Esercizio - coda M/M/1 con servitore occupato al 90 per cento

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Testo (esercizio 8.9 del libro). Un sistema a coda M/M/1 ha tasso di servizio $\mu=10$ clienti/secondo. A regime il servitore è occupato per il $90\%$ del tempo. Si calcolino: a) il tasso di arrivo $\lambda$; b) il numero medio $m_q$ di clienti nell'area di attesa (si confronti con a e si discuta: è un sistema "vuoto"?); c) la probabilità che il numero $q$ di clienti in coda sia superiore del $20\%$ alla media; d) la probabilità che un cliente passi più di $2$ secondi nel sistema.

Teoria usata: Sistemi a coda M-M-1 e M-M-mIn un sistema M/M/m (arrivi di Poisson $\lambda$, servizi esponenziali $\mu$, $m$ servitori) il numero di clienti $x(t)$ è una catena di Markov di nascita e morte con tassi di nascita $\lambda$ e di morte $\min(k,m)\mu$. A regime il bilancio di flusso $\lambda\pi_{k-1}=\min(k,m)\mu,\pi_k$ dà per M/M/1 $\pi_k=(1-\rho)\rho^k$ ($\rho=\frac\lambda\mu<1$), $E[x]=\frac\rho{1-\rho}$, $E[s]=\frac1{\mu-\lambda}$ (esponenziale), e per M/M/m la probabilità di accodamento di Erlang C, $C=P[x\ge m]$, con $E[q]=\frac{C,G}{m-G}$, $E[w]=\frac C{m\mu-\lambda}$, $E[s]=E[w]+\frac1\mu$ ($G=\frac\lambda\mu$, $\rho=\frac Gm<1$).Sistemi a coda M-M-1 e M-M-m →, Sistemi a coda M-G-1 e formula di LittleMisure di un sistema a coda: occupazione $x=q+z$, tempi $s=w+y$, traffico offerto $G=\frac\lambda\mu$, fattore di carico $\rho=\frac\lambda{m\mu}$, throughput $\eta$ e throughput normalizzato $S=\frac\eta\mu$. Il sistema senza blocco è stabile se $\rho<1$ e allora $\eta=\lambda$, altrimenti $\eta=m\mu$. La formula di Little $E[x]=\lambda E[s]$ vale sempre (anche per la sola coda, $E[q]=\lambda E[w]$, e per il servizio, $E[z]=\lambda E[y]$). Per arrivi di Poisson e servizio generale (M/G/1) la formula di Pollaczek-Khinchin dà $E[w]=\frac{\lambda E[y^2]}{2(1-\rho)}$: con servizio esponenziale si ritrova l'M/M/1, con servizio costante (M/D/1) l'attesa si dimezza, $E[w]=\frac{\rho}{2\mu(1-\rho)}$.Sistemi a coda M-G-1 e formula di Little →.

a) Tasso di arrivo

Il servitore è occupato per la frazione $\rho$ del tempo: per Little sulla struttura di servizio $E[z]=\lambda E[y]=\frac\lambda\mu=\rho$ e per un solo servitore $E[z]$ è proprio la probabilità che sia occupato. Quindi $\rho=0{,}9$ e $$\lambda=\rho\mu=0{,}9\cdot10=9\ \text{clienti/s}.$$ Il sistema è stabile ($\rho<1$).

b) Numero medio in coda

$$m_q=E[q]=\frac{\rho^2}{1-\rho}=\frac{0{,}81}{0{,}1}=8{,}1\ \text{clienti}.$$ Per confronto: $E[x]=\frac\rho{1-\rho}=9$ clienti nel sistema ($8{,}1$ in coda $+0{,}9$ in servizio), e arrivano $9$ clienti/s. Il fatto che $\rho<1$ garantisce solo la stabilità (la coda non cresce senza limite): non significa che il sistema sia vuoto. Qui in coda ci sono in media più di otto clienti: il sistema, pur stabile, è molto carico, e i clienti aspettano in media $E[w]=\frac{m_q}\lambda=\frac{8{,}1}{9}=0{,}9$ s, nove volte il tempo di servizio di $0{,}1$ s.

c) Probabilità che $q$ superi la media del $20\%$

$1{,}2\,m_q=1{,}2\cdot8{,}1=9{,}72$. Poiché $q$ è intero, $q>9{,}72$ equivale a $q\ge10$ (nel libro $q>\lfloor1{,}2m_q\rfloor=9$). Se in coda ci sono $q\ge10$ clienti, nel sistema ce ne sono $x=q+1\ge11$ (uno è in servizio): $P[q\ge10]=P[x\ge11]$. Per l'M/M/1 $P[x\ge k]=\rho^k$ (somma della serie geometrica $\sum_{j\ge k}(1-\rho)\rho^j=\rho^k$), quindi $$P[q>9{,}72]=P[x\ge11]=\rho^{11}=0{,}9^{11}=0{,}314.$$

d) Più di $2$ secondi nel sistema

Il tempo di sistema $s$ è esponenziale di tasso $\mu-\lambda=10-9=1\ \text{s}^{-1}$ (media $1$ s, coerente con Little: $E[s]=\frac{E[x]}\lambda=\frac99=1$ s): $$P[s>2]=e^{-(\mu-\lambda)\cdot2}=e^{-2}=0{,}135.$$ Nota. Le soluzioni del libro riportano $0{,}98$, che non è corretto: $0{,}98=e^{-0{,}02}$ si otterrebbe con una soglia di $20$ ms ($P[s>0{,}02]$); per $2$ s la probabilità è $0{,}135$, e $P[s\le2]=0{,}865$.

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