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Note per Studenti Esercizio 34 · segnali audio e video in PCM e probabilità d'errore massima sul canale (esercizio del corso)

Esercizio 34segnali audio e video in PCM e probabilità d'errore massima sul canale (esercizio del corso)

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Testo (eserciziario di un corso UniPD equivalente). Un sistema di distribuzione digitale di segnale per sale cinematografiche trasporta un segnale video a tre colori, ciascuno con frequenza di campionamento 2020 MHz, e quattro segnali audio, ciascuno con frequenza di campionamento 3030 kHz. I due tipi di segnale sono prima quantizzati e poi inviati insieme su un unico canale binario. Per la riproduzione dei segnali si richiede di garantire un rapporto segnale/rumore di almeno 5050 dB per i segnali video e di almeno 9292 dB per i segnali audio. Calcolare:

  1. (3p) Il numero minimo di bit di quantizzazione richiesti per ciascun segnale video e audio (modellati con distribuzione uniforme).
  2. (3p) Il bit-rate (in bit/s) richiesto in trasmissione per ciascun tipo di segnale.
  3. (4p) La massima probabilità d'errore nel canale binario per garantire in ricezione i rapporti segnale/rumore richiesti (suggerimento: determinare la condizione più restrittiva tra i due segnali binari trasmessi).

Teoria usata: Trasmissione di segnali analogici per via digitale - SNR con errori sul canaleTrasmettere un segnale analogico in forma digitale (PCM) introduce due errori: la quantizzazione ($\Lambda_q\approx4^b$ per un segnale uniforme a fondo scala) e gli errori sui bit del canale. Con codice binario naturale e $P_{bit}$ piccola il flip del bit di peso $2^i\Delta$ produce un errore $\pm2^i\Delta$: la potenza dell'errore di canale è $P_{bit}\Delta^2\frac{4^b-1}3$ e l'SNR totale è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}(4^b-1)}$. Si ha quindi una soglia: finché $4P_{bit}4^b\ll1$ vale la quantizzazione ($6$ dB/bit), oltre domina il canale e più bit non servono. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima.Trasmissione di segnali analogici per via digitale - SNR con errori sul canale →, SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →, Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →.

(1) Bit di quantizzazione

Segnale a distribuzione uniforme su [−Vsat,Vsat][-V_{sat},V_{sat}]: non satura mai e Λq=L2\Lambda_q=L^2, cioè [Λq]dB=6,02 b[\Lambda_q]_{dB}=6{,}02\,b (Esercizio 9 · conversione A-D di un segnale uniforme e SNR di riferimento per la 64-QAM (tema d'esame degli anni precedenti)). Quindi b=⌈[Λ]dB6,02⌉:bvideo=⌈506,02⌉=⌈8,31⌉=9,baudio=⌈926,02⌉=⌈15,28⌉=16.b=\left\lceil\frac{[\Lambda]_{dB}}{6{,}02}\right\rceil:\qquad b_{video}=\left\lceil\frac{50}{6{,}02}\right\rceil=\lceil8{,}31\rceil=9,\qquad b_{audio}=\left\lceil\frac{92}{6{,}02}\right\rceil=\lceil15{,}28\rceil=16. Con questi bit gli SNR di sola quantizzazione sono 54,254{,}2 dB (video) e 96,396{,}3 dB (audio).

(2) Bit-rate

  • Video (tre componenti di colore a 2020 MHz, 99 bit): Rvideo=3⋅20⋅106⋅9=540 Mbit/sR_{video}=3\cdot20\cdot10^6\cdot9=540\ \text{Mbit/s} (180180 Mbit/s per colore).
  • Audio (quattro segnali a 3030 kHz, 1616 bit): Raudio=4⋅30⋅103⋅16=1,92 Mbit/sR_{audio}=4\cdot30\cdot10^3\cdot16=1{,}92\ \text{Mbit/s} (480480 kbit/s per segnale).

Totale sul canale binario: 541,92541{,}92 Mbit/s.

(3) Probabilità d'errore massima

Gli errori sui bit del canale si sommano alla quantizzazione: con codice binario naturale ΛPCM=4b1+4Pbit(4b−1) ⟹ Pbit≤4b−Λ4Λ(4b−1).\Lambda_{PCM}=\frac{4^b}{1+4P_{bit}(4^b-1)}\ \Longrightarrow\ P_{bit}\le\frac{4^b-\Lambda}{4\Lambda\left(4^b-1\right)}.

  • Video: Λ=105\Lambda=10^5, b=9b=9 (49=262 1444^9=262\,144): Pbit≤262 144−1054⋅105⋅262 143=1,55⋅10−6P_{bit}\le\frac{262\,144-10^5}{4\cdot10^5\cdot262\,143}=1{,}55\cdot10^{-6}.
  • Audio: Λ=109,2=1,585⋅109\Lambda=10^{9{,}2}=1{,}585\cdot10^9, b=16b=16 (416=4,295⋅1094^{16}=4{,}295\cdot10^9): Pbit≤4,295⋅109−1,585⋅1094⋅1,585⋅109⋅4,295⋅109=9,95⋅10−11P_{bit}\le\frac{4{,}295\cdot10^9-1{,}585\cdot10^9}{4\cdot1{,}585\cdot10^9\cdot4{,}295\cdot10^9}=9{,}95\cdot10^{-11}.

I due segnali condividono lo stesso canale e quindi la stessa PbitP_{bit}: vale la condizione più restrittiva, Pbit,max=9,95⋅10−11 (imposta dall’audio).P_{bit,max}=9{,}95\cdot10^{-11}\ (\text{imposta dall'audio}). Con questa probabilità l'SNR del video sarebbe oltre 5454 dB; viceversa, se il canale avesse Pbit=1,55⋅10−6P_{bit}=1{,}55\cdot10^{-6} (limite del video) l'audio scenderebbe a ΛPCM=4161+4⋅1,55⋅10−6(416−1)=52,1\Lambda_{PCM}=\frac{4^{16}}{1+4\cdot1{,}55\cdot10^{-6}(4^{16}-1)}=52{,}1 dB, molto sotto i 9292 dB richiesti.

(Verificato con Python: b=9b=9 e 1616; 540540 Mbit/s e 1,921{,}92 Mbit/s; Pbit=1,546⋅10−6P_{bit}=1{,}546\cdot10^{-6} e 9,953⋅10−119{,}953\cdot10^{-11}; la soluzione a mano dell'eserciziario scrive 6,68⋅10−116{,}68\cdot10^{-11} per l'audio, usando 2⋅1092\cdot10^9 al posto di 109,2=1,585⋅10910^{9{,}2}=1{,}585\cdot10^9.)

Errori comuni

  • Arrotondare i bit per difetto (88 e 1515): con 88 bit il video avrebbe 48,248{,}2 dB <50<50 dB.
  • Moltiplicare il bit-rate per un solo segnale: video ha 33 componenti, audio 44.
  • Sommare gli SNR di quantizzazione e di canale in dB: si sommano le potenze degli errori.
  • Usare Pbit=1,55⋅10−6P_{bit}=1{,}55\cdot10^{-6} (video) per tutto: l'audio, con più bit, richiede un canale molto migliore.

Versione ripasso

Testo. Video a 33 colori (2020 MHz) e 44 audio (3030 kHz) uniformi, PCM su un solo canale binario; SNR ≥50\ge50 dB (video) e ≥92\ge92 dB (audio): bit, bit-rate, PbitP_{bit} massima.

Teoria collegata