Esercizio - potenza di rumore trasferita a un carico adattato e disadattato

Testo (scheda di esercizi n. 3, mezzi trasmissivi, esercizio 1). Una sorgente emette un segnale utile nell'intervallo di frequenze $|f|<f_0$ con $f_0=500$ kHz. In quell'intervallo la sua impedenza interna è $Z(f)=R(f)+jX(f)$, con $R(f)=0{,}75\left(10\frac f{f_0}\right)^2+312{,}5$ e $X(f)=600-\frac{210}{\max\left(1,\,30f/f_0\right)}$ (entrambe in $\Omega$), e la sua temperatura di rumore è $4000$ K. La sorgente è chiusa su un'impedenza $Z_L(f)$. Esprimere in dBm la potenza elettrica del rumore, nella banda di interesse, trasferita al carico $Z_L(f)$ quando: (a) il carico è adattato; (b) $Z_L=0{,}5R(f)-jX(f)$; (c) $Z_L=j\cdot10R(f)$.

Teoria usata: Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →, Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →.

Strategia

Il rumore della sorgente è il suo rumore termico equivalente: un generatore di tensione di rumore $w_i(t)$ in serie a $Z_S=Z(f)$, con PSD (in V$^2$/Hz) $$\mathcal P_{w_i}(f)=2kT_s\,R_S(f),\qquad T_s=4000\ \text{K}.$$ La potenza elettrica trasferita al carico si ottiene con la formula della densità di potenza elettrica (Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →): $$p_{w_L}(f)=\mathcal P_{w_i}(f)\,\frac{R_L(f)}{\lvert Z_S(f)+Z_L(f)\rvert^2}=2kT_sR_S\,\frac{R_L}{\lvert Z_S+Z_L\rvert^2},\qquad P_{w_L}=2\int_{\mathcal B}p_{w_L}(f)\,df,$$ con $\mathcal B=[0,f_0]$ la banda di interesse (l'impedenza è nota solo per $|f|<f_0$ e fuori da lì i valori sono irrilevanti: per i conti si "filtra" tutto in banda base su $[0,500\ \text{kHz}]$, e il fattore $2$ davanti all'integrale tiene conto delle frequenze negative, perché $p_{w_L}$ è una funzione pari).

(a) Carico adattato

Con $Z_L=Z_S^*$ (cioè $R_L=R_S$, $X_L=-X_S$) il denominatore è $|Z_S+Z_S^*|^2=(2R_S)^2$ e $$p_{w_L}(f)=2kT_sR_S\frac{R_S}{4R_S^2}=\frac12kT_s ,$$ costante: tutti i dettagli di $R(f)$ e $X(f)$ si semplificano. La potenza è $$P_{w_L}^{(a)}=2\int_0^{f_0}\frac12kT_s\,df=kT_sf_0=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot4000\cdot5\cdot10^5=2{,}76\cdot10^{-14}\ \text{W}=2{,}76\cdot10^{-11}\ \text{mW}.$$ In dBm: $10\log_{10}\left(2{,}76\cdot10^{-11}\right)=\boxed{-105{,}6\ \text{dBm}}$.

(b) Carico $Z_L=\frac12R-jX$

Qui $R_L=\frac12R_S$ e $X_L=-X_S$: le reattanze si compensano ma le resistenze no. Il denominatore è $\lvert R_S+\tfrac12R_S\rvert^2=\left(\tfrac32R_S\right)^2=\tfrac94R_S^2$ e $$p_{w_L}(f)=2kT_sR_S\frac{R_S/2}{\frac94R_S^2}=\frac49\,kT_s,\qquad P_{w_L}^{(b)}=2\int_0^{f_0}\frac49kT_s\,df=\frac89\,kT_sf_0=\frac89P_{w_L}^{(a)} .$$ È $\frac89$ del caso adattato (coerente con il fattore $\frac{4\rho}{(1+\rho)^2}=\frac89$ per $\rho=\frac12$), cioè $-0{,}51$ dB: $$P^{(b)}_{w_L}=2{,}45\cdot10^{-14}\ \text{W}\ \Longrightarrow\ \boxed{-106{,}1\ \text{dBm}}\qquad\left(-105{,}6+10\log_{10}\tfrac89=-105{,}6-0{,}51\right).$$

(c) Carico puramente reattivo

$Z_L=j\,10R$ ha parte reale $R_L=0$: $p_{w_L}(f)\propto R_L=0$ e quindi $P_{w_L}^{(c)}=0$ W, cioè $\boxed{-\infty\ \text{dBm}}$ (nessuna potenza attiva su un carico reattivo).

Lezione

L'adattamento ha soprattutto un interesse teorico: se non è verificato la potenza trasferita è in genere molto vicina ma non sempre (una scelta sciocca, come il carico reattivo, rovina tutto). In ingegneria basta controllare che il disadattamento non sia grave.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $2$ davanti all'integrale (frequenze negative) o integrare su $[-f_0,f_0]$ e dividere per due: in banda $[0,f_0]$ la potenza è $kT_sf_0$, non $\frac12kT_sf_0$.
• Pensare che $R(f)$ e $X(f)$ servano nei conti: per il carico adattato si semplificano.
• Usare $T=290$ K invece della temperatura di rumore della sorgente ($4000$ K).