Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore

Con $M=2$ segnali, $s_1(t)$ e $s_2(t)$, si possono calcolare esattamente la distanza e la probabilità di errore. Gli stessi concetti si estendono poi al caso $M$-ario (Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonaliCon $M>2$ segnali la probabilità di errore esatta non si trova in forma chiusa, ma si limita con la distanza minima: $\frac{N^}{M}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ ($N^$ = numero di punti con almeno un vicino a $d_{min}$). L'upper bound è molto vicino al valore vero ad SNR alto. Per $M$ segnali ortogonali $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e la dimensione è $M$; per i biortogonali (un segnale opposto più $M-2$ ortogonali) la dimensione è $\frac M2$.Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali →).

La costellazione di due segnali

Si prende $s_1$ come riferimento: $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_{1}}}$, quindi $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$. Il secondo segnale si scrive $s_2=c\,\phi_1+\phi_2'$ con $c=\langle s_2,\phi_1\rangle$ e $\phi_2'=s_2-c\,\phi_1$, di energia $E_2-c^2$ (Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali →): $$\phi_2=\frac{s_2-c\,\phi_1}{\sqrt{E_2-c^2}},\qquad\mathbf s_2=\left[c,\ \sqrt{E_2-c^2}\right].$$ Si definisce il coefficiente di correlazioneprodotto scalare normalizzato dei due segnali, tra meno 1 e 1 $$\boxed{\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1}\sqrt{E_2}}\in[-1,1]}$$ (per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarzdisuguaglianza che limita il prodotto scalare al prodotto delle norme $\lvert\rho\rvert\le1$). Poiché $c=\langle s_2,\phi_1\rangle=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1}}=\rho\sqrt{E_2}$, si ha $$\mathbf s_1=\left(\sqrt{E_1},0\right),\qquad\mathbf s_2=\left(\sqrt{E_2}\,\rho,\ \sqrt{E_2(1-\rho^2)}\right)=\left(\sqrt{E_2}\cos\varphi,\ \sqrt{E_2}\sin\varphi\right),\ \ \rho=\cos\varphi.$$ Qualunque siano i due segnali si possono disegnare con queste coordinate.

Distanza. $d_{1,2}^2=\lVert\mathbf s_1-\mathbf s_2\rVert^2=\langle s_1-s_2,s_1-s_2\rangle=E_1+E_2-2\langle s_1,s_2\rangle$, cioè $$\boxed{d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}}\ \xrightarrow{\ E_1=E_2=E_s\ }\ d_{1,2}=\sqrt{2E_s}\,\sqrt{1-\rho}.$$ È il teorema di Pitagora generalizzato (legge dei coseni). Per avere $d$ massima, a energia fissata, si minimizza $\rho$: $\rho=-1$, cioè $\varphi=\pi$.

Probabilità di errore

Con canale AWGN e simboli equiprobabili ($P_1=P_2=\frac12$) il criterio MD è ottimo (Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →): $$P[C]=\tfrac12P\left[\lVert\mathbf r-\mathbf s_1\rVert<\lVert\mathbf r-\mathbf s_2\rVert\mid b_1\right]+\tfrac12P\left[\lVert\mathbf r-\mathbf s_2\rVert<\lVert\mathbf r-\mathbf s_1\rVert\mid b_2\right].$$ Con $b_1$ trasmesso, $\mathbf r=\mathbf s_1+\mathbf w$. La condizione $\lVert\mathbf w\rVert<\lVert\mathbf s_1-\mathbf s_2+\mathbf w\rVert$, elevando al quadrato ed espandendo $\lVert\mathbf a+\mathbf b\rVert^2=\lVert\mathbf a\rVert^2+\lVert\mathbf b\rVert^2+2\operatorname{Re}\langle\mathbf a,\mathbf b\rangle$, diventa $$\operatorname{Re}\langle\mathbf s_1-\mathbf s_2,\mathbf w\rangle>-\frac{d_{1,2}^2}2\qquad(\text{equivalente per simmetria a }<\tfrac{d_{1,2}^2}2).$$ Il membro sinistro è $w_0=\sum_i(s_{1,i}-s_{2,i})w_i$: combinazione lineare di gaussiane indipendenti, quindi gaussiana con media $0$ e varianza $\sigma_I^2\sum_i(s_{1,i}-s_{2,i})^2=\sigma_I^2d_{1,2}^2$ (Il rumore AWGN nello spazio dei segnaliIl ricevitore vede solo la componente del rumore nello spazio dei segnali: $w_i=\langle w,\phi_i\rangle$. Per un rumore bianco gaussiano le $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate (quindi indipendenti) e con la stessa varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, qualunque sia la base ortonormale. Il vettore ricevuto $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ ha densità condizionata $p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)=\left(\pi N_0\right)^{-I/2}e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2/N_0}$: il rumore sposta il punto trasmesso in modo circolare.Il rumore AWGN nello spazio dei segnali →). Standardizzando ($\frac{w_0}{\sigma_Id_{1,2}}\sim\mathcal N(0,1)$): $$P\left[w_0<\frac{d_{1,2}^2}2\right]=1-Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right),\qquad P[C]=1-Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right),$$ $$\boxed{P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right).}$$ Con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $d_{1,2}=\sqrt{2E_s}\sqrt{1-\rho}$: $$\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}=\frac{\sqrt{2E_s}\sqrt{1-\rho}}{2\sqrt{N_0/2}}=\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}},\qquad\boxed{P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right).}$$ La probabilità cala se $d$ cresce (la $Q$ è decrescente): si può ridurre l'errore abbassando $\rho$ oppure aumentando $E_s$. Il rapporto $\frac{E_s}{N_0}$ è legato all'SNR: $\text{SNR}=\frac{M_{tx}}{N_0B}=\frac{E_s/T}{N_0B}=\frac{E_s}{N_0TB}$ (Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →). Abbiamo così collegato le caratteristiche fisiche del canale alla probabilità di errore.

Con due simboli ogni errore è un errore su un bit, quindi $P_{bit}=P[E]$ (canale binario simmetrico con $P_{0|1}=P_{1|0}=P_{bit}$).

Tre casi notevoli

L'antipodalei due segnali sono opposti: distanza massima a parità di energia è la migliore a parità di energia, ma non sempre realizzabile. A parità di probabilità di errore l'ortogonaleprodotto scalare nullo: distanza radice di 2 volte la radice dell'energia richiede una $\frac{E_s}{N_0}$ doppia ($+3$ dB). Per confrontare due modulazioni si traccia $P_{bit}$ in funzione di $\frac{E_s}{N_0}$ (dB): la curva più in basso è la migliore.

Valori. A $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB ($=10$): antipodale $Q(\sqrt{20})=Q(4{,}47)=3{,}9\cdot10^{-6}$; ortogonale $Q(\sqrt{10})=Q(3{,}16)=7{,}8\cdot10^{-4}$. Per $P_{bit}=10^{-5}$ ($Q^{-1}=4{,}265$) servono $\frac{E_s}{N_0}=\frac{4{,}265^2}2=9{,}09\to9{,}6$ dB (antipodale) e $18{,}2\to12{,}6$ dB (ortogonale).

Esempio: OOK (on-off keying)

Si trasmette niente oppure un impulso: $s_1(t)=0$, $s_2(t)=A\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$. Energie: $E_1=0$, $E_2=A^2T$. Base $\phi_1=\frac{s_2}{\sqrt{E_2}}=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$, costellazione monodimensionale $\mathbf s_1=0$, $\mathbf s_2=\sqrt{E_2}=A\sqrt T$. Distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_2}$. Con MD e simboli equiprobabili le regioni sono $\mathcal R_1=\left\{\rho<\frac{\sqrt{E_2}}2\right\}$, $\mathcal R_2=\left\{\rho>\frac{\sqrt{E_2}}2\right\}$ e $$P_{2|1}=P\left[w>\tfrac{\sqrt{E_2}}2\right]=Q\left(\frac{\sqrt{E_2}}{2\sigma_I}\right),\qquad P_{1|2}=P\left[w<-\tfrac{\sqrt{E_2}}2\right]=Q\left(\frac{\sqrt{E_2}}{2\sigma_I}\right),$$ $$P[E]=P_{bit}=Q\left(\frac{\sqrt{E_2}}{2\sigma_I}\right).$$ L'energia media è $E_s=\frac12\cdot0+\frac12E_2=\frac{E_2}2$, quindi $E_2=2E_s$ e $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: uguale all'ortogonale e peggiore dell'antipodale di $3$ dB (a pari energia media). Con $A=2$ V, $T=1$ ms e $\sigma_I^2=10^{-6}$ V²s: $\sqrt{E_2}=A\sqrt T=0{,}0632$ V$\sqrt{\text{s}}$, $\frac{\sqrt{E_2}}{2\sigma_I}=\frac{0{,}0632}{0{,}002}=31{,}6$: $P_{bit}\approx0$.

Errori comuni

• Dimenticare di dividere per $2$: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$, non $Q\left(\frac d{\sigma_I}\right)$ (la soglia è a metà strada).
• Usare $\sigma_I$ al posto di $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ quando si converte in $\frac{E_s}{N_0}$ ($\sqrt2$ in più).
• Confrontare modulazioni a pari energia di picco invece che a pari energia media $E_s$ (OOKon-off keying: si trasmette niente oppure un impulso ha $E_s=\frac{E_2}2$).
• Dire che l'antipodale ha sempre $\rho=-1$ con $E_1\ne E_2$: antipodale significa $s_2=-s_1$ (stessa energia).