Esercizio - sistema radio con N ricevitori in topologia a stella

Testo (scheda di esercizi n. 3, mezzi trasmissivi, esercizio 3). Un sistema radio a temperatura fisica $T_1=263$ K usa la banda $B=[2{,}4025,\ 2{,}4133]$ (stesse unità della frequenza) ed è composto da un trasmettitore collegato a $N=6$ ricevitori identici, con topologia a stella. Il trasmettitore è al centro e i ricevitori sono tutti alla stessa distanza, con le stesse condizioni di canale. Il trasmettitore usa una potenza $P_{tx}=16{,}5$ dBm. Normalmente il sistema divide la banda disponibile in $N$ sottobande di uguale ampiezza e trasmette in parallelo a tutti i ricevitori, usando una frazione $\frac1N$ della potenza per ciascuno. Con questa modalità l'SNR in ingresso ai ricevitori è $25{,}4$ dB. Si attiva ora un'altra modalità, in cui il trasmettitore comunica soltanto con il ricevitore numero $4$, usando tutta la banda a disposizione e concentrando tutta la potenza $P_{tx}$. Qual è l'SNR in ingresso a quel ricevitore?

Teoria usata: Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →.

Soluzione

Si usa il link budget in forma lineare (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →) per un ricevitore: per la modalità "a stella" $$\text{SNR}_1=\frac{P_1}{a_{ch}\,kT_{eff}\,B_1},\qquad P_1=\frac{P_{tx}}N,\qquad B_1=\frac BN .$$ Il canale ($a_{ch}$, uguale per tutti: stessa distanza e stesse condizioni) e il rumore del ricevitore ($T_{eff}$, ricevitori identici) sono gli stessi in entrambe le modalità. Nella nuova modalità si usano tutta la potenza e tutta la banda: $$\text{SNR}_2=\frac{P_{tx}}{a_{ch}\,kT_{eff}\,B}.$$ Il rapporto tra i due è $$\frac{\text{SNR}_2}{\text{SNR}_1}=\frac{P_{tx}/B}{(P_{tx}/N)/(B/N)}=\frac{P_{tx}/B}{P_{tx}/B}=1 .$$ La potenza e la banda (cioè il rumore raccolto) vengono moltiplicate per lo stesso fattore $N$: l'SNR non cambia, $$\text{SNR}_2=\text{SNR}_1=\boxed{25{,}4\ \text{dB}}.$$ In dB: $P_{tx}$ aumenta di $10\log_{10}6=7{,}8$ dB ma anche $10\log_{10}B$ aumenta di $7{,}8$ dB, e i due termini si compensano nella formula $\text{SNR}_{dB}=P_{tx,dBm}+114-a_{ch}-F-10\log_{10}B_{MHz}$.

Osservazioni

• I dati $T_1=263$ K, $B=[2{,}4025,2{,}4133]$ e $P_{tx}=16{,}5$ dBm non servono: sono un depistaggio (la temperatura fisica entra solo nel rumore termico del ricevitore, già incluso in $T_{eff}$; il valore di $B$ vale solo come rapporto).
• Cosa cambia in realtà: il bit-rate verso il singolo ricevitore. Con la stessa SNR e una banda $N$ volte più larga, un'efficienza spettrale uguale permette un bit-rate $N$ volte maggiore (Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →).

Errori comuni

• Aspettarsi un aumento di $10\log_{10}6=7{,}8$ dB perché si concentra tutta la potenza su un ricevitore, dimenticando che aumenta anche la banda di rumore.
• Usare i numeri della banda (che sono frequenze, non una larghezza) senza calcolarne la differenza: qui non servono affatto.