Salta al contenuto
Note per Studenti PAM - modulazione di ampiezza di impulsi

PAM - modulazione di ampiezza di impulsi

In questa pagina 6

Definizione

Nella PAM (pulse amplitude modulation) ogni segnale è la versione scalata di uno stesso impulso: sm(t)=αm h(t),αm=2m−1−M,m=1,…,M.s_m(t)=\alpha_m\,h(t),\qquad\alpha_m=2m-1-M,\quad m=1,\dots,M. La scelta αm\alpha_m dispari, simmetrica e tutti equidistanti (±1,±3,…,±(M−1)\pm1,\pm3,\dots,\pm(M-1)) assicura che i punti siano alla stessa distanza e simmetrici rispetto all'origine. Il segnale è in banda base (non c'è portante).

Esempio M=4M=4: m=1,2,3,4m=1,2,3,4 dà αm=−3,−1,1,3\alpha_m=-3,-1,1,3, cioè sm∈{−3h, −h, h, 3h}s_m\in\{-3h,\,-h,\,h,\,3h\}.

Costellazione. C'è un solo impulso, quindi la base è unidimensionale (I=1I=1): ϕ(t)=h(t)Eh\phi(t)=\frac{h(t)}{\sqrt{E_h}} con Eh=∫∣h∣2dtE_h=\int\lvert h\rvert^2dt l'energia dell'impulso, e sm=αmEhs_m=\alpha_m\sqrt{E_h}: i punti stanno su una retta, equispaziati: sm=αmEh:…,−3Eh, −Eh, +Eh, +3Eh,…\mathbf s_m=\alpha_m\sqrt{E_h}:\quad\dots,-3\sqrt{E_h},\,-\sqrt{E_h},\,+\sqrt{E_h},\,+3\sqrt{E_h},\dots

Grafico interattivo: Costellazione 4-PAM in unità di √E_h: punti −3, −1, +1, +3, distanza minima d_min = 2√E_h; le soglie MD sono in −2, 0, +2

La distanza minima è dmin=2Ehd_{min}=2\sqrt{E_h}; l'energia del segnale mm è Em=αm2EhE_m=\alpha_m^2E_h.

Energia media

Con αm=2m−1−M\alpha_m=2m-1-M: Es=1M∑m=1M(2m−1−M)2Eh=EhM∑m[4m2−4m(M+1)+(M+1)2].E_s=\frac1M\sum_{m=1}^M(2m-1-M)^2E_h=\frac{E_h}M\sum_m\left[4m^2-4m(M+1)+(M+1)^2\right]. Usando le somme notevoli ∑m=1Mm=M(M+1)2\sum_{m=1}^Mm=\frac{M(M+1)}2 e ∑m=1Mm2=M(M+1)(2M+1)6\sum_{m=1}^Mm^2=\frac{M(M+1)(2M+1)}6 si ottiene Es=Eh M2−13,Eh=Es 3M2−1.\boxed{E_s=E_h\,\frac{M^2-1}3,\qquad E_h=E_s\,\frac3{M^2-1}.} Per M=2M=2: Es=EhE_s=E_h; per M=4M=4: Es=5EhE_s=5E_h; per M=8M=8: Es=21EhE_s=21E_h. L'energia cresce come M2M^2: raddoppiare il numero di livelli (un bit in più) costa circa 66 dB di energia a parità di distanza.

Probabilità di errore

Canale AWGN, simboli equiprobabili: MAP == ML == MD (Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →). Conviene partire dalla probabilità di decisione corretta, P[C]=∑mPmPm∣m=1M∑mPm∣mP[C]=\sum_mP_mP_{m|m}=\frac1M\sum_mP_{m|m}, che ha due casi (con σI2=N02\sigma_I^2=\frac{N_0}2):

  1. Simbolo interno (tra altri due). Si decide bene se il rumore non supera la mezza distanza Eh\sqrt{E_h} da nessuna parte: Pm∣m=P[−Eh<w<Eh]=1−2Q(EhσI)=1−2Q(2EhN0).P_{m|m}=P\left[-\sqrt{E_h}<w<\sqrt{E_h}\right]=1-2Q\left(\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_I}\right)=1-2Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right).
  2. Simbolo esterno (ha un solo vicino). Si sbaglia solo se il rumore va verso l'interno: Pm∣m=1−Q(2EhN0).P_{m|m}=1-Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right).

Ci sono M−2M-2 simboli internicon un vicino da ciascun lato: errore da due code e 22 esterni: P[C]=1M[(M−2)(1−2Q)+2(1−Q)]=1−2(M−1)M Q(2EhN0),P[C]=\frac1M\left[(M-2)\left(1-2Q\right)+2(1-Q)\right]=1-\frac{2(M-1)}M\,Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right), da cui P[E]=2(1−1M)Q(2EhN0)=2(1−1M)Q(6M2−1 EsN0).\boxed{P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\,\frac{E_s}{N_0}}\right).} (Per M=2M=2: Q(2Es/N0)Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right), l'antipodale.) Con la codifica di Gray (Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →) Pbit≈P[E]log⁡2MP_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}. Nell'SNR di riferimento Γ=EsN0TBmin\Gamma=\frac{E_s}{N_0TB_{min}} con Bmin=12TB_{min}=\frac1{2T} (banda basespettro attorno alla frequenza zero, senza portante) si ha Γ=2EsN0\Gamma=\frac{2E_s}{N_0} e Pbit≈2(1−1M)log⁡2M Q(3ΓM2−1)P_{bit}\approx\frac{2\left(1-\frac1M\right)}{\log_2M}\,Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M^2-1}}\right) (Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →).

Esempio. M=4M=4, Eh/σI=2\sqrt{E_h}/\sigma_I=2 (cioè 2Eh/N0=2\sqrt{2E_h/N_0}=2): P[E]=2⋅34 Q(2)=1,5⋅0,02275=0,0341P[E]=2\cdot\frac34\,Q(2)=1{,}5\cdot0{,}02275=0{,}0341 e con Gray Pbit≈0,03412=0,0171P_{bit}\approx\frac{0{,}0341}2=0{,}0171. Rapporto EsσI2=5EhσI2=20\frac{E_s}{\sigma_I^2}=5\frac{E_h}{\sigma_I^2}=20, cioè 1313 dB. Un esempio senza regolarità, con punti {−4,−3,3,4}\{-4,-3,3,4\}, è in Esercizio 21 · PAM a quattro livelli con simboli -4, -3, 3, 4 e disturbo sinusoidale (tema d'esame giugno 2025).

Costellazioni PAM irregolari

Quando i simboli sono scelti diversamente da ±1,±3,…\pm1,\pm3,\dots (per esempio {−3,0,2}\{-3,0,2\}, o con probabilità diverse) la base resta la stessa (ϕ=hEh\phi=\frac{h}{\sqrt{E_h}}, punti αmEh\alpha_m\sqrt{E_h}). Si calcola P[C]P[C] direttamente con le soglie MD (a metà tra punti adiacenti) o MAP (spostate se le probabilità sono diverse):

  • per ogni simbolo mm, con soglie θm−1<θm\theta_{m-1}<\theta_m: Pm∣m=P[θm−1<sm+w<θm]=Q(θm−1−smσI)−Q(θm−smσI)P_{m|m}=P\left[\theta_{m-1}<s_m+w<\theta_m\right]=Q\left(\frac{\theta_{m-1}-s_m}{\sigma_I}\right)-Q\left(\frac{\theta_m-s_m}{\sigma_I}\right) (con θ0=−∞\theta_0=-\infty e θM=+∞\theta_M=+\infty);
  • P[E]=1−∑mPmPm∣mP[E]=1-\sum_mP_mP_{m|m}.

Esempi: Esercizio 22 · PAM a tre livelli con probabilità diverse, MAP e soglie simmetriche (tema d'esame giugno 2026) e Esercizio 24 · PAM con impulso triangolare, causalità, ISI e probabilità d'errore (tema d'esame febbraio 2025).

Pro e contro

  • Pro: semplice da realizzare (un solo impulso, un solo correlatore).
  • Contro: la cardinalità cresce con l'energia in modo quadratico (Es∝M2E_s\propto M^2) e la costellazione monodimensionale è sensibile a rumore e interferenza (i punti sono su una sola retta, la distanza fra i punti diminuisce rapidamente con MM).

Errori comuni

  • Usare αm=m\alpha_m=m invece di 2m−1−M2m-1-M: i punti devono essere simmetrici rispetto allo zero.
  • Dimenticare il fattore 2(1−1M)2\left(1-\frac1M\right) (la QQ da sola vale solo per M=2M=2, dove il fattore è 11): gli interni hanno due code, gli esterni una.
  • Confondere EhE_h (energia dell'impulso) con EsE_s (energia media per simbolo): Es=EhM2−13E_s=E_h\frac{M^2-1}3.
  • Usare Bmin=1TB_{min}=\frac1T (passa-banda) per la PAM in banda base: è 12T\frac1{2T}.

Versione ripasso

  • Segnali: sm=αmh(t)s_m=\alpha_mh(t), αm=2m−1−M\alpha_m=2m-1-M (M=4M=4: −3,−1,1,3-3,-1,1,3). Base ϕ=hEh\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}, punti αmEh\alpha_m\sqrt{E_h} su una retta; dmin=2Ehd_{min}=2\sqrt{E_h}, Em=αm2EhE_m=\alpha_m^2E_h.
  • Energia: Es=EhM2−13\boxed{E_s=E_h\frac{M^2-1}3} (M=2,4,8M=2,4,8: Eh,5Eh,21EhE_h,5E_h,21E_h): cresce come M2M^2.
  • Errore (AWGN, equiprobabili): P[E]=2(1−1M)Q(2EhN0)=2(1−1M)Q(6M2−1EsN0)\boxed{P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)}; interni 1−2Q1-2Q, esterni 1−Q1-Q. Gray: Pbit≈P[E]log⁡2MP_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}; Γ=2EsN0\Gamma=\frac{2E_s}{N_0} (Bmin=12TB_{min}=\frac1{2T}): Pbit≈2(1−1/M)log⁡2MQ(3ΓM2−1)P_{bit}\approx\frac{2(1-1/M)}{\log_2M}Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M^2-1}}\right).
  • Esempio: M=4M=4, Eh/σI=2\sqrt{E_h}/\sigma_I=2: P[E]=1,5Q(2)=0,0341P[E]=1{,}5Q(2)=0{,}0341, Pbit≈0,0171P_{bit}\approx0{,}0171.
  • Irregolare: Pm∣m=Q(θm−1−smσI)−Q(θm−smσI)P_{m|m}=Q\left(\frac{\theta_{m-1}-s_m}{\sigma_I}\right)-Q\left(\frac{\theta_m-s_m}{\sigma_I}\right); P[E]=1−∑PmPm∣mP[E]=1-\sum P_mP_{m|m}.
  • Errori tipici: αm\alpha_m non simmetrici; manca 2(1−1M)2(1-\frac1M); EhE_h vs EsE_s; BminB_{min} sbagliata.

Esercizi su questo argomento

Teoria collegata