Ricevitore a minima distanza e filtro adattato

La teoria della decisione (Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →) dice che, con rumore AWGN e simboli equiprobabili, il criterio ottimo è la minima distanza. Qui si vede come costruirlo con circuiti reali: da $r(t)$ si deve ottenere il vettore $\mathbf r\in\mathbb R^I$ e poi scegliere il punto della costellazione più vicino. Versione per Ing. Elettronica: Ricevitore a correlatori e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza proietta $r(t)$ sulla base, $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=\int r\phi_i^dt$, e sceglie il punto $\mathbf s_m$ più vicino. Ogni proiezione è un filtro con risposta impulsiva $g_i(t)=\phi_i^(t_0-t)$ (filtro adattato) campionato in $t_0$, la durata dell'impulso. Alternativa: $\hat m=\arg\max_m\left{\operatorname{Re}\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right}$, con $M$ filtri adattati ai segnali: conviene la prima se $M\gg I$, la seconda se $M\approx I$ (non serve calcolare la base).Ricevitore a correlatori e filtro adattato →.

1. Come ottenere il vettore $\mathbf r$

Si vorrebbe "leggere" $\mathbf r$ con mezzi elettrici, per poi dare le coordinate a un microprocessore che calcola le distanze dai punti della costellazione e prende l'$\arg\min$. Data la base $\{\varphi_j(t)\}_{j=1}^I$ (Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →) le coordinate sono i prodotti scalari $$r_j=\langle r,\varphi_j\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}r(t)\,\varphi_j^*(t)\,dt,\qquad j=1,\dots,I .$$ Come si calcolano con un circuito? Con un filtro lineare tempo-invariante (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=xh$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →) seguito da un campionatore. Si costruisce il filtro con risposta impulsiva $$\boxed{\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)}$$ (la funzione di base ribaltata nel tempo, coniugata, e ritardata di $t_0$). Quando $r(t)$ entra nel filtro, l'uscita campionata in $t=t_0$ è $$(r*\psi_j)(t_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}r(\tau)\,\psi_j(t_0-\tau)\,d\tau=\int r(\tau)\,\varphi_j^*\left(t_0-t_0+\tau\right)d\tau=\int r(\tau)\,\varphi_j^*(\tau)\,d\tau=\langle r,\varphi_j\rangle=r_j .$$ Il filtro con questa risposta impulsiva, "adattato" alla funzione di base, è il filtro adattato (matched filter). Se si ripete lo schema per tutte le $I$ coordinate si ottiene il vettore $\mathbf r$, da mandare a un microprocessore per $\arg\min$.

Il ritardo $t_0$ e la causalità. Perché il filtro sia realizzabile deve essere causale ($\psi_j(t)=0$ per $t<0$), e $t_0$ si sceglie per ottenere questo. Se i segnali $s_j(t)$ (e quindi le $\varphi_j(t)$) hanno durata limitata in $[0,T]$ basta $t_0=T$: $\psi_j(t)=\varphi_j^*(T-t)$ è ancora in $[0,T]$. In generale i segnali non hanno durata limitata (è anzi il caso pratico), ma appartengono a $\mathcal L^2(\mathbb R)$, quindi sono praticamente nulli fuori da un intervallo, e un $t_0$ abbastanza grande rende il filtro quasi causale: le modifiche sono quelle ingegneristiche del troncamento.

Il filtro adattato può anche essere visto come correlatore: per $\varphi_j$ a durata finita $[0,T]$, $r_j=\int_0^Tr(t)\varphi_j^*(t)\,dt$ si ottiene moltiplicando $r(t)$ per $\varphi_j(t)$ e integrando sul tempo di simbolo ("integra e scarica").

Esempio. $\varphi(t)=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$ ($t_0=T$): $r_1=\frac1{\sqrt T}\int_0^Tr(t)\,dt$, cioè $\sqrt T$ volte il valor medio di $r(t)$ sul simbolo. Poiché $\varphi$ è simmetrica rispetto a $\frac T2$, $\psi(t)=\varphi(T-t)=\varphi(t)$ (stessa forma).

2. Ricevitore a minima distanza, tipo I

Lo schema di tipo I ha $I$ rami in parallelo, uno per funzione di base: $r(t)\to\psi_j\to$ campionatore in $t_0$ $\to r_j$. Poi un blocco calcola le distanze $D_n=\lVert\mathbf r-\mathbf s_n\rVert$ da tutti gli $M$ punti e un ultimo blocco sceglie $\hat a_0=\arg\min_nD_n$. È lo schema "naturale": $I$ filtri, ma serve prima trovare la base (con Gram-Schmidt, scomodo a mano).

3. Ricevitore a minima distanza, tipo II

Si può evitare di calcolare la base lavorando direttamente con i segnali. Si sviluppa il quadrato della distanza: $$\lVert\mathbf r-\mathbf s_j\rVert^2=\sum_i\lvert r_i-s_{j,i}\rvert^2=\lVert\mathbf r\rVert^2+\lVert\mathbf s_j\rVert^2-2\operatorname{Re}\langle\mathbf r,\mathbf s_j\rangle=\lVert\mathbf r\rVert^2+E_j-2\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle .$$ (Si è usato che il prodotto scalare non cambia passando dai segnali ai vettori di coordinate: $\langle\mathbf r,\mathbf s_j\rangle=\langle r,s_j\rangle$, perché $\mathbf s_j$ sta nel sottospazio.) Il termine $\lVert\mathbf r\rVert^2$ è lo stesso per tutte le ipotesi e non conta nel minimo. Minimizzare la distanza equivale a massimizzare una correlazione corretta con l'energia: $$\boxed{\hat a_0=\arg\min_j\lVert\mathbf r-\mathbf s_j\rVert^2=\arg\max_j\left\{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2\right\}.}$$ Lo schema ha $M$ rami: in ciascuno il filtro adattato al segnale $\xi_j(t)=s_j^*(t_0-t)$, campionato in $t_0$, dà $\langle r,s_j\rangle$; si prende la parte reale, si sottrae la costante $\frac{E_j}2$ (nota) e un ultimo blocco sceglie il massimo $U_j$. Se tutti i segnali hanno la stessa energia, il termine $\frac{E_j}2$ si può omettere (è uguale in tutti i rami).

Quale schema scegliere? Dipende dai numeri. Poiché $I\le M$:

• se $I\ll M$ (per esempio una 64-QAM, con $M=64$ ma $I=2$) conviene il tipo I: pochi filtri;
• se $I\approx M$ (per esempio segnali ortogonali, in cui $I=M$) conviene il tipo II: non serve calcolare la base.

Attenzione al segnale ricevuto. In tutte queste formule $s_j$ indica in realtà il segnale ricevuto $s_{rc}$. In banda stretta il canale riscala soltanto $s_{tx}$ in $s_{rc}$ e non cambia nulla; ma se il canale distorce la forma d'onda, i filtri vanno adattati ai segnali dopo il canale ("matched filter receiver" rispetto al canale).

4. Il filtro adattato massimizza l'SNR

Perché si chiama "adattato" e perché è ottimo? Si prova a filtrare $r(t)=s(t)+w(t)$ (con $w$ bianco, PSD $\frac{N_0}2$) con un filtro generico $\psi(t)$ e a campionare in $t_0$. L'uscita campionata ha una parte di segnale e una di rumore: $$y(t_0)=\underbrace{\int s(\tau)\,\psi(t_0-\tau)\,d\tau}_{y_s}+\underbrace{\int w(\tau)\,\psi(t_0-\tau)\,d\tau}_{y_w}.$$ La parte di rumore ha media nulla e varianza (potenza) $E[y_w^2]=\frac{N_0}2\int\lvert\psi(t)\rvert^2dt=\frac{N_0}2\lVert\psi\rVert^2$ (conseguenza dell'autocorrelazione impulsiva del rumore bianco). La parte di segnale è un prodotto scalare, e per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →) $\lvert y_s\rvert^2\le\lVert s\rVert^2\lVert\psi\rVert^2=E\lVert\psi\rVert^2$. L'SNR all'istante di campionamento è dunque $$\text{SNR}=\frac{\lvert y_s\rvert^2}{E[y_w^2]}\le\frac{E\lVert\psi\rVert^2}{\frac{N_0}2\lVert\psi\rVert^2}=\frac{2E}{N_0},$$ con uguaglianza se e solo se $\psi(t_0-\tau)\propto s^*(\tau)$, cioè se $\psi(t)\propto s^*(t_0-t)$: è proprio il filtro adattato. Il filtro adattato è il filtro che massimizza l'SNR in $t_0$ e il valore massimo $\frac{2E}{N_0}$ è esattamente quello che compare nell'argomento della funzione $Q$ per la modulazione antipodale (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →).

Esempio (forma dell'uscita). Impulso rettangolare di ampiezza $A=1$ V e durata $T=1$ ms, filtro adattato: l'uscita è la convoluzione del rettangolo con se stesso (normalizzato), un triangolo che cresce da $0$ a $t=T$ e poi scende, e il massimo si ha in $t=T$: usando il filtro adattato alla base $\varphi=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}$ il picco è $\langle s,\varphi\rangle=A\sqrt T=\sqrt E=0{,}0316$ V$\sqrt{\text{s}}$. Campionando esattamente in $t_0=T$ si prende il massimo; campionando prima o dopo si perde SNR.

5. Casi particolari: un solo filtro per le modulazioni binarie

Nel caso binario ($M=2$) la distanza dai due punti si può calcolare con una sola coordinata: ruotando gli assi in modo che il segmento $\mathbf s_1\mathbf s_2$ sia parallelo a un asse (coordinata $\varphi_1'$), conta solo la proiezione lungo quella direzione. Si calcola $\varphi_1'(t)$ (la direzione di $s_2-s_1$ normalizzata) e la si usa come risposta impulsiva del filtro: basta un filtro seguito da un rivelatore a soglia (nessun microprocessore): se l'uscita è sopra la soglia si decide un simbolo, se sotto l'altro. In generale una scelta analoga riduce di 1 il numero dei filtri.

Esempio: modulazione antipodale ($s_2=-s_1$, dimensione $I=1$). La direzione $\varphi_1'$ coincide con la base $\varphi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E}}$. Con $s_1=A\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$, $A=1$ V, $T=1$ ms: $E=A^2T=10^{-3}$ V$^2$s, punti $\mathbf s_1=+\sqrt E=+0{,}0316$ e $\mathbf s_2=-\sqrt E$ V$\sqrt{\text{s}}$. Il filtro adattato campionato in $T$ dà $r_1=\pm\sqrt E+w_1$ e la decisione a minima distanza è: se $r_1>0$ si decide $s_1$, altrimenti $s_2$ (soglia a metà, in $0$).

6. Il ricevitore reale

Nella pratica il ricevitore ha altri blocchi oltre alla proiezione e alla decisione: la sincronizzazione (conoscere $t_0$ e i tempi di simbolo, altrimenti l'ISI cresce), la stima del canale, la stima del tempo (timing) e della frequenza della portante (ogni errore di sincronizzazione fa perdere SNR). Nel corso si assume sincronizzazione perfetta.

Errori comuni

• Dimenticare di ribaltare la funzione di base nel filtro adattato: $\psi(t)=\varphi^*(t_0-t)$ (con $\varphi$ simmetrica non si vede, ma in generale è diverso).
• Campionare in un istante diverso da $t_0$ (fine del segnale): il massimo SNR è lì.
• Nel tipo II, sottrarre $\frac{E_j}2$ solo se le energie sono diverse; scambiare max e min (la forma con la distanza chiede il minimo, quella con la correlazione il massimo).
• Usare il tipo II quando $I\ll M$ (serve un filtro per ogni segnale, tanti).
• Costruire il filtro sul segnale trasmesso quando il canale lo distorce (va adattato al segnale ricevuto).