Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza

Questa nota apre il capitolo sui mezzi di trasmissione: prima il modello elettrico a due porte, poi guadagno, temperatura e figura di rumore (Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →) e il modello AWGN (Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →).

Potenza statistica e potenza elettrica

Un segnale di tensione $v(t)$ ha una potenza statistica $M_v=E[v^2]$ in V² e una densità $\mathcal P_v(f)$ in V²/Hz (Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →). La potenza elettrica in watt dipende da cosa è collegato: su un'impedenza $Z(f)$ con parte reale $R(f)$ si dissipa la densità di potenza elettrica $$p(f)=\mathcal P_v(f)\,\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2},\qquad P=\int p(f)\,df.$$ Se l'impedenza è una resistenza pura ($Z=R$): $P=\frac{M_v}{R}$. Per esempio $M_v=6$ V² su $R=10\ \Omega$ danno $0{,}6$ W. Le due definizioni di SNR (statistico ed elettrico) coincidono quando l'impedenza è la stessa per segnale e rumore su tutta la banda (Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →).

Bipolo: generatore e carico

Un generatore reale si modella come un generatore ideale di tensione $v_i$ in serie a un'impedenza $Z_S=R_S+jX_S$ (modello di Thévenin), collegato a un carico $Z_L=R_L+jX_L$. Per il partitore di tensionela tensione sul carico è quella del generatore moltiplicata per l'impedenza del carico e divisa per la somma delle impedenze $$V_L(f)=V_i(f)\frac{Z_L(f)}{Z_L(f)+Z_S(f)},\qquad p_L(f)=\mathcal P_{v_i}(f)\frac{R_L(f)}{\lvert Z_L(f)+Z_S(f)\rvert^2}.$$ Condizione di adattamento del carico. La densità di potenza trasferita al carico è massima quando $$\boxed{Z_L=Z_S^*\quad(R_L=R_S,\ X_L=-X_S)}$$ (le parti immaginarie si compensano). In quel caso $\lvert Z_L+Z_S\rvert^2=(2R_S)^2$ e $$p_L(f)=\frac{\mathcal P_{v_i}(f)}{4R_S(f)}.$$ Se invece $R_L=\rho R_S$ e $X_L=-X_S$ ($\rho>0$) il fattore di trasferimento rispetto al caso adattato è $\frac{4\rho}{(1+\rho)^2}\le1$: per $\rho=\frac12$ vale $\frac89$; con un carico puramente reattivo ($R_L=0$) non si trasferisce potenza.

Il rumore termico

Si finge che tutti i rumori siano di origine termica. Una resistenza $R_S$ a temperatura $T_S$ produce una tensione di rumore con densità spettrale $$\mathcal P_w(f)=2kT_SR_S(f)\quad[\text{V}^2/\text{Hz}],\qquad k=1{,}38\cdot10^{-23}\ \text{J/K}.$$ Applicando il trasferimento col carico adattato: $p_L=\frac{2kTR_S}{4R_S}=\boxed{\frac12kT_S}$ W/Hz (densità bilatera). Integrando sulla banda $[-B,B]$ (larga $2B$) si ottiene $kT_SB$ W: la potenza di rumore disponibilela massima potenza di rumore che una sorgente può trasferire, kTB è $kTB$. A $T_0=290$ K si ha $kT_0=4{,}0\cdot10^{-21}$ W/Hz $=-174$ dBm/Hz (Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm →).

Si può sostituire il sistema reale con uno ideale (privo di rumore) che lavora a una temperatura più alta: la temperatura di rumoretemperatura a cui un sistema ideale produrrebbe lo stesso rumore del sistema reale del sistema è $$T(f)=\frac{p_w(f)}{\frac12k}\quad[\text{K}],$$ cioè la temperatura alla quale un sistema ideale produrrebbe lo stesso rumore.

Esempio svolto. Una sorgente a $T_S=4000$ K ha impedenza $Z_S(f)=\left[R_S(f)+jX_S(f)\right]\operatorname{rect}\left(\frac f{f_0}\right)$, con $f_0=500$ kHz e $R_S(f)=\frac34\left[10\left(\frac f{f_0}\right)^2+312\right]$, $X_S(f)=600-210\max\left(1,30\frac f{f_0}\right)$. Si chiede la potenza di rumore trasferita al carico, in dBm, per tre carichi. L'impedenza è definita solo in $\left[-\frac{f_0}2,\frac{f_0}2\right]$, che è la banda del calcolo. La densità di potenza elettrica è $p_{w,L}(f)=2kT_SR_S\frac{R_L}{\lvert Z_S+Z_L\rvert^2}$.

• a) carico adattato ($Z_L=Z_S^*$): $p=\frac12kT_S$ costante, quindi $P=\frac12kT_Sf_0=\frac12\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot4000\cdot5\cdot10^5=1{,}38\cdot10^{-14}$ W $=-138{,}6$ dBW $=-108{,}6$ dBm. I particolari di $R_S$ e $X_S$ si semplificano.
• b) $Z_L=\frac12R_S-jX_S$: $\lvert Z_S+Z_L\rvert^2=\left(\frac32R_S\right)^2$, $p=2kT_SR_S\frac{R_S/2}{\frac94R_S^2}=\frac49kT_S$, $P=\frac49kT_Sf_0=1{,}23\cdot10^{-14}$ W $=-109{,}1$ dBm. Con un carico non adattato la potenza è minore (qui $\rho=\frac12$, fattore $\frac89$ rispetto ad $\frac12kT$).
• c) $Z_L=j10R_S$: carico puramente reattivo, $R_L=0$: $P=0$.

Doppio bipolo (quadripolo)

In generale il trasmettitore non è collegato direttamente al ricevitore: in mezzo c'è una rete a quattro porte (due porte): il canale, un amplificatore, un'antenna. Si indicano:

• $Z_1(f)$: impedenza vista all'ingresso; $Z_2(f)$: impedenza vista all'uscita (verso il carico);
• tre partitori: $G_1=\frac{V_1}{V_i}=\frac{Z_1}{Z_S+Z_1}$ (generatore verso l'ingresso), $G_2=\frac{V_2}{V_1}$ (il quadripolorete con una porta di ingresso e una di uscita: canale, amplificatore, antenna), $G_L=\frac{V_L}{V_{2}'}=\frac{Z_L}{Z_2+Z_L}$ (uscita verso carico).

Si rappresenta con un diagramma a blocchi $v_i\to g_1\to g_2\to g_L\to v_L$; i blocchi $g_2$ e $g_L$ dipendono dal canale.

Condizioni di adattamento del quadripolo (massimo trasferimento di potenza): $$\boxed{Z_1=Z_S^*,\qquad Z_L=Z_2^*.}$$

Guadagno in potenza. $g(f)=\frac{P_{out}(f)}{P_{in}(f)}$, e l'attenuazione in potenza è il suo inverso, $a(f)=\frac1{g(f)}$. Con la formula della potenza elettrica $p=\mathcal P_v\frac{R}{\lvert Z\rvert^2}$ su ingresso e uscita: $$g(f)=\frac{R_L/\lvert Z_L\rvert^2}{R_1/\lvert Z_1\rvert^2}\cdot\frac{\mathcal P_{v_L}}{\mathcal P_{v_1}}\ ,$$ legato al guadagno in ampiezza $\frac{\mathcal P_{v_L}}{\mathcal P_{v_1}}=\lvert G(f)\rvert^2$. Se le due impedenze coincidono ($Z_L=Z_1$) e c'è adattamentocondizione in cui l'impedenza del carico è la coniugata di quella della sorgente: il carico riceve la massima potenza, il rapporto di impedenze vale 1 e $$\boxed{g(f)=\lvert G_{ch}(f)\rvert^2,\qquad[g]_{dB}=2\,[G_{ch}]_{dB}}$$ (il guadagno in potenza è il quadrato di quello in ampiezza, quindi il doppio in dB). Questa ipotesi (adattamento in ingresso e in uscita, stessa impedenza) è quella del corso e permette di parlare di guadagno e attenuazione senza guardare le impedenze (Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →).

Errori comuni

• Applicare $p=\mathcal P_v\frac{R}{\lvert Z\rvert^2}$ usando $\lvert Z\rvert$ al posto di $R$ al numeratore (conta solo la parte reale per la potenza dissipata).
• Credere che l'adattamento sia $Z_L=Z_S$: è il coniugato ($Z_L=Z_S^*$).
• Confondere densità bilatera $\frac12kT$ (su $[-B,B]$) con quella unilatera $kT$: la potenza è comunque $kTB$.
• Dire che con carico non adattato la potenza è maggiore: l'adattamento la massimizza.