Esercizio - aeromodello radiocomandato e distanza massima

Testo (scheda di esercizi n. 3, mezzi trasmissivi, esercizio 4). Un aeromodello, con il motore alimentato da batterie a $4{,}5$ V in continua, è radiocomandato da un segnale analogico con portante a $1{,}05$ MHz e banda $250$ Hz. La trasmissione radio si può vedere come spazio libero. È stato misurato che a distanza $1$ m dal trasmettitore il segnale radio viene ricevuto con SNR di $84$ dB. Per comandare bene l'aeromodello serve un SNR in ricezione di almeno $30$ dB. Qual è la massima distanza da cui si può comandare l'aeromodello?

Teoria usata: Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →.

Soluzione

Il link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →) dice che l'SNR dipende dalla distanza solo attraverso l'attenuazione del canale: $$\text{SNR}_{dB}(d)=P_{tx,dBm}+114-a_{ch,dB}(d)-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}.$$ Potenza trasmessa, cifra di rumore e banda restano uguali spostando l'aeromodello; quindi la differenza di SNR tra due distanze è la differenza (cambiata di segno) delle attenuazioni. A $d_0=1$ m l'SNR è $84$ dB e deve scendere al più a $30$ dB: l'attenuazione può crescere di $$\Delta a=84-30=54\ \text{dB}.$$ In spazio libero (Friis, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →) $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$: a frequenza e antenne fissate, l'attenuazione dipende da $d$ come $20\log_{10}d$, quindi $$20\log_{10}\frac{d_{max}}{d_0}=54\ \text{dB}\ \Longrightarrow\ \frac{d_{max}}{d_0}=10^{54/20}=10^{2{,}7}=501\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{d_{max}\approx501\ \text{m}\ \approx0{,}5\ \text{km}}.$$

Osservazioni

• Non servono la tensione delle batterie, la banda ($250$ Hz) né la frequenza ($1{,}05$ MHz): sono già incorporate nella misura dell'SNR a $1$ m.
• Con $\lambda=\frac c f=286$ m, $1$ m e $500$ m non sono in campo lontano rispetto a $\lambda$: l'esercizio impone comunque di usare il modello di spazio libero, che è quello a cui si riferisce la formula $a\propto d^2$.
• Se il canale non fosse in spazio libero ma con esponente $\beta=3{,}5$ ($a\propto d^\beta$), si avrebbe $35\log_{10}\frac{d_{max}}{d_0}=54$, cioè $d_{max}=10^{1{,}54}=35$ m: l'ambiente conta molto.

Errori comuni

• Usare $10\log_{10}$ invece di $20\log_{10}$ per la distanza (si otterrebbe $d_{max}=10^{5,4}=2{,}5\cdot10^5$ m): in spazio libero $a\propto d^2$.
• Ricalcolare tutto il link budget: basta la differenza di SNR.
• Dimenticare che si misura in metri la distanza di riferimento ($d_0=1$ m, quindi $d_{max}=501$ m, non $501$ km).