Lezione 12PAM, QAM, PSK, efficienza spettrale e PCM

Fonte: appunti a mano tlc_12, slide TLC7-TLC8 (curve di $P[E]$, impulsi e banda, confronto analogico/digitale) e SU57, corso Telecommunications, UniPD.

Argomenti trattati

1. PAM (o ASK): $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n=2n-M-1$; base di dimensione $1$, punti multipli dispari di $\sqrt{E_h}$; $d_{min}=2\sqrt{E_h}$; banda base o passabanda a seconda di $h$; energie diverse, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$ (somme notevoli); regioni (interne ed esterne, probabilità $1-2Q$ e $1-Q$); $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$; curve per $M=2,\dots,128$.
2. Codifica di Gray: definizione ($d_H=1$ tra adiacenti, anche primo e ultimo), costruzione a specchio, esempio con $8$-PAM; $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$ (con un'ipotesi nascosta: $P_{bit}$ piccola).
3. QAM: $\alpha_n=x_n-jy_n$, $s_n=x_nh\cos-y_nh\sin$ (portanti in quadratura, sempre passabanda, $\mathcal B=2B_h$); base $\varphi_{1,2}=\sqrt{\frac2{E_h}}h(\cos,-\sin)$; costellazione quadrata $M=L^2$, $d_{min}=\sqrt{2E_h}$; energia media $E_s=\frac{M-1}3E_h$; $3$ tipi di regione (A, B, C); $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$; modulatore e demodulatore in quadratura; Gray doppia.
4. Confronto PAM/QAM ($P[E]$ cresce rapidamente con $M$; PAM $=$ QAM con $M^2$ invece di $M$).
5. PSK: $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$ uguale per tutti; regioni a spicchio; BPSK ($M=2$) e QPSK ($M=4$); intuizione geometrica per $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$ ($M\ge8$); QAM contro PSK (costellazione meglio spaziata; PSK a ampiezza costante per il canale satellitare, QAM per la TV digitale terrestre).
6. Efficienza spettrale: $\nu=\frac{R_b}B$ in b/s/Hz (il libro è confuso); $B_{min}=\frac I{2T}$ con impulso sinc ($\frac1{2T}$ banda base, $\frac1T$ passabanda).
7. Confronto tra modulazioni: SNR di riferimento $\Gamma$ con banda minima ($\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$ passabanda, $\frac{2E_s}{N_0}$ banda base), metrica $P_{bit}$ (modello BSC); conseguenze pratiche (coseno rialzato e banda $(1+\beta)B_{min}$, modulazioni ortogonali e biortogonali per segnali a basso SNR e ampia banda, con $B_{min}=\frac MT$ e $\frac M{2T}$ come scritto negli appunti a mano — il doppio dei valori $\frac M{2T}$ e $\frac M{4T}$ della tabella del testo (SU57), per una diversa convenzione di banda —, limite di Shannon).
8. Trasmissione digitale di un segnale analogico (PCM): campionamento (facile), quantizzatore, modulatore; $e_q$ ed $e_{ch}$ incorrelati, $\Lambda_{PCM}=\frac{M_{signal}}{M_{e_q}+M_{e_{ch}}}$; $M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12}$; canale BSC e mappa PCM binaria naturale; $e_{ch}=\Delta\sum_j\varepsilon_j2^j$, $\varepsilon_j\in\{0,\pm1\}$ con $E[\varepsilon_j^2]=P_{bit}$; $M_{e_{ch}}=\Delta^2P_{bit}\frac{4^b-1}3$; $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}(2^{2b}-1)}$ in scala lineare (errore tipico d'esame).

Teoria

• Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK → — punti 1, 3, 4 e 5
• Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit → — punto 2
• Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni → — punti 6 e 7
• Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM)Un segnale analogico trasmesso in forma digitale (PCM: campionamento, quantizzazione, codifica binaria) subisce due errori incorrelati: quello di quantizzazione, $M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12}$, e quello dovuto agli errori sui bit del canale. Con un canale binario simmetrico senza memoria e codice binario naturale, il bit di peso $2^j\Delta$ sbagliato produce un errore $\pm2^j\Delta$ e $M_{e_{ch}}=\Delta^2P_{bit}\frac{4^b-1}3$. L'SNR complessivo, in scala lineare, è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)}$: finché $P_{bit}\ll\frac1{4\cdot4^b}$ vale la sola quantizzazione ($6$ dB per bit), oltre domina il canale e aggiungere bit non serve. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima e il numero di bit.Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM) → — punto 8

Esercizi

• Esercizio - da 2-PAM a 8-PAM con codifica di Gray — effetto di $M$ sulla $P_{bit}$ a pari energia
• Esercizio - trasmettitore con BPSK, 16-QAM o 64-QAM e distanze raggiungibili — scelta della modulazione in base alla distanza
• Esercizio - sfigmomanometro digitale, bit del quantizzatore e probabilità d'errore del canale — PCM e numero di bit

Lezione precedente: Lezione 11 · Modulazione binaria, probabilità d'errore e modulazioni M-arie · Lezione successiva: Lezione 13 · Esercizi di modulazione digitale (scheda 4)