Lezione 10Modulazione digitale, spazio dei segnali e decisione ottima

Fonte: appunti a mano tlc_10 e slide TLC6 (regioni di decisione, ricevitori di tipo I e II), corso Telecommunications, UniPD.

Argomenti trattati

1. Schema di trasmissione e modulazione digitale: simboli $a_k\in\{1,\dots,M\}$, famiglia di $M$ forme d'onda $s_1(t),\dots,s_M(t)\in\mathcal L^2$ (esempio con quattro forme d'onda in $[0,T]$), tempo di simbolo $T$, ISI, modulazione binaria ($T=T_b$) e $M$-aria ($T_b=\frac T{\log_2M}$, mappa di bit).
2. Spazi vettoriali: $\mathcal L^2(\mathbb R)$, prodotto scalare, energia, norma; la famiglia di $M$ segnali genera un sottospazio di dimensione $I\le M$; procedimento di Gram-Schmidt (e quando non serve); rappresentazione del segnale con le sue coordinate $v_j=\langle x,\varphi_j\rangle$; costellazione; isomorfismi (vettore come $I$-upla o come freccia).
3. Il rumore nello spazio dei segnali: $w=w_\varphi+w_\perp$; teorema di irrilevanza (enunciato e dimostrazione); componenti $w_j$ gaussiane a media nulla, incorrelate con varianza $\frac{N_0}2=\sigma_I^2$; densità del vettore ricevuto.
4. Teoria della decisione: probabilità a priori $p_j$, regioni di decisione, probabilità di decisione corretta $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j$; esempio unidimensionale con tre campane; criterio MAP, ML, MD; MD $=$ ML con AWGN; esempio ("il regalo") in cui MAP, ML e MD portano a risultati diversi.
5. Ricevitore a minima distanza: proiezioni con filtri $\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)$ (causalità e $t_0$); tipo I ($I$ filtri e $\arg\min$ delle distanze); tipo II ($\arg\max$ di $\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2$); quale scegliere ($I\ll M$ o $I\approx M$); segnale ricevuto $\ne$ trasmesso, matched filter rispetto al canale.
6. Condizioni di Nyquist per l'assenza di ISI: $\langle\varphi_j(t),\varphi_k(t-\ell T)\rangle=\delta_{\ell0}\delta_{jk}$; banda larga e ISI.

Teoria

• Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt → — punti 1, 2, 3 e 6
• Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML → — punto 4
• Ricevitore a minima distanza e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza ottiene $\mathbf r$ proiettando $r(t)$ sulla base, $r_j=\langle r,\varphi_j\rangle$: ogni proiezione è l'uscita, campionata in $t_0$, di un filtro con risposta impulsiva $\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)$ (il filtro adattato). Poi calcola le distanze e sceglie il minimo (tipo I, $I$ filtri), oppure usa direttamente i segnali con $\hat a_0=\arg\max_j{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2}$ (tipo II, $M$ filtri). Il filtro adattato massimizza l'SNR all'istante di campionamento, con valore massimo $\frac{2E}{N_0}$. Per modulazioni binarie basta un solo filtro e un rivelatore a soglia.Ricevitore a minima distanza e filtro adattato → — punto 5

Esercizi

• Esercizio - segnali rettangolari, base di Gram-Schmidt e coefficiente di correlazione — Gram-Schmidt con due rettangoli
• Esercizio - diagnosi con MAP, ML e minima distanza — MAP, ML e MD con distribuzioni di Poisson

Lezione precedente: Lezione 9 · Esercizi sui mezzi trasmissivi · Lezione successiva: Lezione 11 · Modulazione binaria, probabilità d'errore e modulazioni M-arie