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Note per Studenti Esercizio 17 · linea con attenuazione che cresce con la radice della frequenza (foglio di esercizi sui mezzi di trasmissione)

Esercizio 17linea con attenuazione che cresce con la radice della frequenza (foglio di esercizi sui mezzi di trasmissione)

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Testo (esercizio del corso, foglio di esercizi sui mezzi di trasmissione). Una linea di trasmissione lunga 2020 km ha impedenza caratteristica Z0=377 ΩZ_0=377\ \Omega a tutte le frequenze di interesse e attenuazione specifica di 11 dB/km alla frequenza f0=10f_0=10 MHz. Ipotizzando condizioni di adattamento in trasmissione e ricezione determinare:

a) Il modulo della risposta in frequenza della linea (NB. ∣G(f)∣\lvert G(f)\rvert è una funzione della frequenza). b) La potenza statistica del segnale di tensione ricevuto, sapendo che il segnale trasmesso ha potenza elettrica Ps=1P_s=1 mW uniformemente distribuita sulla banda [−f1,f1][-f_1,f_1] con f1=40f_1=40 MHz. c) Il rapporto segnale/rumore in ricezione, calcolato sulla banda del segnale, sapendo che la linea si trova alla temperatura T0=290T_0=290 K e che il ricevitore ha cifra di rumore F=10F=10 dB.

Teoria usata: Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →.

a) Risposta in frequenza

L'attenuazione specifica cresce con la radice della frequenza, a~(f)=a~(f0)∣f∣f0=1 dB/km⋅∣f∣10 MHz\tilde a(f)=\tilde a(f_0)\sqrt{\frac{\lvert f\rvert}{f_0}}=1\ \text{dB/km}\cdot\sqrt{\frac{\lvert f\rvert}{10\ \text{MHz}}}, quindi su L=20L=20 km l'attenuazione totale è a(f)=a~(f) L=20∣f∣f0 dB.a(f)=\tilde a(f)\,L=20\sqrt{\frac{\lvert f\rvert}{f_0}}\ \text{dB}. Il guadagno in potenza è gch(f)=∣G(f)∣2=10−a(f)/10g_{ch}(f)=\lvert G(f)\rvert^2=10^{-a(f)/10}, e il guadagno in ampiezza ∣G(f)∣=10−a(f)/20=10−∣f∣/f0.\lvert G(f)\rvert=10^{-a(f)/20}=10^{-\sqrt{\lvert f\rvert/f_0}}. Valori: a f0=10f_0=10 MHz ∣G∣=0,1\lvert G\rvert=0{,}1 (−20-20 dB); a f=40f=40 MHz ∣G∣=10−2\lvert G\rvert=10^{-2} (−40-40 dB, gch=10−4g_{ch}=10^{-4}). L'attenuazione cresce da 00 a 4040 dB lungo la banda: il segnale arriva con lo spettro "inclinato".

b) Potenza ricevuta

La densità di potenza elettrica trasmessa è uniforme su [−f1,f1][-f_1,f_1]: pin(f)=Ps2f1rect⁡(f2f1)=10−38⋅107=1,25⋅10−11 W/Hz.p_{in}(f)=\frac{P_s}{2f_1}\operatorname{rect}\left(\frac f{2f_1}\right)=\frac{10^{-3}}{8\cdot10^7}=1{,}25\cdot10^{-11}\ \text{W/Hz}. In ricezione pout(f)=pin(f) gch(f)p_{out}(f)=p_{in}(f)\,g_{ch}(f), con gch(f)=10−2∣f∣/f0=e−k∣f∣g_{ch}(f)=10^{-2\sqrt{\lvert f\rvert/f_0}}=e^{-k\sqrt{\lvert f\rvert}} e k=2ln⁡10f0=1,456⋅10−3 Hz−1/2k=\frac{2\ln10}{\sqrt{f_0}}=1{,}456\cdot10^{-3}\ \text{Hz}^{-1/2}. Integrando (funzione pari): Pout=2∫0f1pin e−kf df.P_{out}=2\int_0^{f_1}p_{in}\,e^{-k\sqrt f}\,df. Con la sostituzione u=kfu=k\sqrt f (f=u2k2f=\frac{u^2}{k^2}, df=2uk2dudf=\frac{2u}{k^2}du) l'integrale diventa ∫u e−udu=1−(1+u)e−u\int u\,e^{-u}du=1-(1+u)e^{-u} e Pout=4pink2[1−(1+u1)e−u1],u1=kf1=9,21.P_{out}=\frac{4p_{in}}{k^2}\left[1-(1+u_1)e^{-u_1}\right],\qquad u_1=k\sqrt{f_1}=9{,}21. Numericamente 4⋅1,25⋅10−11(1,456⋅10−3)2=2,358⋅10−5\frac{4\cdot1{,}25\cdot10^{-11}}{(1{,}456\cdot10^{-3})^2}=2{,}358\cdot10^{-5} W e [1−10,21 e−9,21]=0,999\left[1-10{,}21\,e^{-9{,}21}\right]=0{,}999: Pout=2,355⋅10−5 W=0,0236 mW (−16,3 dBm),P_{out}=2{,}355\cdot10^{-5}\ \text{W}=0{,}0236\ \text{mW}\ (-16{,}3\ \text{dBm}), cioè −16,3-16{,}3 dBm contro 00 dBm trasmessi: 16,316{,}3 dB di attenuazione media (dominata dalle basse frequenze, che attenuano poco). La potenza statistica della tensione ricevuta è, con linea adattata (R=Z0=377 ΩR=Z_0=377\ \Omega): Ms=Pout⋅Z0=2,355⋅10−5⋅377=8,88⋅10−3 V2.M_s=P_{out}\cdot Z_0=2{,}355\cdot10^{-5}\cdot377=8{,}88\cdot10^{-3}\ \text{V}^2.

c) SNR in ricezione

La temperatura efficace è Teff=TS+T0(F−1)=T0F=290⋅10=2900T_{eff}=T_S+T_0(F-1)=T_0F=290\cdot10=2900 K (la linea è a T0T_0 e il ricevitore ha F=10F=10 dB). Il rumore sulla banda del segnale [−f1,f1][-f_1,f_1] (densità bilatera 12kTeff\frac12kT_{eff} su una larghezza 2f12f_1): Pw=12kTeff⋅2f1=kTefff1=1,38⋅10−23⋅2900⋅4⋅107=1,60⋅10−12 W.P_w=\tfrac12kT_{eff}\cdot2f_1=kT_{eff}f_1=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot2900\cdot4\cdot10^7=1{,}60\cdot10^{-12}\ \text{W}. L'SNR è Λ=PoutPw=2,355⋅10−51,601⋅10−12=1,47⋅107 ⟹ 71,7 dB.\Lambda=\frac{P_{out}}{P_w}=\frac{2{,}355\cdot10^{-5}}{1{,}601\cdot10^{-12}}=1{,}47\cdot10^7\ \Longrightarrow\ 71{,}7\ \text{dB}.

Nota. La soluzione pubblicata con il foglio dà 8,90⋅10−58{,}90\cdot10^{-5} W e 83,583{,}5 dB: ha un'attenuazione specifica dimezzata nell'esponenziale (usa a~(f)=1 dB/kmf/f0\tilde a(f)=1\ \text{dB/km}\sqrt{f/f_0} come se la linea fosse lunga 1010 km) e un rumore di 4⋅10−134\cdot10^{-13} W invece di 1,6⋅10−121{,}6\cdot10^{-12} W (kTefff1kT_{eff}f_1 con f1=40f_1=40 MHz). Qui i valori sono ricalcolati e verificati numericamente (integrazione di pingchp_{in}g_{ch} con scipy e forma chiusa: 2,3552⋅10−52{,}3552\cdot10^{-5} W; Pw=1,6008⋅10−12P_w=1{,}6008\cdot10^{-12} W; SNR 71,6871{,}68 dB).

Errori comuni

  • Dimenticare di moltiplicare l'attenuazione specifica per la lunghezza (2020 km) prima di passare ai dB di potenza.
  • Usare l'attenuazione a f0f_0 (una sola frequenza) per tutta la banda: con f\sqrt f varia da 00 a 4040 dB.
  • Calcolare il rumore su f1f_1 invece che su 2f12f_1 (o dimenticare il 12\frac12 della densità bilatera): Pw=kTefff1P_w=kT_{eff}f_1.
  • Passare dalla potenza elettrica (P=1P=1 mW) alla statistica senza moltiplicare per Z0=377 ΩZ_0=377\ \Omega.

Versione ripasso

Testo. Linea 2020 km, Z0=377 ΩZ_0=377\ \Omega, 11 dB/km a f0=10f_0=10 MHz (∝f\propto\sqrt f); segnale 11 mW uniforme su [−f1,f1][-f_1,f_1], f1=40f_1=40 MHz; T0=290T_0=290 K, F=10F=10 dB: ∣G(f)∣\lvert G(f)\rvert, potenza statistica ricevuta, SNR.

  • a) a(f)=20∣f∣/f0a(f)=20\sqrt{\lvert f\rvert/f_0} dB; ∣G∣=10−∣f∣/f0\lvert G\rvert=10^{-\sqrt{\lvert f\rvert/f_0}} (0,10{,}1 a 1010 MHz, 0,010{,}01 a 4040 MHz).
  • b) pin=Ps2f1=1,25⋅10−11p_{in}=\frac{P_s}{2f_1}=1{,}25\cdot10^{-11}; Pout=2∫0f1pine−kfdf=4pink2[1−(1+u1)e−u1]P_{out}=2\int_0^{f_1}p_{in}e^{-k\sqrt f}df=\frac{4p_{in}}{k^2}\left[1-(1+u_1)e^{-u_1}\right], k=2ln⁡10f0k=\frac{2\ln10}{\sqrt{f_0}}, u1=kf1=9,21u_1=k\sqrt{f_1}=9{,}21: 2,355⋅10−52{,}355\cdot10^{-5} W; Ms=PoutZ0=8,88⋅10−3M_s=P_{out}Z_0=8{,}88\cdot10^{-3} V².
  • c) Teff=T0F=2900T_{eff}=T_0F=2900 K; Pw=kTefff1=1,6⋅10−12P_w=kT_{eff}f_1=1{,}6\cdot10^{-12} W; Λ=1,47⋅107=71,7\Lambda=1{,}47\cdot10^7=71{,}7 dB (la soluzione del foglio, 83,583{,}5 dB, ha due errori).
  • Errori: attenuazione specifica senza ⋅L\cdot L; una sola frequenza per tutta la banda; rumore su f1f_1; potenza elettrica ≠\ne statistica.

Teoria collegata