Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali

Con $M=2$ segnali la probabilità di errore è esatta: $Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$ (Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di erroreDue segnali $s_1,s_2$ hanno costellazione $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\rho\sqrt{E_2},\sqrt{E_2(1-\rho^2)})$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]$ e distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$. Con AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$. A parità di energia $E_s$ il minimo errore si ha per $\rho=-1$ (antipodale: $Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right)$); per $\rho=0$ (ortogonale) $Q\left(\sqrt{E_s/N_0}\right)$, 3 dB peggio.Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore →). Con $M>2$ nei casi generali si possono ricavare solo limiti; i casi particolari con costellazioni regolari (PAM, QAM, PSK) hanno formule esatte o approssimate (PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →, PSK - modulazione di faseNella PSK l'informazione sta solo nella fase della portante: $s_m(t)=h(t)\cos(2\pi f_0t+\varphi_m)$ con $\varphi_m=\frac\pi M(2m-1)$. I punti stanno su una circonferenza di raggio $\sqrt{E_s}$ (tutti con la stessa energia $E_s=\frac{E_h}2$), con $d_{min}=2\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M$. $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$ per $M>2$; con Gray $P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\Gamma}\sin\frac\pi M\right)$, $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$. Per $M=2$ è l'antipodale (BPSK), per $M=4$ coincide con la 4-QAM.PSK - modulazione di fase →).

Si assume canale AWGN, simboli equiprobabili ($P_m=\frac1M$) e criterio MD (ottimo). Le componenti del rumore hanno varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$.

Upper bound e lower bound

Si indica con $d_{m,n}=\lVert\mathbf s_m-\mathbf s_n\rVert$ e con $\mathcal E_{m,n}$ l'evento di errore a coppie: "ho trasmesso $s_m$ ma $\mathbf r$ è più vicino a $s_n$ che a $s_m$". Isolando le due ipotesi la probabilità vale (come per $M=2$) $$P\left[\mathcal E_{m,n}\right]=Q\left(\frac{d_{m,n}}{2\sigma_I}\right).$$ L'errore complessivo è l'unione di tutti gli eventi $\mathcal E_{m,n}$ con $n\ne m$: $$P[E]=\sum_mP_m\,P\left[\bigcup_{n\ne m}\mathcal E_{m,n}\right].$$ Un'unione di eventi non si calcola sommando le probabilità: le aree in cui due eventi si sovrappongono sarebbero contate due volte, e calcolare esattamente l'unione è difficile (le regioni sono poligoni).

Upper bound (union boundla probabilità di un'unione di eventi è al più la somma delle probabilità). La probabilità dell'unione è al più la somma: $$P[E]\le\sum_m\frac1M\sum_{n\ne m}Q\left(\frac{d_{m,n}}{2\sigma_I}\right)\le\sum_m\frac1M\sum_{n\ne m}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=\frac1M\,M(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$$ perché $Q$ è decrescente e $d_{m,n}\ge d_{min}=\min_{m\ne n}d_{m,n}$. Quindi $$P[E]\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right).$$

Lower bound. L'unione contiene ciascuno dei suoi eventi: $P\left[\bigcup_n\mathcal E_{m,n}\right]\ge P\left[\mathcal E_{m,n}\right]$ per ogni $n$. Per ottenere il limite più stretto si prende, per ogni $m$, l'evento a distanza minore (confondere un simbolo col suo vicino più vicino è molto più facile che con uno lontano), e si trascurano i termini con distanza maggiore: $$P[E]\ge\sum_{m:\ \exists n,\ d_{m,n}=d_{min}}\frac1MQ\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=\frac{N^*}MQ\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right).$$ $N^*$ è il numero di punti che hanno almeno un altro punto alla distanza minimala più piccola distanza tra due punti della costellazione ($\frac{N^*}M$ è la loro percentuale). Insieme: $$\boxed{\frac{N^*}M\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\ \le\ P[E]\ \le\ (M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right).}$$ Una buona approssimazione ad SNR alto è $P[E]\approx\overline N_{min}\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ con $\overline N_{min}$ il numero medio di vicini a $d_{min}$ (per ogni simbolo). Tipicamente l'upper bound stima molto bene la probabilità vera.

Esempio (tre segnali "rampa"): $s_1=A\frac tT\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$, $s_2=2s_1$, $s_3=4s_1$ (da un foglio di esercizi, $A=1$ V, $T=1\ \mu$s). L'energia di $s_1$ è $E_1=\int_0^TA^2\frac{t^2}{T^2}dt=\frac{A^2T}3$. Base $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_1}}$: $\mathbf s_1=\sqrt{E_1}$, $\mathbf s_2=2\sqrt{E_1}$, $\mathbf s_3=4\sqrt{E_1}$ su una retta. $d_{1,2}=d_{min}=\sqrt{E_1}$, $d_{2,3}=2\sqrt{E_1}$, $E_s=\frac13(E_1+4E_1+16E_1)=7E_1$. Per questa costellazione monodimensionale la probabilità di errore è esatta (con soglie a $\frac32\sqrt{E_1}$ e $3\sqrt{E_1}$): $$P[E]=\tfrac23Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)+\tfrac23Q\left(\frac{d_{min}}{\sigma_I}\right).$$ I bound sono $\frac{N^*}M=\frac23$ ($s_1$ e $s_2$ sono a distanza minima da un vicino, $s_3$ no) e $M-1=2$: $\frac23Q\le P[E]\le2Q$. Se $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}=2$: $P[E]=\frac23\cdot0{,}02275+\frac23\cdot3{,}2\cdot10^{-5}=0{,}01519$, lower bound $0{,}01517$, upper bound $0{,}0455$.

Modulazione ortogonale

Ogni segnale è ortogonale a tutti gli altri: $\langle s_i,s_j\rangle=0$ per $i\ne j$, con energia uguale $E_{s_i}=E_s$. La base è $\phi_i=\frac{s_i}{\sqrt{E_s}}$ con dimensione $I=M$ (un asse per segnale), i punti sono $\sqrt{E_s}$ sugli assi, $d_{m,n}=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, quindi $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e $N^*=M$: $$Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)\le P[E]\le(M-1)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right),\qquad\frac{E_s}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{N_0}.$$ Con $M=4$ e $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB: $7{,}8\cdot10^{-4}\le P[E]\le2{,}3\cdot10^{-3}$; il valore esatto (calcolato per integrazione numerica) è $2{,}24\cdot10^{-3}$, molto vicino al limite superiore. All'aumentare di $M$ la curva di $P[E]$ in funzione di $\frac{E_s}{N_0}$ si alza (a parità di energia, più segnali si distinguono meno bene).

Modulazione biortogonale

È la combinazione di antipodale e ortogonale: ogni segnale ha un segnale opposto e gli altri $M-2$ sono ortogonali ad esso. La dimensione è $I=\frac M2$. Con energia uguale $E_s$: $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ (tra segnali ortogonali), mentre la distanza dal proprio opposto è $2\sqrt{E_s}$ (più grande). Poiché ogni punto ha $M-2$ vicini ortogonali e un solo opposto: $$Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)\le P[E]\le(M-2)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right).$$ Con $M=8$ e $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB: $P[E]\le6\cdot7{,}8\cdot10^{-4}+3{,}9\cdot10^{-6}=4{,}7\cdot10^{-3}$.

Questi schemi hanno prestazioni buone a bassi SNR (segnali molto rumorosi), ma la banda cresce con $M$: più segnali ortogonali (per esempio sinusoidi a frequenze diverse) occupano più spettro (Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →).

Errori comuni

• Sommare le aree degli eventi $\mathcal E_{m,n}$ come se fossero disgiunti e dire che è l'errore esatto: è solo l'upper bound.
• Usare $M$ al posto di $M-1$ nell'upper bound.
• Dimenticare $N^*$ nel lower bound, o prenderlo uguale a $M$ quando non tutti i punti hanno un vicino a $d_{min}$.
• Confondere la distanza tra opposti ($2\sqrt{E_s}$) con $d_{min}$ per i biortogonali.