Esercizio - segnali rettangolari, base di Gram-Schmidt e coefficiente di correlazione

Testo (scheda di esercizi n. 4, modulazione digitale, esercizio 1). Si considerino i segnali $s_1(t)$ e $s_2(t)$ della figura, usati da un modulatore binario: $s_1(t)=\sqrt{E_s/T}$ per $0<t<T$ e $s_2(t)=\sqrt{2E_s/T}$ per $0<t<\frac T2$ (zero altrove). Dopo avere verificato che entrambi hanno energia $E_s$, trovare una base ortonormale (per esempio con il procedimento di Gram-Schmidt a partire da $s_1(t)$), cioè $\operatorname{span}\{s_1,s_2\}=\operatorname{span}\{\varphi_j\}$ con $\lVert\varphi_j\rVert=1$. Qual è la dimensione dello spazio generato? Scrivere il coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\int_0^Ts_1(t)s_2^*(t)\,dt}{E_s}$. Infine scrivere i segnali $s_1$ e $s_2$ nella base trovata.

Teoria usata: Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →, Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →.

1. Energie

$$E_1=\int_0^T\frac{E_s}T\,dt=E_s,\qquad E_2=\int_0^{T/2}\frac{2E_s}T\,dt=\frac{2E_s}T\cdot\frac T2=E_s .$$ Entrambe valgono $E_s$ come richiesto.

2. Gram-Schmidt

Prima funzione di base. $\varphi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_1}}=\frac1{\sqrt T}$ per $0<t<T$ (norma: $\frac1T\cdot T=1$).

Proiezione di $s_2$ su $\varphi_1$. $$c=\langle s_2,\varphi_1\rangle=\int_0^{T/2}\sqrt{\frac{2E_s}T}\cdot\frac1{\sqrt T}\,dt=\sqrt{\frac{2E_s}T}\,\frac1{\sqrt T}\,\frac T2=\frac{\sqrt{2E_s}}2=\sqrt{\frac{E_s}2}.$$ Parte ortogonale. Poiché $c\ne\sqrt{E_2}$, $s_2$ non è proporzionale a $s_1$ e serve una seconda funzione di base. L'energia della parte ortogonale è $E_2-c^2=E_s-\frac{E_s}2=\frac{E_s}2$, e la funzione è $$\tilde\varphi_2=s_2-c\,\varphi_1=\begin{cases}\sqrt{\frac{2E_s}T}-\sqrt{\frac{E_s}2}\frac1{\sqrt T}=\sqrt{\frac{E_s}T}\left(\sqrt2-\frac1{\sqrt2}\right)=\sqrt{\frac{E_s}{2T}}&0<t<\frac T2\\[4pt]-\sqrt{\frac{E_s}2}\frac1{\sqrt T}=-\sqrt{\frac{E_s}{2T}}&\frac T2<t<T\end{cases}$$ Normalizzando con $\sqrt{E_s/2}$: $$\varphi_2(t)=\frac{\tilde\varphi_2}{\sqrt{E_s/2}}=\begin{cases}\frac1{\sqrt T}&0<t<\frac T2\\-\frac1{\sqrt T}&\frac T2<t<T\end{cases}$$ (un'onda quadra: norma $\frac1T\cdot T=1$, ortogonale a $\varphi_1$ perché ha area nulla). Il segno di $\varphi_2$ è arbitrario.

Dimensione dello spazio: $I=2$ (due segnali linearmente indipendenti).

3. Correlazione e vettori

Il prodotto scalare è $\langle s_1,s_2\rangle=\int_0^{T/2}\sqrt{\frac{E_s}T}\sqrt{\frac{2E_s}T}\,dt=\frac{\sqrt2E_s}T\cdot\frac T2=\frac{E_s}{\sqrt2}$, quindi $$\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{E_s}=\frac1{\sqrt2}=0{,}707\qquad(\theta=45^\circ,\ \rho=\cos\theta).$$ I vettori nella base $\{\varphi_1,\varphi_2\}$ sono $$\mathbf s_1=\left(\sqrt{E_s},\ 0\right),\qquad\mathbf s_2=\left(c,\ \sqrt{E_2-c^2}\right)=\left(\sqrt{\frac{E_s}2},\ \sqrt{\frac{E_s}2}\right)=\sqrt{E_s}\,\left(\cos45^\circ,\sin45^\circ\right).$$ La distanza è $d_{12}=\sqrt{2E_s(1-\rho)}=\sqrt{E_s}\sqrt{2-\sqrt2}=0{,}765\sqrt{E_s}$ (si può verificare: $\lVert\mathbf s_1-\mathbf s_2\rVert^2=\left(\sqrt{E_s}-\sqrt{E_s/2}\right)^2+\frac{E_s}2=E_s(1-\sqrt2+\frac12+\frac12)=E_s(2-\sqrt2)$).

Osservazione

Con questi segnali e rumore AWGN, la probabilità d'errore è $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{0{,}293\frac{E_s}{N_0}}\right)$ (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →): peggiore di $10\log_{10}\frac{2}{1-\rho}=10\log_{10}6{,}83=8{,}3$ dB rispetto all'antipodale e di $10\log_{10}\frac1{1-\rho}=5{,}3$ dB rispetto all'ortogonale ($\rho=0$), a parità di $E_s$.

Errori comuni

• Normalizzare con $\sqrt T$ per la seconda funzione: la parte ortogonale ha energia $\frac{E_s}2$ e si normalizza con $\sqrt{E_s/2}$.
• Dimenticare di sottrarre la proiezione prima di normalizzare ($s_2$ non è ortogonale a $\varphi_1$: $\rho\ne0$).
• Dire che la dimensione è $1$ perché i segnali sono entrambi rettangoli: hanno durate diverse, quindi sono indipendenti.