Esercizio 3PSD con righe, filtro passa-basso e due quantizzatori per un segnale esponenziale (tema d'esame febbraio 2025)

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Teoria usata: Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →, Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →, Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori →, SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →, Codici di Shannon-Fano e di HuffmanIn un codice ottimo le parole più probabili non sono più lunghe di quelle meno probabili e le due parole più lunghe differiscono solo per l'ultimo simbolo. Shannon-Fano costruisce l'albero dall'alto dividendo ripetutamente i simboli in due gruppi di probabilità quasi uguali; Huffman lo costruisce dal basso unendo ogni volta i due simboli meno probabili ed è sempre ottimo tra i codici a prefisso. La lunghezza media $L_y$ è la somma delle probabilità dei nodi uniti, l'efficienza è $\eta=\frac{H}{L_y}$.Codici di Shannon-Fano e di Huffman →.

(1) Potenza statistica in ingresso

La potenza statistica è l'integrale della PSD, $M_x=\int\mathcal P(f)\,df$. Il termine rettangolare vale $\frac{A_1}B$ su $[-B,B]$ (larghezza $2B$); le due righe $\delta$ contribuiscono con la loro area: $$M_x=\frac{A_1}B\cdot2B+A_2+A_3=2A_1+A_2+A_3=4+0{,}5+0{,}5=5\ \text{V}^2.$$

(2) Guadagno del filtro

Il filtro $G_0\operatorname{rect}\left(\frac{2f}B\right)$ lascia passare $\lvert f\rvert<\frac B4=5$ kHz. Nell'uscita sopravvivono quindi il tratto rettangolare con $\lvert f\rvert<\frac B4$ e la riga in $0$; la riga in $f=B$ è tagliata. Con $\mathcal P_y=\mathcal P\,\lvert G\rvert^2$: $$M_y=G_0^2\left[\frac{A_1}B\cdot2\cdot\frac B4+A_2\right]=G_0^2\left[\frac{A_1}2+A_2\right]=G_0^2\,(1+0{,}5)=1{,}5\,G_0^2\ \text{V}^2.$$ La potenza elettrica su una resistenza è $P=\frac{M_y}R$: per $P=0{,}6$ W su $R=10\ \Omega$ serve $M_y=P\,R=6\ \text{V}^2$, da cui $$G_0^2=\frac6{1{,}5}=4\ \Longrightarrow\ G_0=2\ (\text{guadagno in ampiezza},\ 6{,}02\ \text{dB come }20\log_{10}2).$$ Il guadagno in potenza è $G_0^2=4$, cioè $10\log_{10}4=6{,}02$ dB.

(Nota: la densità esponenziale con $\sigma^2=2$ V² ha media $\sqrt2$ e potenza $M=\sigma^2+m^2=4\ \text{V}^2$, che non coincide con i $6$ V² ottenuti dalla PSD: il testo, trascritto da una foto, è incoerente su questo punto. Per i punti successivi serve solo la densità esponenziale con $\lambda=\frac1{\sqrt2}$ V⁻¹.)

(3) Scelta del quantizzatore per il segnale esponenziale

Con $\lambda=\frac1{\sqrt{2}}\ \text{V}^{-1}=0{,}7071\ \text{V}^{-1}$. La densità è nulla per $x<0$: il segnale è solo positivo, e $P[x>v]=e^{-\lambda v}$.

(a) $[-7,7]$ V, $L=8$: $\Delta=\frac{14}8=1{,}75$ V; $P_{sat,a}=P[x>7]=e^{-0{,}7071\cdot7}=e^{-4{,}95}=7{,}1\cdot10^{-3}$ (nessuna saturazione sul lato negativo). I $4$ livelli con $x<0$ (a $-6{,}125,-4{,}375,-2{,}625,-0{,}875$ V) non vengono mai usati: restano $4$ livelli utili tra $0$ e $7$ V.

(b) $[0,5]$ V, $L=6$: $\Delta=\frac56=0{,}833$ V; $P_{sat,b}=e^{-0{,}7071\cdot5}=e^{-3{,}54}=2{,}9\cdot10^{-2}$. Tutti i $6$ livelli ($0{,}417,\ 1{,}25,\ 2{,}083,\ 2{,}917,\ 3{,}75,\ 4{,}583$ V) sono sul semiasse utile.

Confronto. Il quantizzatore (a) ha la probabilità di saturazione più bassa ($0{,}71\%$ contro $2{,}9\%$) ma ha il passo più grosso ($1{,}75$ V contro $0{,}833$ V): il suo errore granulare $\frac{\Delta^2}{12}$ è $0{,}255$ V², contro $0{,}0579$ V² di (b). Per decidere conviene confrontare la potenza totale dell'errore (granulare più saturazione, calcolata integrando numericamente con la densità esponenziale) e l'SNR sul segnale di potenza $M_x=\frac2{\lambda^2}=4$ V²:

In (b) l'errore è per più di metà dovuto alla saturazione ($0{,}156$ V² su $0{,}213$), ma resta più piccolo che in (a) perché (a) spreca la metà dei livelli. Scelta: il quantizzatore (b), che usa tutta la dinamica sul semiasse utile e ha l'SNR più alto ($12{,}7$ contro $11{,}0$ dB). Se invece la specifica fosse "$P_{sat}\le1\%$" solo (a) la rispetterebbe: il progetto migliore sarebbe un range $[0,V_{sat}]$ più largo (per esempio $[0,7]$ V con tutti gli $8$ livelli: $\Delta=0{,}875$ V e $P_{sat}=0{,}7\%$).

(4) Bit-rate con codice a lunghezza fissa e con Huffman

Le probabilità date sommano $0{,}89$: la sesta è $p_6=1-0{,}89=0{,}11$. Con $L=6$ livelli un codice a lunghezza fissa usa $\lceil\log_26\rceil=3$ bit per simbolo; con un simbolo ogni $T=1$ ms il bit-rate è $$R_{fisso}=\frac{3\ \text{bit}}{1\ \text{ms}}=3\ \text{kbit/s}.$$ L'entropia è $H=2{,}252$ bit: l'efficienza del codice fisso è $\frac{2{,}252}3=0{,}75$, quindi si può fare meglio con un codice a lunghezza variabile (Codici di Shannon-Fano e di HuffmanIn un codice ottimo le parole più probabili non sono più lunghe di quelle meno probabili e le due parole più lunghe differiscono solo per l'ultimo simbolo. Shannon-Fano costruisce l'albero dall'alto dividendo ripetutamente i simboli in due gruppi di probabilità quasi uguali; Huffman lo costruisce dal basso unendo ogni volta i due simboli meno probabili ed è sempre ottimo tra i codici a prefisso. La lunghezza media $L_y$ è la somma delle probabilità dei nodi uniti, l'efficienza è $\eta=\frac{H}{L_y}$.Codici di Shannon-Fano e di Huffman →). Unioni di Huffman: $0{,}08+0{,}06=0{,}14$, $0{,}11+0{,}09=0{,}20$, $0{,}20+0{,}14=0{,}34$, $0{,}34+0{,}31=0{,}65$, $0{,}65+0{,}35=1$. Lunghezze: $1$ bit per $p_1=0{,}35$, $2$ bit per $p_2=0{,}31$, $4$ bit per gli altri quattro (per esempio $0,\ 10,\ 1110,\ 1111,\ 1100,\ 1101$). Lunghezza media (e somma dei nodi interni $0{,}14+0{,}20+0{,}34+0{,}65+1$): $$L_y=0{,}35\cdot1+0{,}31\cdot2+(0{,}11+0{,}09+0{,}08+0{,}06)\cdot4=2{,}33\ \text{bit}\ \Longrightarrow\ R_{Huffman}=2{,}33\ \text{kbit/s},\quad\eta=\frac{2{,}252}{2{,}33}=0{,}97,$$ il $22\%$ in meno del codice fisso, e molto vicino al rate di informazione $H/T=2{,}252$ kbit/s.

(Calcoli verificati: $P_{sat}$ da $e^{-\lambda v}$; potenze d'errore da integrazione numerica $\int(x-Q(x))^2p(x)\,dx$.)

Errori comuni

• Dimenticare che $\mathcal P(f)$ ha righe $\delta$: l'area di una riga è la potenza della componente.
• Non tagliare con il filtro le righe fuori banda (qui $\delta(f-B)$) o contare l'intera banda del rettangolo invece di $\frac B2$ (la $\operatorname{rect}\left(\frac{2f}B\right)$ è larga $\frac B2$ in totale).
• Confondere guadagno in ampiezza $G_0$ e in potenza $G_0^2$ (dB: $20\log_{10}G_0=10\log_{10}G_0^2$).
• Scegliere il quantizzatore guardando solo $P_{sat}$ senza notare che un range simmetrico spreca metà dei livelli per un segnale unipolare.