Esercizio - quaternaria ortogonale e biortogonale, probabilità di bit

Testo (appunti di esercitazione di Bressanone, modulazioni $M$-arie). Per una modulazione quaternaria ($M=4$, parole di bit $00,01,10,11$) con rumore AWGN e simboli equiprobabili si vuole la probabilità d'errore sul bit in funzione di $\frac{E_s}{N_0}$ nei due casi: (a) modulazione ortogonale a $4$ segnali; (b) modulazione biortogonale a $4$ segnali (due segnali ortogonali e i loro opposti). Calcolare poi i valori per $\frac{E_s}{N_0}=8$ dB.

Teoria usata: Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →, Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit →.

(a) Ortogonale

Per la modulazione ortogonale $M$-aria $d_{jk}=d_{min}=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, e con $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}$ (indichiamo $Q_0=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$) si ha, per $M=4$ ($M-1=3$ vicini a $d_{min}$), $$P[E]\simeq3Q_0 .$$ I tre errori $1\to2$, $1\to3$, $1\to4$ sono equiprobabili (stessa distanza dal punto trasmesso): ognuno ha probabilità $\frac{P[E]}3$. Non tutti gli errori di simbolo cambiano lo stesso numero di bit. Con le parole $1=00$, $2=01$, $3=10$, $4=11$, dal simbolo $1$:

(per qualunque altro simbolo di partenza la statistica è la stessa: due errori su un solo bit e uno su due.) Il numero medio di bit sbagliati dato un errore di simbolo è $$\frac23\cdot1+\frac13\cdot2=\frac43\ \text{bit su }2,$$ quindi una frazione $\frac{4/3}2=\frac23$ dei bit. Perciò $$P_{bit}=P[E]\cdot\frac{\#\text{medio di bit sbagliati}}{\log_2M}=\frac23P[E]=\frac23\cdot3Q_0=\boxed{2\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)}.$$ (Coerente con la regola generale $\frac{P_{bit}}{P[E]}=\frac{M}{2(M-1)}=\frac23$ per $M=4$.)

(b) Biortogonale

I quattro segnali sono $\pm s_1,\pm s_2$ con $s_1\perp s_2$. Ogni simbolo ha due vicini a $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ (i segnali ortogonali) e un opposto a $2\sqrt{E_s}$; il limite $P[E]\le(M-2)Q_0+Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$ dà, trascurando il termine dell'opposto, $$P[E]\simeq2\,Q_0 .$$ Qui la mappa conta e conviene una mappa di Gray ciclica: $s_1=00$, $s_2=01$, $-s_1=11$, $-s_2=10$ (vicini a distanza di Hamming $1$, opposti a distanza $2$ — i simboli più lontani hanno la parola più diversa, "scelta furba"). Gli errori verso i due vicini ortogonali, i più probabili, cambiano un solo bit: $$P_{bit}=\frac{P[E]}{\log_2M}=\frac{P[E]}2=\boxed{Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)}.$$ (Se si tiene anche l'errore verso l'opposto, che cambia due bit, si ottiene un valore compreso fra $\frac{Q_0}2$ e $Q_0$; sopra $\frac{E_s}{N_0}$ di pochi dB il contributo è irrilevante.)

Valori numerici per $\frac{E_s}{N_0}=8$ dB

$\frac{E_s}{N_0}=10^{0{,}8}=6{,}31$, $\sqrt{6{,}31}=2{,}51$ e $Q_0=Q(2{,}51)=6{,}0\cdot10^{-3}$.

A parità di $\frac{E_s}{N_0}$ la biortogonale dimezza la probabilità d'errore sul bit rispetto all'ortogonale e usa metà della banda ($B_{min}=\frac M{4T}$ invece di $\frac M{2T}$): Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →.

Errori comuni

• Usare $P_{bit}=\frac{P[E]}{\log_2M}$ per l'ortogonale: vale solo con una mappa di Gray in cui gli errori più probabili sono verso vicini unici; con tutti gli errori equiprobabili la frazione è $\frac M{2(M-1)}$ (qui $\frac23$, non $\frac12$).
• Non scegliere la mappa nel caso biortogonale: con una mappa sbagliata (opposti a distanza di Hamming $1$ e un vicino a distanza $2$) si perde il fattore $2$.