Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza

Il processo aleatorio

I segnali che interessano alle comunicazioni (voce, dati, rumore) non sono noti in anticipo. Si modellano come processi aleatori: per ogni istante $t$, $x(t)$ è una variabile aleatoria (Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioniUna variabile aleatoria è descritta da una PMD (discreta) o da una PDF (continua) e dalla funzione di ripartizione; per la gaussiana $P[x>a]=Q\left(\frac{a-m}{\sigma}\right)$ con la funzione coda $Q$. Media $m_x$, varianza $\sigma_x^2$ e potenza statistica $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$. Per un vettore aleatorio contano l'indipendenza, le probabilità condizionate (totali e di Bayes) e la correlazione; combinazioni lineari di gaussiane sono gaussiane, e gaussiane scorrelate sono indipendenti.Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioni →). Si può pensare a $x(t)$ come a un segnale che cambia a ogni "estrazione". Si definiscono:

• media $m_x(t)=E[x(t)]$;
• potenza statistica $M_x(t)=E\left[x(t)^2\right]$;
• autocorrelazione $r_x(t_1,t_2)=E\left[x(t_1)\,x^*(t_2)\right]$: quanto sono legati i valori in due istanti.

Stazionarietà

Un processo è stazionario in media, in autocorrelazionevalore atteso del prodotto dei valori del processo in due istanti o in distribuzione se questa grandezza è tempo-invariante, cioè non cambia traslando l'asse dei tempi:

$$m_x(t)=m_x(t-t_0)=m_x\qquad r_x(t_1,t_2)=r_x(t_1-t_2)=r_x(\tau),\ \tau=t_1-t_2.$$

Essere stazionario in un parametro non implica esserlo negli altri. Un processo stazionario in media e in autocorrelazione è detto WSS (wide-sense stationary, stazionario in senso lato). In questo corso i processi sono sempre WSS; per un WSS la potenza statistica è costante: $M_x=r_x(0)$, e $m_x$, $\sigma_x^2$ e $M_x$ sono legate da $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$. Dato che la statistica a ogni istante è la stessa, si può scrivere semplicemente $P[x(t_1)>a]=P[x>a]$ (Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →).

Densità spettrale di potenza (PSD)

Per un processo WSS la densità spettrale di potenzatrasformata dell'autocorrelazione: dice come la potenza si distribuisce sulle frequenze è la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →): $$\mathcal P_x(f)=\mathcal F[r_x(\tau)]=\int r_x(\tau)\,e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau$$ (per un processo a tempo discreto con periodo $T$: $\mathcal P_x(f)=T\sum_kr_x(kT)e^{-j2\pi fkT}$). Proprietà:

• $\mathcal P_x(f)\ge0$ ed è pari per un processo reale;
• $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal P_x(f)\,df=r_x(0)=M_x$: l'integrale della PSD è la potenza statistica, quindi $\mathcal P_x(f)$ dice come la potenza si distribuisce sulle frequenze;
• la potenza in una banda $\mathcal B$ è $\int_{\mathcal B}\mathcal P_x(f)\,df$.

Esempi.

Una riga $\delta(f)$ nella PSD rappresenta una componente continua (media non nulla): per esempio $\mathcal P(f)=\frac{A_1}B\operatorname{rect}\left(\frac f{2B}\right)+A_2\delta(f)$ ha potenza $\frac{A_1}B\cdot2B+A_2=2A_1+A_2$.

Rumore bianco. Un processo con $r(\tau)=\frac{N_0}2\delta(\tau)$ ha lo stesso valore di PSD a tutte le frequenze (come la luce bianca) e valori in istanti distinti scorrelati: $E[w(t)w(u)]=0$ per $t\ne u$. Non è fisicamente realizzabile (potenza infinita), ma descrive bene il rumore termico nella banda di interesse (Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →). Su una banda $B$ (da $-B$ a $B$) la potenza è $\frac{N_0}2\cdot2B=N_0B$, è per questo che la densità bilatera si scrive $\frac{N_0}2$.

Filtraggio di un processo

Se un processo WSS $x(t)$ entra in un sistema LTI con risposta impulsiva $g(t)$ e risposta in frequenza $G(f)$ (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →), l'uscita $y=x*g$ è ancora WSS e vale:

$$\boxed{m_y=m_x\int g(t)\,dt=m_x\,G(0),\qquad \mathcal P_y(f)=\mathcal P_x(f)\,\lvert G(f)\rvert^2.}$$

La media è moltiplicata per il guadagno in continua; la PSD per il guadagno in potenza $\lvert G\rvert^2$ a ogni frequenza. La potenza in uscita è $M_y=\int\mathcal P_x\lvert G\rvert^2df$. Se l'ingresso è gaussiano, l'uscita è un processo gaussiano (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →): una operazione lineare (integrale) su gaussiane dà gaussiane. È la ragione per cui il rumore termico, filtrato dal ricevitore, resta gaussianoi suoi campioni hanno distribuzione normale.

Esempio svolto (foglio di esercizi sui processi). $x(t)$ è WSS gaussiano a media nulla con $r_x(\tau)=A_x\operatorname{sinc}\left(\frac\tau{T_x}\right)$, $A_x=2$ V², $T_x=2\ \mu$s. Entra in un filtro con $h(t)=\frac{A_h}{T_h}\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_h}\right)$, $A_h=0{,}5$, $T_h=2{,}5\ \mu$s. Si chiedono: guadagno in banda passante, media e varianza di $y$, $P[y>10\ \text{V}]$.

1. Per lo scalamento $H(f)=A_h\operatorname{rect}(T_hf)$: passa-basso ideale con $H(0)=A_h=0{,}5$, cioè $20\log_{10}0{,}5=-6{,}02$ dB. La banda ha larghezza $\frac1{T_h}=400$ kHz.
2. L'uscita è WSS e gaussiana. $m_y=m_xH(0)=0$, quindi $\sigma_y^2=M_y$.
3. $\mathcal P_x(f)=A_xT_x\operatorname{rect}(T_xf)$ (larghezza $\frac1{T_x}=500$ kHz) e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\cdot A_h^2\operatorname{rect}^2(T_hf)=A_xA_h^2T_x\operatorname{rect}(T_hf)$, perché il filtro (400 kHz) è più stretto del segnale (500 kHz). Integrando: $\sigma_y^2=A_xA_h^2T_x\cdot\frac1{T_h}=2\cdot0{,}25\cdot\frac{2}{2{,}5}=0{,}4$ V².
4. $P[y>10]=Q\left(\frac{10}{\sqrt{0{,}4}}\right)=Q(15{,}8)\approx0$.

Altro esempio (Esercizio 10 · processo gaussiano filtrato e quantizzatore a 1024 livelli (tema d'esame degli anni precedenti)): lo stesso metodo con un filtro $H(f)=\frac{\lvert f\rvert}{f_h}$ dà una varianza in uscita di $\frac23K_x\frac{f_h}{f_x}$.

Potenza statistica e potenza elettrica

La potenza statistica $M$ (V²) non è la potenza elettrica in watt. Su un'impedenza $Z$ con parte reale $R$ la densità di potenza elettrica è $p(f)=\mathcal P(f)\frac{R}{\lvert Z\rvert^2}$; per un carico puramente resistivo $P_{el}=\frac MR$ (Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →). Per esempio una potenza statistica di $6$ V² su $R=10\ \Omega$ equivale a $0{,}6$ W $=600$ mW.

Errori comuni

• Dimenticare di moltiplicare la PSD per il quadrato del modulo della risposta in frequenza (non per il modulo).
• Usare $G(0)$ per la PSD: $G(0)$ serve solo per la media.
• Trascurare che il passa-basso ideale ha banda $\frac1{T_h}$ larga (da $-\frac1{2T_h}$ a $\frac1{2T_h}$) quando si fa il confronto con la banda del segnale.
• Scrivere $\mathcal P(f)=N_0$ per il rumore biancorumore con densità spettrale costante a tutte le frequenze e valori scorrelati in istanti diversi con densità bilatera: è $\frac{N_0}2$.