Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico

Questa nota apre il capitolo sui mezzi trasmissivi del corso Telecommunications: prima si capisce che cosa si intende per "potenza" di un segnale elettrico e come questa passa da un generatore a un carico, poi (Doppi bipoli, guadagno e attenuazioneTra generatore e carico c'è in generale un doppio bipolo (due porte): il canale, un amplificatore, un cavo. Con impedenze $Z_1$ in ingresso e $Z_2$ in uscita il segnale passa in cascata attraverso tre partitori, $g_1=\frac{Z_1}{Z_S+Z_1}$, $g_2=\frac{V_2}{V_1}$ e $g_L=\frac{Z_L}{Z_2+Z_L}$; il canale è $g_{ch}=g_2g_L$. Il guadagno di potenza è $g(f)=\frac{p_{out}(f)}{p_{in}(f)}$ e l'attenuazione $a(f)=\frac1{g(f)}$. Con la linea adattata ($Z_S=Z_1^$, $Z_1=Z_2=Z_L$ resistive) tutti i fattori d'impedenza si semplificano e $g(f)=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2$; in dB $g_{dB}=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$. In cascata i guadagni si moltiplicano (si sommano in dB).Doppi bipoli, guadagno e attenuazione →, Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →) si descrive tutto il collegamento. Gli stessi argomenti, nella versione per Ing. Elettronica, sono in Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →; i teoremi circuitali di base sono in Teorema del massimo trasferimento di potenzaUna rete con equivalente di Thévenin (e_eq, R_i) cede a un carico resistivo R_u la potenza P = R_u e_eq² / (R_i + R_u)². Al variare di R_u questa potenza è massima per R_u = R_i (carico adattato) e vale P_max = e_eq² / (4 R_i). In quella condizione il rendimento è solo del 50%.Teorema del massimo trasferimento di potenza → e Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →.

1. Due tipi di potenza

Un segnale a media nulla $v(t)$ (qui una tensione) ha una potenza statistica, già incontrata in Segnali, potenza e decibelRichiami che servono in tutto il corso. Unità SI e prefissi (kilo = $10^3$, bit e non byte); decibel $[x]{dB}=10\log{10}x$ per le potenze e $20\log_{10}$ per le ampiezze (prodotti = somme); banda di un segnale (primo zero, a $\alpha$ dB, di energia) e banda pratica; energia, potenza e teorema di Parseval; processi aleatori: media, potenza, autocorrelazione, stazionarietà (WSS), ergodicità, densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$ e filtraggio $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$.Segnali, potenza e decibel →: $$M_v=E\left[v^2(t)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal P_v(f)\,df,$$ dove $\mathcal P_v(f)$ è la densità spettrale di potenza (PSD) di $v$. Se $v$ è misurata in volt, $M_v$ si misura in V$^2$ e $\mathcal P_v(f)$ in V$^2$/Hz.

La potenza elettrica è invece la grandezza fisica: l'energia al secondo che passa nel circuito. Per definirla servono due segnali, la tensione $v(t)$ e la corrente $i(t)$ associata. Il prodotto $v(t)\,i(t)$ è la potenza elettrica istantanea, e la sua media nel tempo è la potenza elettrica media $$P=\lim_{u\to+\infty}\frac1{2u}\int_{-u}^{u}v(t)\,i(t)\,dt\qquad[\text{W}].$$ Se $v$ e $i$ sono processi ergodici e congiuntamente stazionari (Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →) la media nel tempo si può sostituire con un valore atteso, e $P=E\left[v(t)\,i(t)\right]=r_{vi}(0)$ (correlazione incrociata calcolata in zero).

Quando dal contesto è chiaro quale corrente accompagna $v(t)$, si parla di "potenza elettrica di $v(t)$": è un abuso di notazione, perché la potenza elettrica è associata a due segnali, ma è comodo. Le due potenze non vanno confuse: la statistica ha le unità di un quadrato di tensione, l'elettrica quelle di un watt. Controllare le unità è il modo più rapido per accorgersi dell'errore (1 W $\times$ 1 $\Omega$ $=$ 1 V$^2$).

(In realtà la potenza elettrica si può anche definire complessa, con una parte reattiva: qui ci si limita al caso in cui $P$ è la parte reale, quella che trasporta energia utile; la parte immaginaria, "potenza reattiva", si misura in var e non compie lavoro: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.)

2. Impedenza e calcolo della potenza elettrica

Un componente con tensione $v(t)$ e corrente $i(t)$ è descritto dalla sua impedenza $Z(f)=R(f)+jX(f)$ (Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →): nel dominio della frequenza $V(f)=Z(f)\,I(f)$, cioè $I(f)=H_z(f)V(f)$ con $H_z(f)=\frac1{Z(f)}$ (l'ammettenza, a volte detta conduttanza $Y(f)$). In tempo, $i(t)=(h_z*v)(t)$ (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →). Poiché $v$ e $i$ sono reali, $Z(-f)=Z^*(f)$ (simmetria hermitiana), e la parte reale $R(f)=\operatorname{Re}[Z(f)]\ge0$ è la resistenza. Un'impedenza puramente resistiva ha $R(f)=R$ costante.

Calcolo di $P$ passo per passo. Si parte dalla definizione e si sostituisce $i=h_z*v$: $$P=\lim_{u\to\infty}\frac1{2u}\int_{-u}^{u}v(t)\int_{-\infty}^{+\infty}h_z(\tau)\,v(t-\tau)\,d\tau\,dt .$$ Si scambiano gli integrali (lecito perché i segnali sono fisici, quindi regolari) e si riconosce nella parte tra parentesi l'autocorrelazione $r_v(\tau)$ di $v$, grazie all'ergodicità (la media nel tempo di $v(t)v(t-\tau)$ è il valore atteso $E[v(t)v(t-\tau)]$): $$P=\int_{-\infty}^{+\infty}\underbrace{\left[\lim_{u\to\infty}\frac1{2u}\int_{-u}^{u}v(t)\,v(t-\tau)\,dt\right]}_{r_v(\tau)}h_z(\tau)\,d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}r_v(\tau)\,h_z(\tau)\,d\tau .$$ Ora si passa in frequenza con tre fatti: (1) un prodotto in tempo è una convoluzione in frequenza; (2) un integrale su tutto l'asse è la funzione calcolata in $f=0$; (3) $r_v(\tau)\leftrightarrow\mathcal P_v(f)$ e $h_z(t)\leftrightarrow H_z(f)$ (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →). Quindi $P=\left[\mathcal P_v*H_z\right](0)=\int\mathcal P_v(a)\,H_z(0-a)\,da$, e con $H_z(-f)=\frac1{Z(-f)}=\frac1{Z^*(f)}$: $$P=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal P_v(f)\,\frac1{Z^*(f)}\,df=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal P_v(f)\,\frac{Z(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}\,df .$$ La potenza $P$ è reale, e $\mathcal P_v$ è pari mentre la parte immaginaria di $\frac{Z}{|Z|^2}$ è dispari: l'integrale della parte immaginaria è zero. Resta la sola parte reale $\operatorname{Re}\left[\frac{Z}{|Z|^2}\right]=\frac{R}{|Z|^2}$:

Formula (potenza elettrica e densità di potenza elettrica). $$P=\int_{-\infty}^{+\infty}p_v(f)\,df,\qquad p_v(f)=\mathcal P_v(f)\,\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}\quad[\text{W/Hz}].$$ Se $v$ è limitata alla banda $\mathcal B$ (di frequenze positive, di larghezza $B$), poiché $p_v(f)$ è pari: $P=2\int_{\mathcal B}p_v(f)\,df$.

Esempio. Su un'impedenza puramente resistiva $R=50\ \Omega$ una tensione ha PSD costante $\mathcal P_v=10^{-6}$ V$^2$/Hz per $|f|<B=100$ kHz. Potenza statistica: $M_v=2B\,\mathcal P_v=2\cdot10^5\cdot10^{-6}=0{,}2$ V$^2$. Potenza elettrica: $P=\frac{M_v}{R}=\frac{0{,}2}{50}=4$ mW $=6{,}02$ dBm.

Caso resistivo. Se $Z(f)=R$ (costante e reale) allora $\frac{R}{|Z|^2}=\frac1R$ e $$P=\int\frac{\mathcal P_v(f)}{R}\,df=\frac{M_v}{R}\qquad\left(\text{stessa cosa in forma di densità: }p_v=\frac{\mathcal P_v}{R}\right).$$ Più in generale, se $Z(f)=Z$ è costante nella banda del segnale (condizione di banda stretta, vedi sotto), $P=\frac{R}{|Z|^2}M_v$. Nei problemi del corso "tutte le potenze elettriche sono le potenze statistiche divise per $Z_0$", con $Z_0$ l'impedenza (reale) del collegamento.

3. Unità di misura: watt, dBW e dBm

Il watt è un'unità "grande" per i segnali di telecomunicazione: si usa il milliwatt e soprattutto una scala logaritmica. Si inventa un rapporto di potenze rispetto a un riferimento e lo si esprime in decibel (Segnali, potenza e decibelRichiami che servono in tutto il corso. Unità SI e prefissi (kilo = $10^3$, bit e non byte); decibel $[x]{dB}=10\log{10}x$ per le potenze e $20\log_{10}$ per le ampiezze (prodotti = somme); banda di un segnale (primo zero, a $\alpha$ dB, di energia) e banda pratica; energia, potenza e teorema di Parseval; processi aleatori: media, potenza, autocorrelazione, stazionarietà (WSS), ergodicità, densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$ e filtraggio $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$.Segnali, potenza e decibel →): $$(P)_{dBW}=10\log_{10}\frac P{1\ \text{W}},\qquad(P)_{dBm}=10\log_{10}\frac P{1\ \text{mW}}=(P)_{dBW}+30 .$$ Per esempio $-70$ dBm $=10^{-7}$ mW $=10^{-10}$ W e $-83$ dBm $=5\cdot10^{-12}$ W. Il decibel è una scala logaritmica di un rapporto, cioè di un numero puro: se $\frac{P_1}{P_2}=R$ allora $$(P_1)_{dBm}-(P_2)_{dBm}=(R)_{dB}\quad\Longleftrightarrow\quad(P_1)_{dBm}=(R)_{dB}+(P_2)_{dBm}.$$ (Dimostrazione: $10\log_{10}\frac{P_2R}{1\,\text{mW}}=10\log_{10}R+10\log_{10}\frac{P_2}{1\,\text{mW}}$.) Questa è la regola che permette di scrivere il link budget come una somma di termini in dB (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →). Un telefono GSM riceve per esempio circa $-70$ dBm.

4. Il generatore reale e il carico

Un generatore reale di segnale si descrive con il circuito equivalente di Thévenin (Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →): un generatore ideale di tensione $v_i(t)$ (la "tensione a vuoto") in serie con un'impedenza $Z_S(f)=R_S(f)+jX_S(f)$, collegato a un carico $Z_L(f)=R_L(f)+jX_L(f)$.

Il circuito è un partitore di tensione (Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →): la tensione sul carico è $$V_L(f)=H_p(f)\,V_i(f),\qquad H_p(f)=\frac{Z_L(f)}{Z_S(f)+Z_L(f)},$$ e quindi, in potenza statistica, $\mathcal P_{v_L}(f)=\lvert H_p(f)\rvert^2\mathcal P_{v_i}(f)$. Questo è un sistema di telecomunicazione minimo: una variazione di $v_i(t)$ viene "specchiata a distanza" su $v_L(t)$ (il generatore è la casa A, il carico la casa B, i fili il canale).

Si vuole sapere quanta potenza elettrica arriva al carico. Con la formula del paragrafo 2 applicata a $v_L$ (resistenza del carico $R_L$, impedenza $Z_L$): $$p_{v_L}(f)=\mathcal P_{v_L}(f)\frac{R_L(f)}{|Z_L(f)|^2}=\mathcal P_{v_i}(f)\frac{|Z_L|^2}{|Z_S+Z_L|^2}\cdot\frac{R_L}{|Z_L|^2}=\mathcal P_{v_i}(f)\,\frac{R_L(f)}{\lvert Z_S(f)+Z_L(f)\rvert^2}.$$ Il fattore $|Z_L|^2$ si semplifica, e la potenza al carico è $P_{L}=\int p_{v_L}(f)\,df$.

5. Massimo trasferimento di potenza: l'adattamento di carico

Domanda. Con quale scelta di $Z_L(f)$ si massimizza la potenza che raggiunge il carico? Poiché $P_L$ è un integrale di termini non negativi, si massimizza separatamente a ogni frequenza (si omette $f$ per leggerezza): $$\max_{Z_L}\ \frac{R_L}{\lvert Z_S+Z_L\rvert^2}=\max_{R_L,X_L}\ \frac{R_L}{(R_L+R_S)^2+(X_L+X_S)^2}.$$

1. La reattanza. Per qualunque $R_L$ la frazione è massima quando il denominatore è il più piccolo possibile, cioè quando il termine $(X_L+X_S)^2$ si annulla: $X_L=-X_S$ (le due reattanze si compensano).
2. La resistenza. Resta da massimizzare $\frac{R_L}{(R_L+R_S)^2}$. Si deriva rispetto a $R_L$ e si pone la derivata a zero: $$\frac{d}{dR_L}\frac{R_L}{(R_L+R_S)^2}=\frac{(R_L+R_S)^2-2R_L(R_L+R_S)}{(R_L+R_S)^4}=\frac{R_S-R_L}{(R_L+R_S)^3}=0\ \Longrightarrow\ R_L=R_S .$$ (La derivata è positiva per $R_L<R_S$ e negativa per $R_L>R_S$: è un massimo. Il limite $R_L\to\infty$ annulla anch'esso la derivata, ma lì la funzione tende a zero: è un circuito aperto, nessuna potenza trasferita.)

Teorema (massimo trasferimento di potenza, load matching). La potenza trasferita al carico è massima se $$Z_L(f)=Z_S^*(f)\qquad(R_L=R_S,\ X_L=-X_S).$$ Il carico deve avere la stessa resistenza e la reattanza opposta: è il coniugato, non l'impedenza uguale.

Esempio. Sorgente con $Z_S=50+j30\ \Omega$: il carico ottimo è $Z_L=50-j30\ \Omega$. Con $Z_L=50+j30\ \Omega$ (uguale invece che coniugata) il denominatore vale $(100)^2+(60)^2=13\,600$ e non $(100)^2=10\,000$: la potenza trasferita è $\frac{10\,000}{13\,600}=74\%$ del massimo.

Quanto si perde se il carico non è adattato. Con $X_L=-X_S$ ma $R_L=\rho R_S$ ($\rho>0$) la densità trasferita, rispetto al caso adattato, è moltiplicata per $$\frac{\dfrac{\rho R_S}{(1+\rho)^2R_S^2}}{\dfrac{R_S}{4R_S^2}}=\frac{4\rho}{(1+\rho)^2}\le1 .$$

Per $\rho=\frac12$ vale $\frac89$; con $\rho=\frac1{10}$ o $10$ si trasferisce ancora $33\%$; con un carico puramente reattivo ($R_L=0$) non si trasferisce nulla. Il disadattamento costa poco quando è moderato: nel corso si assume sempre l'adattamento perché l'obiettivo di un sistema di telecomunicazione è consegnare informazione, non potenza; il sistema funziona bene anche fuori dall'adattamento (tranne scelte "particolarmente sciocche", come il carico puramente reattivo).

Caso resistivo. Se $Z_S=R_S$ è puramente resistiva (il caso più frequente) l'adattamento diventa semplicemente $R_L=R_S$, e la potenza al carico è $$P_L=\int\mathcal P_{v_i}(f)\frac{R_S}{(2R_S)^2}\,df=\frac14\int\frac{\mathcal P_{v_i}(f)}{R_S}\,df=\frac14P_i,$$ con $P_i=\int\frac{\mathcal P_{v_i}}{R_S}df$ la potenza elettrica associata a $v_i$ (quella che $v_i$ svilupperebbe su una resistenza $R_S$). Al più si trasferisce il 25% della potenza generata: il resto è dissipato dentro il generatore stesso.

Convenzione del corso. In tutto ciò che segue si assume sempre l'adattamento di carico e si pone la potenza trasmessa $$P_{tx}=\frac{P_i}{4}$$ (tecnicamente, la massima potenza trasferibile al carico, in cui il fattore $\frac14$ è già incluso). La potenza che arriva realmente al carico sarà ancora più bassa per gli effetti che si vedono in seguito (Doppi bipoli, guadagno e attenuazioneTra generatore e carico c'è in generale un doppio bipolo (due porte): il canale, un amplificatore, un cavo. Con impedenze $Z_1$ in ingresso e $Z_2$ in uscita il segnale passa in cascata attraverso tre partitori, $g_1=\frac{Z_1}{Z_S+Z_1}$, $g_2=\frac{V_2}{V_1}$ e $g_L=\frac{Z_L}{Z_2+Z_L}$; il canale è $g_{ch}=g_2g_L$. Il guadagno di potenza è $g(f)=\frac{p_{out}(f)}{p_{in}(f)}$ e l'attenuazione $a(f)=\frac1{g(f)}$. Con la linea adattata ($Z_S=Z_1^*$, $Z_1=Z_2=Z_L$ resistive) tutti i fattori d'impedenza si semplificano e $g(f)=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2$; in dB $g_{dB}=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$. In cascata i guadagni si moltiplicano (si sommano in dB).Doppi bipoli, guadagno e attenuazione →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →).

6. Assenza di distorsione (condizioni di Heaviside)

Più che trasferire potenza, ci interessa che il segnale sul carico non sia distorto: $v_L(t)$ deve avere la stessa "forma" di $v_i(t)$, a meno di un'amplificazione e di un ritardo, $$v_L(t)=A_0\,v_i(t-t_0)\quad\Longleftrightarrow\quad V_L(f)=A_0\,e^{-j2\pi ft_0}V_i(f),\qquad A_0>0,\ t_0\ge0 .$$ Confrontando con il partitore, $H_p(f)=\frac{Z_L}{Z_S+Z_L}=A_0e^{-j2\pi ft_0}$ per ogni $f$ della banda, cioè $$Z_L(f)\left(1-A_0e^{-j2\pi ft_0}\right)=Z_S(f)\,A_0e^{-j2\pi ft_0}.$$ È una richiesta molto restrittiva sulle impedenze. La si soddisfa nel modo più semplice con $t_0=0$: l'equazione diventa $Z_L(1-A_0)=Z_SA_0$ e, se in più si impone l'adattamento $Z_L=Z_S^*$, l'unica soluzione è con impedenze puramente resistive ($X_S=X_L=0$), $R_S=R_L$ e $A_0=\frac12$: $$v_L(t)=\frac{v_i(t)}2\qquad\text{(e, in potenza, }P_L=\tfrac14P_i\text{)}.$$

Nota sul ritardo. Nella realtà i ritardi ci sono eccome e non sono trascurabili. Nei modelli semplificati del corso, però, $A_0$ è costante e il canale si può vedere come uno spettacolo televisivo "preregistrato": tutto è ritardato di $t_0$ secondi, ma chi non lo sa ha l'illusione di essere in diretta, per cui si può porre $t_0=0$. Il ragionamento non vale per il canale radio e in generale per i canali "a banda larga" (argomenti avanzati).

7. La condizione di banda stretta

Si dice che si è in banda stretta (narrowband) se la banda $B$ del segnale, centrata attorno a una frequenza $f_c$, soddisfa $B\ll f_c$. La conseguenza è che tutte le grandezze che dipendono da $f$ (impedenze, guadagni, attenuazioni) possono essere considerate costanti nella banda del segnale, uguali al loro valore in $f_c$.

"$\ll$" significa di solito almeno un ordine di grandezza di differenza, ma non dice niente su quanto $B$ sia piccola in assoluto: una banda di 100 MHz attorno a 10 GHz è stretta, anche se è molto larga in valore. Tornando alla nota sul ritardo, in banda stretta la risposta del canale si riduce a una costante e a un ritardo, e il ritardo si può ignorare (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →).

Errori comuni

• Confondere potenza statistica ($M_v$, in V$^2$) ed elettrica ($P$, in W): si passa dall'una all'altra con $\frac{R}{|Z|^2}$ (o con $\frac1R$ per un'impedenza resistiva).
• Mettere $|Z|$ al posto di $R$ al numeratore di $p_v=\mathcal P_v\frac{R}{|Z|^2}$: conta solo la parte reale per la potenza dissipata.
• Credere che l'adattamento sia $Z_L=Z_S$: è $Z_L=Z_S^*$ (reattanze opposte).
• Dimenticare il fattore $\frac14$: la potenza che arriva a un carico adattato da un generatore resistivo è un quarto di $P_i$ (e la tensione la metà).
• Dire che con un carico non adattato si trasferisce più potenza: l'adattamento è il massimo.