Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali

L'idea

Con modulazione digitale si intende trasformare la sequenza di bit prodotta dalla sorgente in un segnale che si può spedire nel canale; la demodulazione è il processo inverso, ricostruire la sequenza di bit dal segnale fisico (Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione → ha fornito i bit). Si raggruppano i bit in parole da $b$: si hanno $M=2^b$ parole diverse e a ciascuna si associa un segnale

$$\text{parola }m\ \longrightarrow\ s_m(t),\qquad m=0,1,\dots,M-1.$$

Cioè: invece di mandare "000" si manda il segnale $s_0(t)$. La modulazione è proprio questo abbinamento tra le $M$ parole possibili e $M$ segnali. Per semplicità si ipotizza che il canale lasci il segnale com'è e aggiunga rumore: $$r(t)=s_m(t)+w(t)\qquad(g_{ch}=\delta).$$ Il ricevitore, noto $r(t)$, deve decidere a quale $m$ corrisponde.

Esempio 1 ($M=4$, parole $00,01,10,11$). Si scelgono arbitrariamente 4 segnali con $T$ il periodo di simbolodurata del segnale associato a una parola di bit: $$s_1=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/4}{T/2}\right),\ s_2=\operatorname{rect}\left(\frac{t-3T/4}{T/2}\right),\ s_3=-s_1,\ s_4=-s_2.$$ Il rumore $w(t)$ si somma al segnale e il ricevitore vede una forma d'onda deformata da cui deve ricavare quali segnali erano stati inviati: non si può eliminare il rumore, ma si ricostruisce comunque la sequenza originale.

Ci sono due problemi:

1. Come scegliere i segnali? (progetto del modulatore);
2. Qual è il miglior criterio di decisione? (progetto del demodulatore: Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →).

Lo spazio dei segnali

Ci limitiamo ai segnali a energia finita, $E[s_m]=\int\lvert s_m\rvert^2dt<\infty$. Per trattarli come vettori si definisce uno spazio vettoriale con:

• prodotto scalareintegrale del prodotto di un segnale per il coniugato dell'altro: $\langle x,y\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,y^*(t)\,dt$;
• norma: $\lVert x\rVert^2=\langle x,x\rangle=\int\lvert x\rvert^2dt=E_x$ (il quadrato della norma è l'energia).

Due segnali sono ortogonali se $\langle x,y\rangle=0$ (per esempio due impulsi con supporti disgiunti). Una base è un insieme di segnali con cui si può ricostruire ogni segnale dello spazio; interessano le basi ortonormali $\{\phi_i(t)\}_{i=1}^I$: $$\lVert\phi_i\rVert=1,\qquad\langle\phi_i,\phi_j\rangle=0\ \ (i\ne j),$$ e allora ogni segnale è una combinazione lineare $$s_m(t)=\sum_{i=1}^Is_{m,i}\,\phi_i(t),\qquad s_{m,i}=\langle s_m,\phi_i\rangle,\qquad\mathbf s_m=\left[s_{m,1},\dots,s_{m,I}\right].$$ Parlare di segnali o di punti nello spazio generato da $\{\phi_i\}$ è equivalente. La dimensione $I$ della base è al più $M$. La rappresentazione grafica dei vettori $\mathbf s_m$ si chiama costellazione.

Grandezze della costellazione:

• energia del segnale $m$: $E_m=\lVert s_m\rVert^2=\lVert\mathbf s_m\rVert^2=\sum_is_{m,i}^2$ (distanza dall'origine al quadrato);
• energia media per simbolo $E_s=\sum_mP_mE_m$;
• distanza tra due segnali: $d_{m,n}=\lVert s_m-s_n\rVert=\lVert\mathbf s_m-\mathbf s_n\rVert$; la distanza minima $d_{min}=\min_{m\ne n}d_{m,n}$.

Si vorrebbe che i punti fossero il più distanti possibile (per distinguerli meglio), ma questo richiede più energia: è il compromesso fondamentale.

Trovare una base: Gram-Schmidt

Esempio 1 (rect su metà intervallo). $s_1$ e $s_2$ hanno supporti disgiunti, quindi $\langle s_1,s_2\rangle=0$; $s_3=-s_1$ e $s_4=-s_2$. Una base è $\{s_1,s_2\}$ normalizzata: con $E_{s_1}=\int\lvert s_1\rvert^2=\frac T2$, $$\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_{s_1}}},\qquad\phi_2=\frac{s_2}{\sqrt{E_{s_2}}},\qquad\mathbf s_1=(\sqrt{E_{s_1}},0),\ \mathbf s_2=(0,\sqrt{E_{s_2}}),\ \mathbf s_3=(-\sqrt{E_{s_1}},0),\ \mathbf s_4=(0,-\sqrt{E_{s_2}}),$$ con $M=4$ punti in dimensione $I=2$ (verifica: $\lVert\phi_1\rVert^2=\frac1{E_{s_1}}\int\lvert s_1\rvert^2=1$).

Esempio 2 (seni). $s_1=A\sin\left(2\pi\frac tT\right)$ per $0<t<\frac T2$; $s_2=A\sin\left(2\pi\frac tT\right)$ per $0<t<T$; $s_3=A\sin\left(2\pi\frac tT\right)$ per $\frac T2<t<T$ (0 fuori). Poiché $s_2=s_1+s_3$, $M=3$ segnali ma la dimensione è $I=2$. L'energia di $s_1$ è $A^2\int_0^{T/2}\sin^2\left(\frac{2\pi t}T\right)dt=\frac{A^2T}4$ (con $\sin^2=\frac12(1-\cos)$). La base: $$\phi_1=\frac2{\sqrt T}\sin\left(2\pi\frac tT\right)\ (0<t<\tfrac T2),\qquad\phi_2=\frac2{\sqrt T}\sin\left(2\pi\frac tT\right)\ (\tfrac T2<t<T),$$ ortogonali (supporti disgiunti). I punti: $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\sqrt{E_1},\sqrt{E_3})$, $\mathbf s_3=(0,\sqrt{E_3})$ con $E_1=E_3=\frac{A^2T}4$.

Procedimento di Gram-Schmidt (per quando i segnali non sono già a due a due ortogonali o a supporti disgiunti). Dati $s_1,\dots,s_M$:

1. $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_{s_1}}}$;
2. per $s_2$ si toglie la componente lungo $\phi_1$: $c=\langle s_2,\phi_1\rangle$, $\phi_2'=s_2-c\,\phi_1$ (ortogonale a $\phi_1$) e si normalizza. La sua energia è $E_{\phi_2'}=E_{s_2}-c^2$, quindi $$\phi_2=\frac{s_2-c\,\phi_1}{\sqrt{E_{s_2}-c^2}},\qquad\mathbf s_2=\left[c,\ \sqrt{E_{s_2}-c^2}\right];$$
3. per $s_k$ si sottrae la proiezione su tutte le basi già trovate; se il resto ha energia nulla, $s_k$ è combinazione dei precedenti e la dimensione non aumenta;
4. $I$ è il numero di funzioni di base ottenute.

(Se i segnali condividono un solo impulso $h(t)$, $s_m=\alpha_mh(t)$, la base è $\phi=\frac{h}{\sqrt{E_h}}$ e la costellazionerappresentazione dei segnali come punti nello spazio generato dalla base è unidimensionale: è il caso della PAM, PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →.)

Il procedimento generale della modulazione

1. Dati gli $M$ segnali, si trova una base ortonormaleinsieme di segnali di norma unitaria e ortogonali tra loro $\{\phi_i\}_{i=1}^I$.
2. Ogni parola di bit $b_m$ è mappata nel segnale $s_m(t)$, cioè nel vettore $\mathbf s_m=[s_{m,1},\dots,s_{m,I}]$.
3. Il ricevitore riceve $r(t)=s_m(t)+w(t)$ e lo proietta sulla base ottenendo un vettore $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ (Il rumore AWGN nello spazio dei segnaliIl ricevitore vede solo la componente del rumore nello spazio dei segnali: $w_i=\langle w,\phi_i\rangle$. Per un rumore bianco gaussiano le $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate (quindi indipendenti) e con la stessa varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, qualunque sia la base ortonormale. Il vettore ricevuto $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ ha densità condizionata $p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)=\left(\pi N_0\right)^{-I/2}e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2/N_0}$: il rumore sposta il punto trasmesso in modo circolare.Il rumore AWGN nello spazio dei segnali →).
4. Si formulano $M$ ipotesi: $\mathbf r\overset?=\mathbf s_0+\mathbf w$, ..., $\mathbf r\overset?=\mathbf s_{M-1}+\mathbf w$.
5. Si sceglie l'ipotesi più probabile, cioè quella che massimizza la probabilità di decisione corretta $$P[C]=P\left[\hat b=b\right].$$ Lo spazio è diviso in $M$ regioni di decisionezone dello spazio dei segnali in cui il ricevitore decide per un dato simbolo $\mathcal R_m$; se $\mathbf r\in\mathcal R_m$ si decide $\hat b=b_m$. Non è ovvio come tracciarle: per $M=2$ in dimensione $1$ basterebbe una linea a metà tra i due punti, ma se $P[s_2]>P[s_1]$ conviene allargare $\mathcal R_2$.

Parole, simboli e periodi. Le parole di $b$ bit con bit-rate $R_b=\frac1{T_b}$ sono trasmesse una ogni periodo di simbolo $$T=T_b\log_2M,\qquad R=\frac{R_b}{\log_2M}\ \ (\text{baud, simboli/s}).$$ Al ricevitore il demodulatore (proiezione sulla base e decisione) restituisce i bit decisi $\hat b$ (Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →).

Errori comuni

• Dimenticare di normalizzare la base ($\lVert\phi_i\rVert=1$): le coordinate sono $s_{m,i}=\langle s_m,\phi_i\rangle$ solo con una base ortonormale.
• Dire che la dimensione è $M$: è il numero di funzioni di base indipendenti ($I\le M$).
• Calcolare l'energia di un segnale come somma dei valori e non dei quadrati (o dimenticare l'integrale).
• Dimenticare il segno di $\phi_2$: nel costruire la base con Gram-Schmidt, i punti seguono la scelta del segno.