenza e decibel →). Vedi anche Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in bandaUn convertitore A/D è la catena filtro anti-aliasing passa-basso, campionatore, quantizzatore a $B$ bit. Nessun segnale reale è a banda esattamente limitata: si sceglie la banda essenziale (che contiene quasi tutta l'energia) e un passo $T_c$ tale che le repliche aliasing siano trascurabili. La quantizzazione introduce un errore con potenza $\Delta^2/12$ e un rapporto segnale-rumore di circa $6{,}02B+1{,}76$ dB.Conversione A-D e campionamento di segnali non limitati in banda → per il calcolo.

Esempio. Se non si filtra una componente a $9$ kHz in un sistema campionato a $8$ kHz, questa compare come un tono a $1$ kHz: è un disturbo dentro la banda, impossibile da togliere dopo il campionamento.

(b) L'interpolatore ideale non è realizzabile. Il filtro $T_s\operatorname{rect}\left(\frac f{2B}\right)$ ha risposta impulsiva sinc, che dura per sempre e non è nulla per $t<0$ (non causale). Si usa allora l'holder (zero-order hold, mantenitore di ordine zero) che tiene costante il valore di ogni campione per un periodo $T_s$: $$g(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T_s/2}{T_s}\right),\qquad G(f)=T_s\operatorname{sinc}\left(\frac f{F_s}\right)e^{-j\pi fT_s}.$$ Il modulo $T_s\lvert\operatorname{sinc}(f/F_s)\rvert$ non è piatto in $[0,B]$ (è "arrotondato") e distorce le frequenze vicine a $B$; il fattore di fase è solo un ritardo di $T_s/2$ (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Si rimedia sovracampionando: con $F_s$ molto più grande di $2B$ il sinc è quasi piatto fino a $B$.

Esempio. Con $F_s=2{,}5B$ in $f=B$: $\operatorname{sinc}(0{,}4)=\frac{\sin(0{,}4\pi)}{0{,}4\pi}=\frac{0{,}951}{1{,}257}=0{,}757$, cioè $20\log_{10}0{,}757=-2{,}4$ dB. Con $F_s=8B$: $\operatorname{sinc}(0{,}125)=0{,}9745\to-0{,}22$ dB.

5. Che cosa si perde e che cosa no

• Campionamento (con anti-aliasing, $F_s\ge2B$, interpolatore adatto): nessuna perdita oltre quella dovuta al taglio della banda.
• Quantizzazione: è l'unico passo che distrugge informazione in modo irreversibile, perché valori diversi dentro lo stesso intervallo diventano lo stesso livello. Il trucco è renderne l'errore piccolo con tanti livelli scelti bene (Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →).
• Codifica di sorgente senza perdita (Codifica di sorgenteLa codifica di sorgente senza perdita assegna ai simboli (o a parole di $N$ simboli) parole di codice di lunghezza variabile, corte per i simboli probabili, con una mappa invertibile. Un codice a prefisso è sempre decodificabile; Kraft-McMillan: se il codice è decodificabile $\sum M^{-l_i}\le1$ e viceversa esiste un codice a prefisso con quelle lunghezze. Shannon: $L\ge\frac{H}{\log_2M}$ e esiste un codice con $L<\frac{H}{\log_2M}+1$ (lunghezze $\lceil\log_M\frac1p\rceil$). Shannon-Fano divide dall'alto, Huffman unisce dal basso i due meno probabili ed è ottimo; raggruppare simboli e la codifica aritmetica si avvicinano al limite.Codifica di sorgente →): riduce i bit senza aggiungere errore.

6. Segnali vocali e frequenze di campionamento tipiche

Il segnale vocale si classifica in due tipi. I suoni sonori (voiced, come le vocali /a/ e /u/) hanno un andamento nel tempo periodico (le corde vocali vibrano) e lo spettro è fatto di righe armoniche. I suoni sordi (unvoiced, come /s/) hanno un andamento irregolare simile al rumore e lo spettro è esteso verso le alte frequenze. La banda si sceglie in base alla qualità richiesta, e da questa la frequenza di campionamento ($F_s$ appena sopra $2B$, a volte con un margine per il filtro non ideale):

Esempio. Per il telefono $2B=2\cdot3400=6{,}8$ kHz e si usa $8$ kHz: margine di $1{,}2$ kHz perché il filtro anti-aliasing reale non taglia di colpo. Per il CD $2B=40$ kHz contro $44{,}1$ kHz.

Per la modulazione (cenni, per capire dove va la banda del segnale in un sistema reale): nella AM il segnale è moltiplicato per una portante di frequenza $f_c$ e occupa $B_{AM}=2B$ attorno a $f_c$; nella FM un oscillatore controllato in tensione (VCO) fa variare la frequenza con il segnale e la banda è $B_{FM}=2(1+\beta)B$ con $\beta$ indice di modulazione; la modulazione digitale altera la portante per rappresentare una sequenza di bit (si veda Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →). Per la AM nel dettaglio: Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →.

Errori comuni

• Credere che $F_s=2B$ esatto basti sempre: richiede il filtro ideale; in pratica si campiona un po' più in alto e si usa l'holder.
• Confondere $T_b$ (tempo di bit) con $T_s$ (tempo di campione): $T_s=bT_b$.
• Dimenticare il filtro anti-aliasing: le componenti fuori banda "si ripiegano" dentro la banda e non si tolgono più.
• Calcolare il bit-rate con $L$ al posto di $b=\log_2L$.