Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM)

Un segnale analogico (voce, musica, video, la tensione di un sensore) si può trasmettere in modo digitale: lo si campiona, lo si quantizza e si trasmettono i bit risultanti con una modulazione digitale (Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →). Questa nota risponde alla domanda: qual è la qualità del segnale ricostruito, tenendo conto sia della quantizzazione sia degli errori del canale? È la sintesi tra la parte sulle sorgenti (Campionamento e conversione analogico-digitalePer trasmettere un segnale analogico $a(t)$ con un sistema digitale lo si trasforma in bit: filtro anti-aliasing, campionatore ($T_s=\frac1{F_s}$, $F_s\ge2B$), quantizzatore su $L=2^b$ livelli, mappa livello $\to$ $b$ bit, serializzatore. Il bit-rate nominale è $R_b=bF_s$. Campionare è reversibile (con un filtro interpolatore, in pratica un holder) se $F_s\ge2B$; quantizzare invece perde informazione in modo irreversibile. Al ricevitore si ripercorre la catena al contrario (D/A).Campionamento e conversione analogico-digitale →, Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →) e quella sulla modulazione. Versione per Ing. Elettronica: Trasmissione di segnali analogici per via digitale - SNR con errori sul canaleTrasmettere un segnale analogico in forma digitale (PCM) introduce due errori: la quantizzazione ($\Lambda_q\approx4^b$ per un segnale uniforme a fondo scala) e gli errori sui bit del canale. Con codice binario naturale e $P_{bit}$ piccola il flip del bit di peso $2^i\Delta$ produce un errore $\pm2^i\Delta$: la potenza dell'errore di canale è $P_{bit}\Delta^2\frac{4^b-1}3$ e l'SNR totale è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}(4^b-1)}$. Si ha quindi una soglia: finché $4P_{bit}4^b\ll1$ vale la quantizzazione ($6$ dB/bit), oltre domina il canale e più bit non servono. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima.Trasmissione di segnali analogici per via digitale - SNR con errori sul canale →.

1. Lo schema e le due sorgenti di errore

La catena è: segnale analogico $a(t)$ $\to$ campionamento (a frequenza $\ge2f_{max}$, nessun problema se si rispetta il teorema del campionamento) $\to a(nT_s)\to$ quantizzatore $Q\to a_q(nT_s)\to$ modulatore digitale (mappa di bit + modulazione) $\to$ canale $\to$ demodulatore $\to\hat a_q(nT_s)$, che è ricostruito da un D/A. Ci sono due errori distinti, rappresentati come due rumori additivi: $$e_q(nT_s)=a_q(nT_s)-a(nT_s)\ \ (\text{quantizzazione}),\qquad e_{ch}(nT_s)=\hat a_q(nT_s)-a_q(nT_s)\ \ (\text{canale, sui bit}).$$ L'SNR complessivo è il rapporto tra la potenza del segnale originale e la potenza di tutto il rumore. I due rumori sono incorrelati, quindi le loro potenze si sommano (non gli SNR): $$\boxed{\Lambda_{PCM}=\frac{M_{signal}}{M_{e_q}+M_{e_{ch}}}}$$ (il simbolo $\Lambda_{PCM}$ è quello del libro). La quantizzazione è un errore deterministico, funzione di $b$ (numero di bit per campione) e di $v_{sat}$; gli errori sui bit invece sono casuali e un bit sbagliato può dare un errore di livello anche grande. Nelle ipotesi della teoria del quantizzatore uniforme (Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →), con saturazione trascurabile, l'errore di quantizzazione ha potenza $$M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12},\qquad\Lambda_q=\frac{M_{signal}}{\Delta^2/12},\qquad2v_{sat}=2^b\Delta .$$

2. Il modello di canale e la mappa di bit

Per calcolare $M_{e_{ch}}$ servono due ipotesi:

1. il canale numerico (modulatore + canale + demodulatore) è un BSC senza memoria: ogni effetto di rumore si riflette soltanto in una probabilità $P_{bit}$ di sbagliare ogni bit, indipendentemente dagli altri (Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit →);
2. serve una mappa di bit. Non è restrittivo usare la PCM (pulse code modulation): il livello più negativo del quantizzatore è mappato nella parola di tutti zeri, poi si usa la notazione binaria standard (naturale) fino all'ultimo livello (tutti uno): per $b=3$, $000,001,010,\dots,111$. Poiché gli errori sono senza memoria non serve una mappa efficiente: ciò che conta è che i bit siano più o meno significativi, per cui gli errori hanno pesi diversi.

3. Potenza dell'errore dovuto al canale

Con un quantizzatore uniforme di $L=2^b$ livelli e passo $\Delta$, scrivendo il livello come $j=\sum_{i=0}^{b-1}c_i\,2^i$ con $c_i\in\{0,1\}$ (bit $c_{b-1}$ il più significativo, di peso $2^{b-1}$), il valore quantizzato è $$a_q=-v_{sat}+\Delta\left(\sum_{i=0}^{b-1}c_i\,2^i+\frac12\right),\qquad\hat a_q=-v_{sat}+\Delta\left(\sum_{i=0}^{b-1}\hat c_i\,2^i+\frac12\right)$$ (con $2^b\Delta=2v_{sat}$, cioè $v_{sat}=2^{b-1}\Delta$). L'errore dovuto al canale è $$e_{ch}=\hat a_q-a_q=\Delta\sum_{i=0}^{b-1}\left(\hat c_i-c_i\right)2^i=\Delta\sum_{i=0}^{b-1}\varepsilon_i\,2^i,\qquad\varepsilon_i=\hat c_i-c_i .$$ Statistica di $\varepsilon_i$. Se i bit $c_i$ sono equiprobabili e indipendenti (e il BSC li inverte con probabilità $P_{bit}$):

• $\varepsilon_i=0$ se il bit è ricevuto giusto: probabilità $1-P_{bit}$;
• $\varepsilon_i=+1$ se $c_i=0$ e $\hat c_i=1$: probabilità $\frac{P_{bit}}2$;
• $\varepsilon_i=-1$ se $c_i=1$ e $\hat c_i=0$: probabilità $\frac{P_{bit}}2$.

Quindi $E[\varepsilon_i]=0$ e $E\left[\varepsilon_i^2\right]=\frac{P_{bit}}2+\frac{P_{bit}}2=P_{bit}$ (la potenza di $\varepsilon_i$ è $P_{bit}$, che è anche la sua varianza). Valori su bit diversi sono incorrelati ($E[\varepsilon_i\varepsilon_k]=E[\varepsilon_i]E[\varepsilon_k]=0$ per $i\ne k$). Il valore medio di $e_{ch}$ è $0$ e la sua potenza è $$M_{e_{ch}}=E\left[e_{ch}^2\right]=\Delta^2\sum_{i,k}E[\varepsilon_i\varepsilon_k]\,2^i2^k=\Delta^2\sum_{i=0}^{b-1}E[\varepsilon_i^2]\,4^i=\Delta^2P_{bit}\sum_{i=0}^{b-1}4^i=\boxed{\Delta^2P_{bit}\,\frac{4^b-1}3}$$ (somma geometrica $\sum_{i=0}^{b-1}4^i=\frac{4^b-1}{3}$: il bit più significativo, $i=b-1$, pesa $\frac{4^{b-1}}{(4^b-1)/3}\approx\frac34$ dell'errore: gli errori sui bit alti sono i più dannosi).

4. L'SNR complessivo

Sommando le potenze dei due errori: $$\Lambda_{PCM}=\frac{M_{signal}}{\frac{\Delta^2}{12}+\Delta^2P_{bit}\frac{4^b-1}3}=\frac{M_{signal}}{\frac{\Delta^2}{12}\left[1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)\right]}$$ (perché $\frac{\Delta^2}3P_{bit}(4^b-1)=\frac{\Delta^2}{12}\cdot4P_{bit}(4^b-1)$), e riconoscendo $\Lambda_q=\frac{M_{signal}}{\Delta^2/12}$:

Formula ($\Lambda_{PCM}$). $$\boxed{\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(2^{2b}-1\right)}}\qquad\textbf{(scala lineare!)}$$

Attenzione: la formula è in scala lineare (la 'trappola' tipica negli esami): $\Lambda_q$ va convertito da dB in lineare prima di usarla, e il risultato riconvertito in dB.

Segnali tipici per $\Lambda_q$ (da Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →):

• segnale uniforme a fondo scala (tra $-v_{sat}$ e $+v_{sat}$): $M_{signal}=\frac{v_{sat}^2}3$, $\Delta=\frac{v_{sat}}{2^{b-1}}$ e $\Lambda_q=\frac{v_{sat}^2/3}{\Delta^2/12}=4\frac{v_{sat}^2}{\Delta^2}=4\cdot4^{b-1}=4^b$ ($6{,}02\,b$ dB);
• segnale con potenza $\sigma^2$ e fattore di carico $\frac{v_{sat}}\sigma$ (saturazione trascurabile): $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=\frac{3\cdot4^b}{(v_{sat}/\sigma)^2}$, cioè $\Lambda_{q,dB}=6{,}02\,b+4{,}77-20\log_{10}\frac{v_{sat}}{\sigma}$.

Soglia (threshold effect). La prestazione ha due regimi:

• se $4P_{bit}\left(4^b-1\right)\ll1$, cioè $P_{bit}\ll\frac1{4\cdot4^b}$: $\Lambda_{PCM}\approx\Lambda_q$, vale solo la quantizzazione e ogni bit in più dà $6{,}02$ dB;
• se $P_{bit}\gg\frac1{4\cdot4^b}$: $\Lambda_{PCM}\approx\frac{\Lambda_q}{4P_{bit}4^b}=\frac1{4P_{bit}}$ (per un segnale a fondo scala) non dipende da $b$: dominano gli errori del canale e aggiungere bit non serve più; al massimo $\Lambda_{PCM}\to\frac1{4P_{bit}}$, cioè $-10\log_{10}(4P_{bit})$ dB ($24$ dB per $P_{bit}=10^{-3}$).

Esempio ($b=8$, segnale uniforme, $\Lambda_q=4^8$: $48{,}2$ dB). Con la formula:

(simulazione con $2\cdot10^6$ campioni uniformi quantizzati a $8$ bit con inversione casuale dei bit: concorda con la formula entro $0{,}1$ dB). Un solo errore ogni $10^4$ bit toglie già $14$ dB rispetto alla quantizzazione ideale.

5. Dimensionare il sistema

Probabilità d'errore massima. Dato l'SNR richiesto $\Lambda$ (lineare) e il numero di bit, si inverte la formula: $$\Lambda=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}(4^b-1)}\ \Longrightarrow\ P_{bit}\le\frac{\Lambda_q-\Lambda}{4\Lambda\left(4^b-1\right)}\quad(\Lambda\le\Lambda_q).$$ Esempio (segnali di una sala cinematografica, a fondo scala): video con $\Lambda\ge50$ dB e $b=9$ ($\Lambda_q=4^9=54{,}2$ dB): $P_{bit}\le\frac{4^9-10^5}{4\cdot10^5\cdot(4^9-1)}=1{,}55\cdot10^{-6}$. Audio con $92$ dB e $b=16$ ($\Lambda_q=96{,}3$ dB): $P_{bit}\le9{,}95\cdot10^{-11}$ — l'audio è il vincolo più stretto, perché ha più bit e un SNR più alto.

Numero di bit. Dato $P_{bit}$ (e $\Lambda_q(b)$) si cerca il minimo $b$ intero tale che $\Lambda_{PCM}\ge\Lambda$. Per esempio (Esercizio - sfigmomanometro digitale, bit del quantizzatore e probabilità d'errore del canale) un SNR di $60$ dB con fattore di carico $\frac{v_{sat}}\sigma=6$ richiede $b=12$ bit con $P_{bit}=10^{-9}$ (come senza errori di canale), $b=13$ con $10^{-8}$, $b=15$ con $2\cdot10^{-8}$, mentre con $P_{bit}=10^{-7}$ non esiste $b$ che basti: per $b\to\infty$, $\Lambda_{PCM}\to\frac{1}{48P_{bit}}=2{,}1\cdot10^5$, cioè solo $53{,}2$ dB. Conseguenza: aumentare $b$ non basta se il canale è troppo rumoroso; serve ridurre $P_{bit}$ (più potenza, codici correttori: Codici a blocco lineari e sindromeUn codice a blocco è lineare se la somma (XOR) di due parole di codice è una parola di codice: allora le parole formano un sottospazio di $\mathbb Z_2^n$. Si descrive con la matrice generatrice $G$ ($n\times k$, $\mathbf c=G\mathbf b$; in forma sistematica $G=\binom{I_k}{A}$) e con la matrice di controllo $H$ ($(n-k)\times n$, $H\mathbf c=\mathbf 0$ se e solo se $\mathbf c\in\mathcal C$; per $G$ sistematica $H=[A\mid I_{n-k}]$). La distanza minima è il peso minimo delle parole non nulle e vale $d_{min}\le n-k+1$ (Singleton). La sindrome $\boldsymbol\sigma=H\tilde{\mathbf c}$ dipende solo dall'errore; la decodifica a distanza minima è $\hat{\mathbf c}=\tilde{\mathbf c}-\varepsilon(\boldsymbol\sigma)$, dove $\varepsilon(\boldsymbol\sigma)$ è il coset leader (vettore di peso minimo con quella sindrome).Codici a blocco lineari e sindrome →).

6. PCM su un collegamento reale: l'effetto soglia

Collegando la formula a una modulazione digitale concreta si vede il comportamento complessivo. Con una BPSK (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →), $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$ e $\Lambda_{PCM}$ cresce con $\frac{E_s}{N_0}$ fino a un plateau $6{,}02\,b$ dB, che è raggiunto in modo brusco:

Per $b=8$: a $\frac{E_s}{N_0}=6$ dB si ha $P_{bit}=2{,}4\cdot10^{-3}$ e $\Lambda_{PCM}=20{,}2$ dB; a $8$ dB, $P_{bit}=1{,}9\cdot10^{-4}$ e $31{,}1$ dB; a $10$ dB, $P_{bit}=3{,}9\cdot10^{-6}$ e $45{,}1$ dB; a $12$ dB, $P_{bit}=9\cdot10^{-9}$ e $48{,}2$ dB (il plateau). Confrontando con una trasmissione analogica (per esempio DSB): la qualità analogica cresce linearmente con l'SNR del canale, quella digitale è bassa sotto la soglia e poi quasi costante (limitata da $b$); oltre la soglia, l'unico modo di migliorare è aggiungere bit. Per questo il segnale digitale è robusto: purché l'SNR del canale superi la soglia, la qualità finale è quella della quantizzazione, indipendentemente dalle imperfezioni del canale.

Errori comuni

• Sommare gli SNR in dB: si sommano le potenze degli errori ($M_{e_q}+M_{e_{ch}}$), non gli SNR.
• Usare la formula con $\Lambda_q$ in dB: è in scala lineare (poi si riconverte in dB).
• Dimenticare il fattore $4^b-1$: il bit più significativo pesa quasi $\frac34$ dell'errore, con $b$ grande basta $P_{bit}\approx10^{-9}$ per intaccare la quantizzazione.
• Credere che aumentare $b$ migliori sempre l'SNR: oltre la soglia vale $\approx\frac1{4P_{bit}}$.
• Applicare la formula con mappe diverse da quella binaria naturale (con Gray o altri codici i pesi degli errori cambiano) o con $P_{bit}$ grande (si assume al più un errore per parola e $P_{bit}\ll1$ in $\frac{P_{bit}}2$).
• Dimenticare di arrotondare il numero di bit per eccesso (se $b>17{,}15$ serve $b=18$).