Doppi bipoli, guadagno e attenuazione

Dopo aver visto come un generatore cede potenza a un carico (Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →) si inserisce tra i due un doppio bipolo (o rete a due porte, two-port network): un blocco con una porta di ingresso e una di uscita. Il canale di trasmissione, un cavo, un amplificatore, un filtro, l'antenna sono tutti doppi bipoli. La teoria circuitale generale dei doppi bipoli è in Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →; qui ci interessano solo guadagno e attenuazione, le due grandezze con cui si descrive il canale nel link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →). Versione per Ing. Elettronica: Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →.

1. Lo schema a due porte

Con un doppio bipolo la catena si allunga: generatore $\to$ doppio bipolo $\to$ carico. Si usano le seguenti grandezze (tutte funzioni di $f$):

• $Z_S$: impedenza del generatore; $Z_L$: impedenza del carico;
• $Z_1$: impedenza vista in ingresso al doppio bipolo; $Z_2$: impedenza vista in uscita (verso il carico);
• $v_1(t)$: tensione ai morsetti di ingresso; $v_2(t)$: tensione generata dal doppio bipolo in uscita (la tensione a vuoto equivalente, come $v_i$ per il generatore); $v_L(t)$: tensione sul carico.

Passando da $v_i$ a $v_L$ si attraversano tre blocchi in cascata, ciascuno con una funzione di trasferimento in tensione:

1. partitore di ingresso, tra il generatore e l'ingresso del doppio bipolo: $g_1(f)=\dfrac{V_1(f)}{V_i(f)}=\dfrac{Z_1(f)}{Z_1(f)+Z_S(f)}$;
2. il doppio bipolo vero e proprio: $g_2(f)=\dfrac{V_2(f)}{V_1(f)}$ (dipende da come è fatta la rete: un cavo, un amplificatore...);
3. partitore di uscita, tra l'uscita del doppio bipolo e il carico: $g_L(f)=\dfrac{V_L(f)}{V_2(f)}=\dfrac{Z_L(f)}{Z_L(f)+Z_2(f)}$.

Si può ridurre tutto a uno schema a blocchi di signal processing (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →): $v_i(t)\to g_1\to v_1(t)\to g_2\to v_2(t)\to g_L\to v_L(t)$. Il canale è l'insieme dei due blocchi che dipendono dal doppio bipolo, $$g_{ch}(f)=g_2(f)\,g_L(f)\qquad\left(\frac{V_L}{V_1}=g_{ch}\right),$$ e con una notazione alternativa si scrive $v_1=v_{in}$, $v_L=v_{out}$, $\mathcal F[g_{ch}(t)]=g_{ch}(f)$ (nella notazione del corso in frequenza e in tempo hanno lo stesso simbolo). In termini di potenza statistica la PSD ai due capi è legata da $\mathcal P_{v_L}(f)=\mathcal P_{v_1}(f)\,|g_{ch}(f)|^2$.

2. Guadagno di potenza e attenuazione

Quello che conta per la fisica è però la potenza elettrica che esce rispetto a quella che entra.

Definizione (guadagno di potenza). $$g(f)=\frac{p_{v_{out}}(f)}{p_{v_{in}}(f)}\qquad(\text{rapporto tra le densità di potenza elettrica in uscita e in ingresso}).$$ Quando $g(f)<1$ (il doppio bipolo dissipa invece di amplificare, per esempio un cavo) è più comodo usare l'attenuazione $$a(f)=\frac1{g(f)} .$$

Poiché $g$ è un rapporto di (qualcosa legato a) potenze, si può usare la scala dei decibel: $$g(f)_{dB}=10\log_{10}g(f),\qquad a(f)_{dB}=-g(f)_{dB}=10\log_{10}a(f).$$ Esempio. Un cavo che lascia passare il 10% della potenza ha $g=0{,}1\Rightarrow g_{dB}=-10$ dB, cioè $a=10\Rightarrow a_{dB}=+10$ dB. Un amplificatore con $g=100$ ha $g_{dB}=+20$ dB.

Per le tensioni (non per le potenze!) il decibel si calcola con 20: se due potenze statistiche sono legate da $|g_{ch}|^2$, allora $\lvert g_{ch}\rvert_{dB}=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$ e $10\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert^2=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$ (stessa cosa: il quadrato esce dal logaritmo e diventa un fattore 2). Esempio: un amplificatore la cui tensione di uscita è 100 volte quella di ingresso (a parità di impedenza) ha $20\log_{10}100=40$ dB, cioè un guadagno di potenza di $10^4$.

3. Il guadagno in funzione delle impedenze

Si calcola $g(f)$ con la formula della potenza elettrica (Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →). In ingresso la tensione è $v_1$ con PSD $\mathcal P_{v_1}=\mathcal P_{v_i}|g_1|^2$, e la densità di potenza elettrica è $$p_{v_1}(f)=\mathcal P_{v_1}\frac{R_1}{|Z_1|^2}=\mathcal P_{v_i}\frac{|Z_1|^2}{|Z_1+Z_S|^2}\frac{R_1}{|Z_1|^2}=\mathcal P_{v_i}\frac{R_1}{|Z_1+Z_S|^2}.$$ In uscita, sul carico, con $\mathcal P_{v_L}=\mathcal P_{v_1}|g_2|^2|g_L|^2$ e $|g_L|^2=\frac{|Z_L|^2}{|Z_L+Z_2|^2}$: $$p_{v_L}(f)=\mathcal P_{v_L}\frac{R_L}{|Z_L|^2}=\mathcal P_{v_1}\,|g_2|^2\,\frac{R_L}{|Z_L+Z_2|^2}.$$ Il rapporto è quindi $$g(f)=\frac{p_{v_L}}{p_{v_1}}=\underbrace{\frac{|Z_1|^2}{R_1}\cdot\frac{R_L}{|Z_L|^2}}_{\text{fattore di impedenze}}\;\lvert g_2g_L\rvert^2=\frac{|Z_1|^2}{R_1}\,\frac{R_L}{|Z_L|^2}\,|g_{ch}(f)|^2 .$$ Se i due "fattori di impedenza" sono uguali, il rapporto vale 1 e il guadagno di potenza è il quadrato del guadagno in tensione.

4. Linea adattata

Adattamento su una linea di trasmissione. Nei collegamenti pratici si ha di solito $$Z_S(f)=Z_1^*(f),\qquad Z_1(f)=Z_2(f)\qquad\text{e in più}\qquad Z_2(f)=Z_L(f)\quad(\text{assenza di riflessione}).$$ La prima condizione è il massimo trasferimento di potenza in ingresso; la seconda dice che ingresso e uscita del doppio bipolo hanno la stessa impedenza; la terza che il carico "assorbe" l'onda senza rifletterla. (Alcuni testi scelgono $Z_2=Z_L^*$; l'ipotesi, di fatto, vale quasi sempre per linee in cui $Z$ è puramente resistiva, e allora le due scelte coincidono.) Tutte le resistenze sono uguali, $R_S=R_1=R_2=R_L$, e anche i moduli $|Z(f)|$: $$Z_0(f)=Z_1(f)=Z_2(f)=Z_L(f)=Z_S^*(f)\qquad\text{(impedenza caratteristica } Z_0 \text{ della linea).}$$

Con questa ipotesi i due "fattori di impedenza" del paragrafo precedente sono identici, quindi $$\boxed{g(f)=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2,\qquad g(f)_{dB}=10\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert^2=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert .}$$ Inoltre, negli esercizi pratici l'impedenza è $Z_0$ puramente reale e tutte le potenze elettriche sono le potenze statistiche divise per $Z_0$ (lo stesso termine in tutti i punti, quindi si semplifica nei rapporti). Questa ipotesi (adattamento in ingresso e in uscita, stessa impedenza) permette di parlare di guadagno e attenuazione senza più guardare le impedenze, ed è quella con cui sono scritte le formule del link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →).

Esempio (cavo adattato). Un cavo coassiale con $Z_0=75\ \Omega$ è alimentato da un trasmettitore con $P_{tx}=100$ mW $=20$ dBm e attenua $a_{ch}=26$ dB. All'uscita la potenza è $P_{rc}=P_{tx}\,g=20-26=-6$ dBm $=0{,}25$ mW. Se la tensione efficace in ingresso è $\sqrt{P_{tx}Z_0}=\sqrt{0{,}1\cdot75}=2{,}74$ V, quella in uscita è $\sqrt{0{,}25\cdot10^{-3}\cdot75}=0{,}137$ V, cioè $20$ volte meno: $20\log_{10}20=26$ dB, come deve.

5. Cascata di doppi bipoli

Mettendo due doppi bipoli uno dopo l'altro (il secondo collegato all'uscita del primo, con le impedenze adattate) i rapporti di potenza si moltiplicano: $$g_c(f)=g_1(f)\,g_2(f)\qquad\left(\frac{P_{out}}{P_{in}}=\frac{P_{**}}{P_*}\cdot\frac{P_{***}}{P_{**}}\right),\qquad (g_c)_{dB}=(g_1)_{dB}+(g_2)_{dB}.$$ Il rumore invece non si somma così semplicemente: ogni stadio aggiunge il suo, e conta l'ordine (Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →).

Esempio. Un trasmettitore da $10$ dBm alimenta un cavo di $20$ km con $1{,}5$ dB/km, poi un amplificatore da $20$ dB. Attenuazione del cavo: $20\cdot1{,}5=30$ dB. All'uscita dell'amplificatore: $10-30+20=0$ dBm $=1$ mW.

6. Doppio bipolo e banda stretta

Tutte queste grandezze dipendono da $f$. Se il segnale ha banda $B$ piccola rispetto alla frequenza centrale $f_c$ (banda stretta, $B\ll f_c$: Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →), $g(f)$ e $a(f)$ si possono considerare costanti nella banda e uguali al loro valore in $f_c$. È l'ipotesi che permette di scrivere la potenza ricevuta come $P_{rc}=P_{tx}\,g_{ch}$ e di usare un solo numero, $a_{ch}$, per descrivere un intero mezzo. Se la banda è larga, invece, bisogna integrare $p(f)\,g(f)\,df$ (è il caso di Esercizio 17 · linea con attenuazione che cresce con la radice della frequenza, dove l'attenuazione dipende dalla frequenza).

Errori comuni

• Confondere guadagno in tensione e in potenza: $g=|g_{ch}|^2$, in dB è il doppio (20 invece di 10 nel logaritmo).
• Sommare guadagni lineari invece di moltiplicarli, o moltiplicare guadagni in dB (in dB si somma).
• Dimenticare che l'attenuazione in dB è l'opposto del guadagno: un cavo ha $g_{dB}<0$ e $a_{dB}>0$.
• Applicare $g=|g_{ch}|^2$ senza avere verificato le condizioni di adattamento (altrimenti compare il fattore di impedenze).