Esercizio - Capacità al crescere della banda

Questa pagina non ha ancora la versione ripasso: qui sotto c'è il testo completo.

Testo (scheda "Channel coding"). Si consideri una trasmissione su una banda di larghezza $B$. Il trasmettitore usa la potenza $P_{tx}$, il canale ha attenuazione $a_{ch}$ e rumore AWGN, la cifra di rumore del ricevitore è $F$ e l'impedenza caratteristica del canale adattato è $Z_0$. Si aumenta $B$ indefinitamente senza cambiare gli altri parametri. Come cambia la capacità? (Aumenta, diminuisce, e come: linearmente, sublinearmente, ...?)

Teoria usata: Capacità di canaleLa capacità di un canale è il massimo, sulle statistiche di ingresso, della velocità di informazione $R=F,I_s(\mathbf c,\tilde{\mathbf c})$ (informazione mutua per simbolo per la velocità di simbolo). Teorema di Shannon: se la velocità informativa è $R<C$ esistono codici con probabilità d'errore residua piccola a piacere; se $R>C$ no. BSC senza memoria: $C_s=1+P\log_2P+(1-P)\log_2(1-P)$ bit/simbolo. Canale AWGN: $C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})$ con $\mathrm{SNR}=P_{rx}/(N_0B)$; per $B\to\infty$ la capacità non cresce indefinitamente ma tende a $P_{rx}/(N_0\ln2)$. Limite per il rapporto $E_b/N_0$: $\ge\ln2=-1{,}59$ dB.Capacità di canale → (formula di Shannon per l'AWGN), Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

1. La formula di partenza

La capacità del canale AWGN è $C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})$. L'SNR dipende da $B$, perché la potenza di rumore in banda è proporzionale a $B$. Per un canale con attenuazione $a_{ch}$ e ricevitore con temperatura di rumore equivalente $T_{eff}=T_0F$, la densità spettrale bilatera del rumore è $\frac12kT_{eff}$ e, integrandola sulla banda $2B$ (da $-B$ a $B$), la potenza di rumore vale $kT_0FB$: $$\mathrm{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}\cdot\tfrac12kT_{eff}\cdot(2B)}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}\,k\,T_0\,F\,B}.$$ L'impedenza $Z_0$ non serve: si lavora in termini di potenze elettriche (la $Z_0$ comparirebbe solo nel rumore statistico, in V$^2$: $M_w=kT_0FBZ_0$, ma comparirebbe uguale nella potenza del segnale e si semplificherebbe). Quindi $$C(B)=B\log_2\Big(1+\frac{P_{tx}}{a_{ch}kT_0F\,B}\Big).$$

2. Il limite per $B\to\infty$

Per $B\to\infty$ si ha $B\to\infty$ e $\log_2(1+\mathrm{SNR})\to\log_2(1)=0$ perché l'SNR tende a $0$: forma indeterminata $\infty\cdot0$. Si risolve con la formula di Taylor/limite notevole $\log(1+x)\sim x$ per $x\to0$, valido per il logaritmo naturale. Il logaritmo qui è in base $2$, quindi prima si cambia base: $$\log_2(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln2}\sim\frac{x}{\ln2}\qquad(x\to0).$$ (Il corso sottolinea l'errore possibile: "ma questo era per il logaritmo naturale, qui è in base 2".) Con $x=\frac{P_{tx}}{a_{ch}kT_0FB}\to0$: $$\lim_{B\to\infty}C(B)=\lim_{B\to\infty}B\cdot\frac{1}{\ln2}\frac{P_{tx}}{a_{ch}kT_0F\,B}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}\,kT_0F\,\ln2}.$$ Con $N_0=kT_0F$ e la potenza ricevuta $M_{s_{rx}}=P_{tx}/a_{ch}$: $\displaystyle\lim_{B\to\infty}C=\frac{M_{s_{rx}}}{N_0\ln2}\simeq1{,}443\,\frac{M_{s_{rx}}}{N_0}$ (la $B$ si semplifica).

Risposta. La capacità non cresce indefinitamente: cresce in modo sublineare e satura a un valore finito (asintoto orizzontale), che dipende solo da potenza ricevuta e densità di rumore. Per $B$ piccola (SNR molto alto) la capacità è quasi lineare in $B$, perché il logaritmo cambia poco; poi la crescita rallenta perché l'SNR cala come $1/B$.

3. Un esempio numerico

$P_{tx}=10$ mW, $a_{ch}=100$ dB ($10^{10}$), $F=3$ dB ($1{,}995$), $T_0=290$ K. Potenza ricevuta $P_{tx}/a_{ch}=10^{-12}$ W; $N_0=kT_0F=1{,}380649\cdot10^{-23}\cdot290\cdot1{,}995=7{,}99\cdot10^{-21}$ W/Hz; $M_{s_{rx}}/N_0=1{,}252\cdot10^8$ Hz; asintoto $C_\infty=1{,}252\cdot10^8/\ln2=180{,}6$ Mbit/s.

Passando da $1$ MHz a $10$ MHz la capacità si moltiplica per $5{,}4$ (non per $10$); da $1$ GHz a $10$ GHz cresce solo del $5{,}5\,\%$: oltre $B\simeq S/N_0$ (qui $125$ MHz) allargare la banda serve a poco. Il grafico mostra la forma generale in variabili normalizzate ($C$ rispetto a $S/N_0$, $B$ rispetto a $S/N_0$):

Per aumentare la capacità oltre l'asintoto serve più potenza ricevuta (minore attenuazione, più $P_{tx}$) o un ricevitore meno rumoroso: ma anche questo è solo logaritmico finché l'SNR è alto, e lineare in $P_{tx}$ quando l'SNR è basso (regime in cui $C\simeq\frac{S}{N_0\ln2}$ non dipende più da $B$).