Esercizio - call center, stabilità e sostenibilità economica

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Testo (approfondimento, con "una scintilla di Project Management"). Un call center impiega $m$ telefonisti e riceve in media $H$ chiamate all'ora. La durata media di una chiamata è $m_y$ e ogni telefonista è pagato $c$ euro all'ora. Ogni chiamata costa all'utente $E$ euro al minuto. Il call center vuole guadagnare dalle chiamate più di quello che paga ai telefonisti. Che tipo di sistema a coda è? Quando è stabile? Quando è economicamente sostenibile? Esempio 8.4a (libro): $H=20$ chiamate/ora, durata media $5$ minuti, $c=0{,}6$ euro (il testo dice "al minuto", segnalato come refuso), $E=\frac13$ euro/minuto. Quanti telefonisti servono per la stabilità? Il sistema può essere economicamente sostenibile? Esercizio 8.16 (libro): $H=20$ chiamate/ora, $m=5$ operatori, $c=0{,}2$ euro/minuto, $E=\frac13$ euro/minuto. Quanto deve durare in media una chiamata perché il sistema sia stabile sia economicamente sostenibile? Che cosa succede se la chiamata è troppo lunga o troppo corta? (Il testo osserva che i risultati numerici del libro per questo esercizio sono probabilmente sbagliati.)

Teoria usata: Sistemi a coda M-M-1 e M-M-mIn un sistema M/M/m (arrivi di Poisson $\lambda$, servizi esponenziali $\mu$, $m$ servitori) il numero di clienti $x(t)$ è una catena di Markov di nascita e morte con tassi di nascita $\lambda$ e di morte $\min(k,m)\mu$. A regime il bilancio di flusso $\lambda\pi_{k-1}=\min(k,m)\mu,\pi_k$ dà per M/M/1 $\pi_k=(1-\rho)\rho^k$ ($\rho=\frac\lambda\mu<1$), $E[x]=\frac\rho{1-\rho}$, $E[s]=\frac1{\mu-\lambda}$ (esponenziale), e per M/M/m la probabilità di accodamento di Erlang C, $C=P[x\ge m]$, con $E[q]=\frac{C,G}{m-G}$, $E[w]=\frac C{m\mu-\lambda}$, $E[s]=E[w]+\frac1\mu$ ($G=\frac\lambda\mu$, $\rho=\frac Gm<1$).Sistemi a coda M-M-1 e M-M-m →, Sistemi a coda M-G-1 e formula di LittleMisure di un sistema a coda: occupazione $x=q+z$, tempi $s=w+y$, traffico offerto $G=\frac\lambda\mu$, fattore di carico $\rho=\frac\lambda{m\mu}$, throughput $\eta$ e throughput normalizzato $S=\frac\eta\mu$. Il sistema senza blocco è stabile se $\rho<1$ e allora $\eta=\lambda$, altrimenti $\eta=m\mu$. La formula di Little $E[x]=\lambda E[s]$ vale sempre (anche per la sola coda, $E[q]=\lambda E[w]$, e per il servizio, $E[z]=\lambda E[y]$). Per arrivi di Poisson e servizio generale (M/G/1) la formula di Pollaczek-Khinchin dà $E[w]=\frac{\lambda E[y^2]}{2(1-\rho)}$: con servizio esponenziale si ritrova l'M/M/1, con servizio costante (M/D/1) l'attesa si dimezza, $E[w]=\frac{\rho}{2\mu(1-\rho)}$.Sistemi a coda M-G-1 e formula di Little →.

Il modello

Le chiamate arrivano a caso e indipendentemente (processo di Poisson, tasso $\lambda=H$ all'ora), la durata è esponenziale di media $m_y$ (tasso $\mu=\frac1{m_y}$), ci sono $m$ telefonisti identici e le chiamate in attesa restano in coda (la coda è infinita, FCFS): è un sistema M/M/$m$.

Stabilità. Per un M/M/$m$ serve $\lambda<m\mu$, cioè $$\rho=\frac{\lambda}{m\mu}=\frac{\lambda m_y}m<1\quad\Longleftrightarrow\quad m>\lambda m_y=G,$$ dove $G=\lambda m_y$ è il traffico offerto, il numero medio di telefonisti necessari (erlang). Con $\lambda$ in chiamate al minuto e $m_y$ in minuti: $G=\frac H{60}m_y$.

Sostenibilità economica. Se il sistema è stabile ogni chiamata è servita, quindi in un minuto il call center incassa $E$ euro per ogni minuto di conversazione, e i minuti di conversazione per minuto di tempo sono in media $\lambda m_y=G$ (numero medio di telefonisti occupati). Ricavo e costo per minuto (con $c$ in euro al minuto): $$\text{ricavo}=E\,\lambda m_y=E\,G,\qquad\text{costo}=m\,c.$$ Sostenibile se $E\,\lambda m_y>m\,c$, cioè $m<\frac{E\lambda m_y}c$. Insieme alla stabilità: $$\boxed{\lambda m_y<m<\frac{E}{c}\,\lambda m_y}$$ un intervallo non vuoto se e solo se $\frac Ec>1$, cioè se un minuto di conversazione frutta più di quanto costa un minuto di telefonista.

Esempio 8.4a

$\lambda=\frac{20}{60}=\frac13$ chiamate/min, $m_y=5$ min: $G=\frac13\cdot5=\frac53=1{,}67$ erlang. Stabilità: $m>1{,}67$, quindi servono almeno $m=2$ telefonisti (con $2$ telefonisti $\rho=\frac{1{,}67}2=0{,}83$; la probabilità di attesa è $C=0{,}758$, Erlang C).

Sostenibilità. Con $c=0{,}6$ euro al minuto come scritto ($36$ euro all'ora): $\frac Ec=\frac{1/3}{0{,}6}=0{,}56<1$. Anche un telefonista sempre occupato incassa $E=0{,}333$ euro al minuto contro un costo di $0{,}6$: non è mai sostenibile, per nessun $m$ (la condizione richiederebbe $m<\frac{E}{c}G=0{,}93$, che contraddice $m\ge2$). Se invece $c=0{,}6$ euro all'ora come dice il testo ($0{,}01$ euro/min) il costo è trascurabile e $m<\frac{0{,}333\cdot1{,}667}{0{,}01}=55{,}6$: sostenibile per $2\le m\le55$.

Esercizio 8.16

$\lambda=\frac13$ min$^{-1}$, $m=5$, $c=0{,}2$ euro/min, $E=\frac13$ euro/min.

• Stabilità: $\lambda m_y<m\Rightarrow m_y<\frac m\lambda=\frac5{1/3}=15$ min.
• Sostenibilità: ricavo $E\lambda m_y=\frac13\cdot\frac13m_y=\frac{m_y}9$ euro/min contro un costo $mc=5\cdot0{,}2=1$ euro/min: $\frac{m_y}9>1\Rightarrow m_y>9$ min.

$$\boxed{9\ \text{min}<m_y<15\ \text{min}}$$ (Il libro riporta $5<m_y<15$: il limite inferiore $5$ non corrisponde ai dati, per cui l'osservazione del testo sembra fondata.)

Se la chiamata è troppo corta ($m_y<9$ min) il sistema è stabile ma gli operatori sono occupati troppo poco tempo ($G<3$ erlang su $5$ telefonisti): il ricavo non copre il costo. Se è troppo lunga ($m_y\ge15$ min) $\rho\ge1$: il sistema è instabile, la coda cresce senza limite (le chiamate aspettano all'infinito, in pratica gli utenti riagganciano); i telefonisti sono sempre occupati e si incassano $mE=\frac53=1{,}67$ euro/min, ancora più del costo di $1$ euro/min, ma il servizio non è più erogato in modo accettabile.