Esercizio 25smartphone con PSK adattiva in galleria (foglio di esercizi sulla modulazione digitale)

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Teoria usata: PSK - modulazione di faseNella PSK l'informazione sta solo nella fase della portante: $s_m(t)=h(t)\cos(2\pi f_0t+\varphi_m)$ con $\varphi_m=\frac\pi M(2m-1)$. I punti stanno su una circonferenza di raggio $\sqrt{E_s}$ (tutti con la stessa energia $E_s=\frac{E_h}2$), con $d_{min}=2\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M$. $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$ per $M>2$; con Gray $P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\Gamma}\sin\frac\pi M\right)$, $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$. Per $M=2$ è l'antipodale (BPSK), per $M=4$ coincide con la 4-QAM.PSK - modulazione di fase →, Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →, Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →.

Condizione iniziale

Il collegamento sul viadotto usa $8$-PSK con $P_{bit}=10^{-6}$. Per $M>2$ (PSK - modulazione di faseNella PSK l'informazione sta solo nella fase della portante: $s_m(t)=h(t)\cos(2\pi f_0t+\varphi_m)$ con $\varphi_m=\frac\pi M(2m-1)$. I punti stanno su una circonferenza di raggio $\sqrt{E_s}$ (tutti con la stessa energia $E_s=\frac{E_h}2$), con $d_{min}=2\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M$. $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$ per $M>2$; con Gray $P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\Gamma}\sin\frac\pi M\right)$, $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$. Per $M=2$ è l'antipodale (BPSK), per $M=4$ coincide con la 4-QAM.PSK - modulazione di fase →) $P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\Gamma\sin^2\frac\pi M}\right)$; per $M=8$: $$\frac23\,Q\left(\sqrt{2\Gamma\sin^2\frac\pi8}\right)=10^{-6}\ \Longrightarrow\ Q(\cdot)=1{,}5\cdot10^{-6}\ \Longrightarrow\ \sqrt{2\Gamma\sin^2\tfrac\pi8}=4{,}67\ \Longrightarrow\ \Gamma=\frac{21{,}8}{2\cdot0{,}1464}=74{,}5\ \ (18{,}72\ \text{dB}).$$ (La soluzione del foglio dà $18{,}77$ dB arrotondando $Q^{-1}(1{,}5\cdot10^{-6})$ a $4{,}7$.) Velocità di download: $2$ Mbit in $500$ ms $\Rightarrow R=4$ Mbit/s. Poiché $R=R_s\log_2M$, con $M=8$ la frequenza di simbolo è $R_s=\frac{R}{\log_2M}=\frac43$ Msimboli/s. La frequenza di simbolo $R_s$ resta costante in tutti gli scenari (stessa banda, stessa potenza): cambiando $M$ cambia il rate $R=R_s\log_2M$ e quindi il tempo.

Il compromesso: ridurre $M$ migliora la robustezza ($P_{bit}$ cala, serve meno $\Gamma$) ma riduce il rate e quindi allunga il tempo di scaricamento: si cerca il più alto $M$ che soddisfa $P_{bit}\le10^{-3}$. Con la formula si trovano gli $\Gamma$ minimi per $P_{bit}=10^{-3}$: $$M=2:\ 6{,}79\ \text{dB},\qquad M=4:\ 9{,}80\ \text{dB},\qquad M=8:\ 14{,}78\ \text{dB}.$$

(1) Brevi e lunga galleria

Un'attenuazione supplementare di $x$ dB riduce lo SNR di riferimento di $x$ dB (stessa potenza trasmessa e banda).

A) Galleria breve, $5$ dB: $\Gamma=18{,}72-5=13{,}72$ dB.

• $8$-PSK: $P_{bit}=2{,}9\cdot10^{-3}>10^{-3}$ ✗ (servirebbero $14{,}78$ dB);
• $4$-PSK: $P_{bit}=Q\left(\sqrt\Gamma\right)=6{,}1\cdot10^{-7}\le10^{-3}$ ✓.

Il rate è $R=R_s\log_24=\frac43\cdot2=\frac83$ Mbit/s e il tempo $$T_A=\frac{2\ \text{Mbit}}{8/3\ \text{Mbit/s}}=0{,}75\ \text{s}=750\ \text{ms}\quad(+50\%).$$

B) Galleria lunga, $10$ dB: $\Gamma=18{,}72-10=8{,}72$ dB.

• $4$-PSK: $P_{bit}=3{,}2\cdot10^{-3}>10^{-3}$ ✗ (servono $9{,}80$ dB);
• $2$-PSK (BPSK): $P_{bit}=Q\left(\sqrt{2\Gamma}\right)=5{,}7\cdot10^{-5}\le10^{-3}$ ✓.

Con $M=2$: $R=R_s\cdot1=\frac43$ Mbit/s e $$T_B=\frac{2\ \text{Mbit}}{4/3\ \text{Mbit/s}}=1{,}5\ \text{s}\quad(\times3\ \text{rispetto ai }500\ \text{ms}).$$

(2) Con altri $13$ dB di attenuazione

L'attenuazione totale sale a $10+13=23$ dB e $\Gamma=18{,}72-23=-4{,}28$ dB. Nessuna delle tre PSK regge: la BPSK ha $P_{bit}=0{,}19$, la $4$-PSK $0{,}27$, l'$8$-PSK $0{,}25$ (a SNR così basso le formule approssimate sono comunque da intendere come "errore enorme"). Le possibilità:

• rilassare il requisito (accettare una $P_{bit}$ più alta, per esempio con un codice di canale che corregge gli errori);
• cambiare modulazione verso una con prestazioni migliori a basso SNR (ortogonali o biortogonali, che però richiedono molta più banda: Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →);
• ridurre la frequenza di simbolo $R_s$: $\Gamma\propto\frac1{B_{min}}\propto T$, ogni dimezzamento di $R_s$ guadagna $3$ dB. La BPSK a $P_{bit}=10^{-3}$ richiede $6{,}79$ dB, cioè $6{,}79-(-4{,}28)=11{,}07$ dB in più, un fattore $12{,}8$ sul rate di simbolo: $R=\frac{4/3}{12{,}8}=0{,}104$ Mbit/s, e l'immagine arriva in $19$ s;
• aumentare la potenza trasmessa (di $11$ dB) o l'antenna, se è possibile;
• attendere condizioni migliori del canale, uscendo dalla galleria.

Si noti infine che la trasmissione costa energia, parametro che questo calcolo non considera: più potenza o più tempo di trasmissione scaricano la batteria.

(Verificato con Python: $\Gamma_0=18{,}7208$ dB; $P_{bit}$ nei tre casi: $A$: $8$-PSK $2{,}87\cdot10^{-3}$, $4$-PSK $6{,}1\cdot10^{-7}$; $B$: $4$-PSK $3{,}17\cdot10^{-3}$, $2$-PSK $5{,}7\cdot10^{-5}$; $C$: $0{,}19$ ($2$-PSK).)

Errori comuni

• Ridurre $M$ pensando che il rate resti uguale: $R=R_s\log_2M$ cala, il tempo aumenta.
• Modificare la frequenza di simbolo da scenario a scenario: resta $\frac43$ Msimboli/s (cambiano i bit per simbolo).
• Usare per $M=2$ la formula con il fattore $\frac2{\log_2M}$: la BPSK è $Q\left(\sqrt{2\Gamma}\right)$.
• Calcolare la variazione di SNR con $10\log_{10}$ dell'attenuazione in dB: l'attenuazione in dB si sottrae direttamente.