Esercizio - trasmettitore con BPSK, 16-QAM o 64-QAM e distanze raggiungibili

Testo (scheda di esercizi n. 5, modulazione digitale, esercizio 3). Un trasmettitore radio può scegliere tra tre modulazioni: BPSK, $16$-QAM o $64$-QAM. In tutti i casi l'energia media del simbolo trasmesso è $E_{tx}=5\cdot10^{-7}$ V$^2$s. Tutte le modulazioni usano una portante sinusoidale a $f_0=2{,}15$ GHz e, se la modulazione lo richiede, anche la portante in quadratura. Le forme d'onda si scrivono $s_n(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_nh(t)e^{-j2\pi f_0t}\right]$, dove per la BPSK $\alpha_n=\pm1$, mentre nelle QAM sono valori complessi di una costellazione quadrata. Il segnale $h(t)$ ha durata $1\ \mu$s e banda di ampiezza $B_h=2{,}5$ MHz.¹ Non c'è ISI, la linea è adattata a $Z_0=100\ \Omega$, il ricevitore è ottimo. L'antenna trasmittente ha guadagno $4$ dB, il ricevitore ha cifra di rumore $19$ dB e l'antenna ricevente ha guadagno $7$ dB. Si deve garantire al più un bit sbagliato ogni milione. Assumendo che l'ambiente radio segua la legge di Friis dello spazio libero, trovare gli intervalli di distanza in cui il dispositivo può trasmettere con un certo bit-rate, e a quale distanza una trasmissione affidabile non è più possibile.

¹ È una valutazione pratica, perché un segnale non può essere limitato sia in banda sia in durata. Quali sono i possibili valori di $B_h$: può essere più bassa? O più alta?

Teoria usata: Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →, Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →, Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →.

Strategia

Per ogni modulazione si ricava il $\frac{E_s}{N_0}$ in ricezione che garantisce $P_{bit}\le10^{-6}$; da lì si ottiene l'attenuazione massima del canale, e quindi la distanza massima con la formula di Friis. Il bit-rate è $R_b=\frac{\log_2M}T$ con $T=1\ \mu$s.

Perché $\frac{E_s}{N_0}$ e non l'SNR con la banda data. Le formule di $P_{bit}$ in funzione di $\frac{E_s}{N_0}$ valgono qualunque sia la banda, ma l'$\text{SNR}=\frac{E_s}{N_0TB}$ coincide con $\frac{E_s}{N_0}$ solo con la banda minima $B_{min}=\frac1T=1$ MHz (SNR di riferimento $\Gamma$, Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →). Il testo dà $B=2B_h=5$ MHz solo come informazione pratica (l'impulso reale ha banda maggiore del minimo): non va usata nel link budget. Si lavora quindi direttamente con $\frac{E_s}{N_0}$.

1. $\frac{E_s}{N_0}$ richiesto per $P_{bit}=10^{-6}$

Con Gray e le formule di Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →:

• BPSK: $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)=10^{-6}\Rightarrow\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}=4{,}753\Rightarrow\frac{E_s}{N_0}=\frac{22{,}6}2=11{,}3\ (10{,}5\ \text{dB})$.
• $16$-QAM: $P_{bit}\approx\frac{4\left(1-\frac14\right)}{4}Q\left(\sqrt{\frac{3}{15}\frac{E_s}{N_0}}\right)=0{,}75\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{5N_0}}\right)=10^{-6}$: $Q(x)=1{,}33\cdot10^{-6}\Rightarrow x=4{,}70\Rightarrow\frac{E_s}{N_0}=5x^2=110\ (20{,}4\ \text{dB})$.
• $64$-QAM: $P_{bit}\approx\frac{4\left(1-\frac18\right)}{6}Q\left(\sqrt{\frac3{63}\frac{E_s}{N_0}}\right)=0{,}583\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{21N_0}}\right)=10^{-6}$: $Q(x)=1{,}71\cdot10^{-6}\Rightarrow x=4{,}64\Rightarrow\frac{E_s}{N_0}=21x^2=453\ (26{,}6\ \text{dB})$.

2. Attenuazione massima

L'energia ricevuta è $E_s=\frac{E_{tx}}{a_{ch}}$ (statistica, in V$^2$s) e la densità di rumore, in unità statistiche, è $$N_0=kT_0F_{rc}\,Z_0=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290\cdot79{,}4\cdot100=3{,}18\cdot10^{-17}\ \text{V}^2/\text{Hz}\qquad(F_{rc}=19\ \text{dB}=79{,}4).$$ Quindi $$\frac{E_s}{N_0}=\frac{E_{tx}}{a_{ch}\,kT_0F_{rc}Z_0}\ \Longrightarrow\ a_{ch,max}=\frac{E_{tx}}{\frac{E_s}{N_0}\,kT_0F_{rc}Z_0}=\frac{5\cdot10^{-7}}{\frac{E_s}{N_0}\cdot3{,}18\cdot10^{-17}} .$$

• BPSK: $a_{ch}=\frac{5\cdot10^{-7}}{11{,}3\cdot3{,}18\cdot10^{-17}}=1{,}39\cdot10^9\Rightarrow91{,}4$ dB;
• $16$-QAM: $a_{ch}=1{,}43\cdot10^8\Rightarrow81{,}5$ dB;
• $64$-QAM: $a_{ch}=3{,}47\cdot10^7\Rightarrow75{,}4$ dB.

(Coerente con il link budget: $P_{tx}=\frac{E_{tx}}{TZ_0}=5$ mW $=7$ dBm e, con $B_{min}=1$ MHz, $\Gamma=7-a_{ch}+114-19-0$: per la BPSK $\Gamma=10{,}5$ dB dà $a_{ch}=91{,}5$ dB ✓.)

3. Distanze (Friis)

La formula di Friis con i guadagni delle antenne è (Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →) $$a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc},\qquad20\log_{10}2150=66{,}6,\quad g_{tx}+g_{rc}=4+7=11\ \text{dB}.$$ Invertendo: $20\log_{10}d_{km}=a_{ch}-32{,}4-66{,}6+11=a_{ch}-88{,}0$.

Per la BPSK, $20\log_{10}d_{km}=91{,}4-88{,}0=3{,}4\Rightarrow d_{km}=1{,}48$; per la $16$-QAM $-6{,}5\Rightarrow0{,}473$ km; per la $64$-QAM $-12{,}6\Rightarrow0{,}233$ km. (Gli appunti, con arrotondamenti più grossolani, riportano $1490$, $477$ e $235$ m.)

Risposta

• fino a circa $233$ m: la $64$-QAM garantisce $P_{bit}\le10^{-6}$ e dà il massimo bit-rate, $6$ Mbit/s;
• tra $233$ m e $473$ m: la $16$-QAM, $4$ Mbit/s;
• tra $473$ m e $1{,}48$ km: solo la BPSK, $1$ Mbit/s;
• oltre circa $1{,}48$ km nessuna delle tre modulazioni è affidabile (nemmeno la più robusta, la BPSK).

È il compromesso classico: più la modulazione è efficiente in banda, meno distanza si raggiunge a parità di potenza (ogni quadruplicazione di $M$ nella QAM richiede circa $6$ dB in più, cioè una distanza dimezzata in spazio libero).

Nota sulla banda $B_h$ (nota del testo)

Per un impulso che deve soddisfare le condizioni di Nyquist con tempo di simbolo $T=1\ \mu$s, la banda non può essere minore di $B_h=\frac1{2T}=500$ kHz (il minimo si ha con il sinc); può essere più alta, e lo è: un impulso a durata limitata (come quello dell'esercizio) ha spettro illimitato, e il valore $2{,}5$ MHz è una banda pratica (che racchiude la maggior parte dell'energia). Un segnale non può essere limitato sia in banda sia in durata: $B_h=2{,}5$ MHz è un compromesso. La banda effettiva è $B=2B_h=5$ MHz in banda passante contro i $B_{min}=1$ MHz del sinc: l'efficienza spettrale reale è $\frac{R_b}B$, cinque volte più bassa di quella massima (Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →).

Errori comuni

• Usare la banda $B=5$ MHz nel link budget con le formule di $P_{bit}(\Gamma)$: $\Gamma$ vuole $B_{min}=\frac1T$. (Se si usasse $\text{SNR}=\Gamma\frac{B_{min}}B$ dentro la $Q$ si sbaglierebbe di $7$ dB.)
• Usare per la QAM la formula della PSK, o dimenticare il fattore $\frac{4(1-1/\sqrt M)}{\log_2M}$ davanti alla $Q$.
• Dimenticare di sommare i guadagni delle due antenne ($4+7=11$ dB) nell'attenuazione di Friis.
• Considerare il guadagno dell'antenna ricevente $7$ dB come guadagno del ricevitore: non entra nella cifra di rumore.