Formulario - fondamenti di comunicazioni

All'esame si può portare un foglio A4 di formule scritto da sé. Le formule sono inutili se non si sa sotto quali ipotesi valgono (Domande di teoria ricorrentiNei temi d'esame le domande "di teoria" sono sotto-domande di un esercizio (2-3 punti) che chiedono di motivare una scelta: la frequenza di campionamento, l'esistenza di un codice, il quantizzatore adatto a un segnale unipolare, il criterio di decisione ottimo, l'effetto di un disturbo ortogonale, se conviene più potenza o un amplificatore. Qui ci sono le quindici domande ricorrenti con la risposta in poche righe e il rimando alla nota.Domande di teoria ricorrenti →): ogni blocco rimanda alla nota con le condizioni. Costanti: $k=1{,}38\cdot10^{-23}$ J/K, $T_0=290$ K, $c=3\cdot10^8$ m/s, $kT_0=-174$ dBm/Hz.

Decibel e probabilità (Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm →, Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioniUna variabile aleatoria è descritta da una PMD (discreta) o da una PDF (continua) e dalla funzione di ripartizione; per la gaussiana $P[x>a]=Q\left(\frac{a-m}{\sigma}\right)$ con la funzione coda $Q$. Media $m_x$, varianza $\sigma_x^2$ e potenza statistica $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$. Per un vettore aleatorio contano l'indipendenza, le probabilità condizionate (totali e di Bayes) e la correlazione; combinazioni lineari di gaussiane sono gaussiane, e gaussiane scorrelate sono indipendenti.Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioni →)

• $[x]_{dB}=10\log_{10}x$ (potenze), $20\log_{10}$ (ampiezze); $P_{dBm}=P_{dBW}+30$; $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\to\times10$.
• $x\sim\mathcal N(m,\sigma^2)$: $P[x>c]=Q\left(\frac{c-m}\sigma\right)$; $P[\lvert x\rvert>a]=2Q\left(\frac a\sigma\right)$ ($m=0$); $Q(-a)=1-Q(a)$. $Q(1)=0{,}159$, $Q(2)=0{,}0228$, $Q(3)=1{,}35\cdot10^{-3}$, $Q^{-1}(10^{-3})=3{,}09$, $Q^{-1}(10^{-4})=3{,}72$, $Q^{-1}(10^{-5})=4{,}27$, $Q^{-1}(10^{-6})=4{,}75$.
• $M_x=\sigma^2+m^2$; $\mathcal U[A,B]$: $\frac{(B-A)^2}{12}$; $\operatorname{Exp}(\lambda)$: $P[x>a]=e^{-\lambda a}$, $\sigma^2=\frac1{\lambda^2}$, $M=\frac2{\lambda^2}$; laplaciana: $\sigma^2=2b^2$, $P[\lvert x\rvert>a]=e^{-a/b}$.
• Processi (Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →): $\mathcal P_x=\mathcal F[r_x]$, $M_x=\int\mathcal P_x$; filtro: $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert G\rvert^2$, $m_y=m_xG(0)$; rumore bianco $\frac{N_0}2$, potenza in banda $N_0B$.
• Segnali (Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenzaRipasso dei segnali per le comunicazioni. Un segnale ha un'energia $E=\int|s|^2dt$ e, se questa è infinita, una potenza media; il teorema di Parseval la riscrive in frequenza con la densità di energia $|S(f)|^2$. Un segnale a durata finita ha banda infinita, quindi si definisce una banda pratica (primo zero, ampiezza, energia). Un sistema LTI non distorce se nella banda del segnale ha $H(f)=A_0e^{-j2\pi ft_0}$. La modulazione moltiplica per una portante e trasla lo spettro.Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenza →): $E=\int\lvert s\rvert^2=\int\lvert S\rvert^2df$; $\operatorname{rect}\frac tT\leftrightarrow T\operatorname{sinc}(fT)$; $s\cos2\pi f_0t\leftrightarrow\frac12[S(f\mp f_0)]$; Heaviside: $H=A_0e^{-j2\pi ft_0}$ in banda.

Conversione A/D e quantizzazione (Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →, Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori →, SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →)

• $F_s\ge2B$; $R_b=bF_s$; $T_b=\frac{T_s}b$.
• $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$ ($[0,V_{sat}]$: $\frac{V_{sat}}L$), $L=2^b$; mid-riser: livelli $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$, soglie $k\Delta$.
• $P_{sat}$: gaussiano $2Q\left(\frac{V_{sat}}\sigma\right)$; esponenziale $e^{-\lambda V_{sat}}$; laplaciana $e^{-V_{sat}/b}$. Errore granulare $\frac{\Delta^2}{12}$.
• $\Lambda_q=\frac{M_a}{\Delta^2/12}$; $[\Lambda_q]_{dB}=6{,}02\,b+4{,}77+20\log_{10}\frac\sigma{V_{sat}}$ ($+6$ dB per bit).

Informazione e codifica (Informazione ed entropiaL'informazione di un evento di probabilità $p$ è $\log_2\frac1p$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza della sorgente: $0\le H\le\log_2M$, con il massimo quando i simboli sono equiprobabili. Per più simboli: $H(x,y)\le H(x)+H(y)$ (uguaglianza se indipendenti), $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$. Per una sorgente con $F_s$ simboli al secondo il rate di informazione è $F_sH_s$, il rate nominale $F_s\log_2M$ e l'efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione ed entropia →, Codifica di sorgente - codici a prefisso e teorema di ShannonLa codifica di sorgente riduce il numero di bit mappando le parole della sorgente in parole di lunghezza variabile (più corte per le più probabili), senza perdere informazione. Il codice deve essere decodificabile; i codici a prefisso (nessuna parola è prefisso di un'altra) lo sono. Kraft-McMillan: se il codice è decodificabile $\sum M_y^{-L(b)}\le1$. Teorema di Shannon: $L_y\ge\frac{H(x)}{\log_2M_y}$ e esiste un codice a prefisso con $L_y\le\frac{H(x)}{\log_2M_y}+1$; l'efficienza è $\eta=\frac{H(x)}{L_y\log_2M_y}$.Codifica di sorgente - codici a prefisso e teorema di Shannon →, Codici di Shannon-Fano e di HuffmanIn un codice ottimo le parole più probabili non sono più lunghe di quelle meno probabili e le due parole più lunghe differiscono solo per l'ultimo simbolo. Shannon-Fano costruisce l'albero dall'alto dividendo ripetutamente i simboli in due gruppi di probabilità quasi uguali; Huffman lo costruisce dal basso unendo ogni volta i due simboli meno probabili ed è sempre ottimo tra i codici a prefisso. La lunghezza media $L_y$ è la somma delle probabilità dei nodi uniti, l'efficienza è $\eta=\frac{H}{L_y}$.Codici di Shannon-Fano e di Huffman →)

• $i=\log_2\frac1P$; $H=\sum P\log_2\frac1P\le\log_2M$ (uguale se equiprobabili); $H(x,y)\le H(x)+H(y)$; $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$.
• $R=F_sH_s$; nominale $F_s\log_2M$; $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.
• Kraft-McMillan: decodificabile $\Rightarrow\sum M_y^{-L(b)}\le1$. Shannon: $L_y\ge\frac{H}{\log_2M_y}$, esiste prefisso con $L_y\le\frac{H}{\log_2M_y}+1$; $\eta=\frac{H}{L_y\log_2M_y}$.
• Huffman: unire i due meno probabili; $L_y=$ somma dei nodi interni.

Mezzi, rumore e link budget (Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →, Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →)

• Adattamento: $Z_L=Z_S^*$; $p_L=\mathcal P_v\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$; rumore $\mathcal P_w=2kTR_S$, adattato $\frac12kT$; $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$, $a=\frac1g$.
• $T_{eff}=T_S+T_A$; $F=1+\frac{T_A}{T_0}$; $T_A=T_0(F-1)$; passivo: $F=a$. Cascata: $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$.
• $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B\,a_{ch}}$; $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$.
• Cavo: $a=\tilde ad_{km}$, $\tilde a(f)=\tilde a(f_1)\sqrt{f/f_1}$. Friis: $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$; $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$; $\Phi_0=\frac{P_{tx}}{4\pi d^2}$.

Spazio dei segnali e decisione (Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali →, Il rumore AWGN nello spazio dei segnaliIl ricevitore vede solo la componente del rumore nello spazio dei segnali: $w_i=\langle w,\phi_i\rangle$. Per un rumore bianco gaussiano le $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate (quindi indipendenti) e con la stessa varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, qualunque sia la base ortonormale. Il vettore ricevuto $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ ha densità condizionata $p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)=\left(\pi N_0\right)^{-I/2}e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2/N_0}$: il rumore sposta il punto trasmesso in modo circolare.Il rumore AWGN nello spazio dei segnali →, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →, Ricevitore a correlatori e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza proietta $r(t)$ sulla base, $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=\int r\phi_i^dt$, e sceglie il punto $\mathbf s_m$ più vicino. Ogni proiezione è un filtro con risposta impulsiva $g_i(t)=\phi_i^(t_0-t)$ (filtro adattato) campionato in $t_0$, la durata dell'impulso. Alternativa: $\hat m=\arg\max_m\left{\operatorname{Re}\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right}$, con $M$ filtri adattati ai segnali: conviene la prima se $M\gg I$, la seconda se $M\approx I$ (non serve calcolare la base).Ricevitore a correlatori e filtro adattato →)

• $\langle x,y\rangle=\int xy^*$; $\lVert x\rVert^2=E_x$; $s_{m,i}=\langle s_m,\phi_i\rangle$; $E_m=\lVert\mathbf s_m\rVert^2$; $d_{m,n}=\lVert\mathbf s_m-\mathbf s_n\rVert$. Gram-Schmidt: $c=\langle s_2,\phi_1\rangle$, $\phi_2=\frac{s_2-c\phi_1}{\sqrt{E_{s_2}-c^2}}$.
• Rumore: $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ per dimensione, componenti indipendenti. $T=T_b\log_2M$; $R=\frac{R_b}{\log_2M}$.
• MAP: $\max P_mp_{\mathbf r|m}$; ML: $\max p_{\mathbf r|m}$; MD: $\min\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert$ (ottimo se AWGN ed equiprobabili). Soglia 1D: $\rho^*=\frac{s_i+s_j}2+\sigma_I^2\frac{\ln(P_i/P_j)}{s_j-s_i}$.
• Ricevitore: filtro adattato $g_i(t)=\phi_i^*(t_0-t)$; $\hat b=\arg\max\left\{\operatorname{Re}\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right\}$. No ISI: $\langle\phi_i,\phi_j(t-kT)\rangle=0$.

Probabilità di errore (Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di erroreDue segnali $s_1,s_2$ hanno costellazione $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\rho\sqrt{E_2},\sqrt{E_2(1-\rho^2)})$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]$ e distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$. Con AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$. A parità di energia $E_s$ il minimo errore si ha per $\rho=-1$ (antipodale: $Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right)$); per $\rho=0$ (ortogonale) $Q\left(\sqrt{E_s/N_0}\right)$, 3 dB peggio.Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore →, Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonaliCon $M>2$ segnali la probabilità di errore esatta non si trova in forma chiusa, ma si limita con la distanza minima: $\frac{N^}{M}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ ($N^$ = numero di punti con almeno un vicino a $d_{min}$). L'upper bound è molto vicino al valore vero ad SNR alto. Per $M$ segnali ortogonali $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e la dimensione è $M$; per i biortogonali (un segnale opposto più $M-2$ ortogonali) la dimensione è $\frac M2$.Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali →, PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →, PSK - modulazione di faseNella PSK l'informazione sta solo nella fase della portante: $s_m(t)=h(t)\cos(2\pi f_0t+\varphi_m)$ con $\varphi_m=\frac\pi M(2m-1)$. I punti stanno su una circonferenza di raggio $\sqrt{E_s}$ (tutti con la stessa energia $E_s=\frac{E_h}2$), con $d_{min}=2\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M$. $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$ per $M>2$; con Gray $P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\Gamma}\sin\frac\pi M\right)$, $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$. Per $M=2$ è l'antipodale (BPSK), per $M=4$ coincide con la 4-QAM.PSK - modulazione di fase →, Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →)

• Binaria: $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$, $d=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$, $P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$; antipodale $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, ortogonale $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$, OOK $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$.
• $M$-aria: $\frac{N^*}MQ\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$.
• Gray: $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$; $M=2$: $P_{bit}=P[E]$.
• PAM: $\alpha_m=2m-1-M$, $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)$, $B_{min}=\frac1{2T}$, $\Gamma=\frac{2E_s}{N_0}$.
• QAM ($M=L^2$): $\mathbf s=\sqrt{\frac{E_h}2}[\alpha_I,\alpha_Q]$, $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$, $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right)$, $B_{min}=\frac1T$, $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$.
• PSK: $\varphi_m=\frac\pi M(2m-1)$, $E_s=\frac{E_h}2$, $d_{min}=2\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{2\Gamma}\sin\frac\pi M\right)$ ($M>2$); BPSK $Q(\sqrt{2\Gamma})$.
• $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0TB_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$; $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}\le\log_2(1+\Gamma)$.
• Ortogonale: $B_{min}=\frac M{2T}$, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$; biortogonale: $B_{min}=\frac M{4T}$.

Codifica di canale, capacità, accesso al mezzo, ARQ, code e PCM (Codifica di canale - codici a blocco, distanza minima, rivelazione e correzioneLa codifica di canale aggiunge ridondanza ai bit per rivelare o correggere gli errori del canale. Un codice a blocco $(n,k)$ trasforma $k$ bit in $n$ bit (rendimento $R_c=\frac kn$). Con la distanza di Hamming minima $d_{min}$ il codice rivela fino a $d_{min}-1$ errori e ne corregge $t=\left\lfloor\frac{d_{min}-1}2\right\rfloor$ (decodifica a minima distanza). Vale il limite di Singleton $d_{min}\le n-k+1$. Su un canale binario simmetrico con errore $p$, la probabilità di parola sbagliata è $P_w\le\sum_{i>t}\binom nip^i(1-p)^{n-i}$ e, con $p$ piccola, $P_{bit}\approx\frac{d_{min}}n\binom n{t+1}p^{t+1}$.Codifica di canale - codici a blocco, distanza minima, rivelazione e correzione →, Codici a blocco lineari - matrice generatrice, controllo di parità, sindrome e codici di HammingUn codice a blocco è lineare se la somma (bit a bit, modulo 2) di due parole di codice è una parola di codice. Si descrive con la matrice generatrice $G$ ($k\times n$, $\mathbf c=\mathbf mG$) e con la matrice di controllo di parità $H$ ($(n-k)\times n$, $G H^T=0$); in forma sistematica $G=[I_k\mid P]$ e $H=[P^T\mid I_{n-k}]$. La distanza minima è il peso minimo delle parole non nulle. La sindrome $\mathbf s=\mathbf rH^T$ dipende solo dall'errore: se è nulla la parola è valida, altrimenti identifica l'errore (un solo errore ha per sindrome la colonna di $H$ corrispondente). I codici di Hamming $(2^m-1,,2^m-1-m)$ hanno $d_{min}=3$.Codici a blocco lineari - matrice generatrice, controllo di parità, sindrome e codici di Hamming →, Capacità di canale - canale binario simmetrico, a cancellazione e AWGNLa capacità $C=\max_{p_x}I(x;y)$ è il massimo di informazione mutua tra ingresso e uscita del canale; per il teorema di Shannon si può comunicare con probabilità d'errore arbitrariamente piccola se e solo se il rate è minore di $C$. Per il canale binario simmetrico $C=1-H_2(p)$ bit per uso (ingresso uniforme), per il canale a cancellazione $C=1-\varepsilon$, per l'AWGN $C=\frac12\log_2(1+\text{SNR})$ per uso reale, cioè $C=B\log_2(1+\text{SNR})$ bit/s su una banda $B$. Il limite $R_b<C$ dà il minimo $\frac{E_b}{N_0}\ge\frac{2^\nu-1}\nu$ ($-1{,}59$ dB per $\nu\to0$).Capacità di canale - canale binario simmetrico, a cancellazione e AWGN →, Metodi di accesso al mezzo - FDMA, TDMA, ALOHA e CSMAQuando più nodi condividono un mezzo serve un protocollo di accesso (MAC). Accesso deterministico: FDMA (una banda per utente) e TDMA (uno slot per utente in una trama): nessuna collisione, a ogni utente $\frac{R_b}N$ meno le perdite di sincronismo. Accesso aleatorio: ALOHA puro ($S=Ge^{-2G}$, massimo $\frac1{2e}=0{,}184$ in $G=0{,}5$), slotted ALOHA ($S=Ge^{-G}$, massimo $\frac1e=0{,}368$ in $G=1$), CSMA (si ascolta prima di trasmettere: nel non persistente $S=\frac{Ge^{-aG}}{G(1+2a)+e^{-aG}}$, con $a=\frac{\tau_P}{t_P}$ piccolo si arriva a $\approx0{,}8$-$0{,}9$).Metodi di accesso al mezzo - FDMA, TDMA, ALOHA e CSMA →, Tecniche ARQ - stop-and-wait, go-back-N e selective repeatL'ARQ (automatic repeat request) usa un codice che rivela gli errori e fa ritrasmettere i pacchetti sbagliati, con conferme ACK/NACK. Con $p=1-(1-P_{bit})^L$ la probabilità che un pacchetto sia errato, $t_P$ il tempo di pacchetto, $t_A$ quello dell'ACK e $\tau_P$ il ritardo di propagazione: stop-and-wait $S=\frac{t_P(1-p)}{t_P+t_A+2\tau_P}$; go-back-N $S=\frac{(1-p),t_P}{1+(N-1)p}$ con $N-1=\left\lceil\frac{2\tau_P}{t_P+t_A}\right\rceil$; selective repeat $S=(1-p)\frac{t_P}{t_P+t_A}$. Il numero medio di trasmissioni di un pacchetto è $\frac1{1-p}$.Tecniche ARQ - stop-and-wait, go-back-N e selective repeat →, Sistemi a coda - processo di Poisson, M/M/1 e formula di LittleUn sistema a coda ha arrivi (di pacchetti, file) e un servitore (il collegamento). Con arrivi di Poisson di intensità $\lambda$ e tempi di servizio esponenziali di media $\frac1\mu$ (coda M/M/1) e $\rho=\frac\lambda\mu<1$: $P[N=n]=(1-\rho)\rho^n$, numero medio nel sistema $\bar N=\frac\rho{1-\rho}$, tempo medio di permanenza $\bar W=\frac1{\mu-\lambda}$, attesa in coda $\bar W_q=\frac\rho{\mu-\lambda}$. La formula di Little $\bar N=\lambda\bar W$ vale in generale. Con buffer finito (M/M/1/K) i pacchetti sono persi con $P_K=\frac{(1-\rho)\rho^K}{1-\rho^{K+1}}$.Sistemi a coda - processo di Poisson, M/M/1 e formula di Little →, Trasmissione di segnali analogici per via digitale - SNR con errori sul canaleTrasmettere un segnale analogico in forma digitale (PCM) introduce due errori: la quantizzazione ($\Lambda_q\approx4^b$ per un segnale uniforme a fondo scala) e gli errori sui bit del canale. Con codice binario naturale e $P_{bit}$ piccola il flip del bit di peso $2^i\Delta$ produce un errore $\pm2^i\Delta$: la potenza dell'errore di canale è $P_{bit}\Delta^2\frac{4^b-1}3$ e l'SNR totale è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}(4^b-1)}$. Si ha quindi una soglia: finché $4P_{bit}4^b\ll1$ vale la quantizzazione ($6$ dB/bit), oltre domina il canale e più bit non servono. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima.Trasmissione di segnali analogici per via digitale - SNR con errori sul canale →)

• Codice $(n,k)$: $R_c=\frac kn$; rivela $d_{min}-1$, corregge $t=\left\lfloor\frac{d_{min}-1}2\right\rfloor$ ($d_{min}\ge2t+1$); Singleton $d_{min}\le n-k+1$; Hamming $2^{n-k}\ge\sum_{i\le t}\binom ni$. BSC: $P_w\approx\binom n{t+1}p^{t+1}$, $P_{bit}\approx\frac{d_{min}}n\binom n{t+1}p^{t+1}$.
• Lineari: $\mathbf c=\mathbf mG$, $G=[I\mid P]$, $H=[P^T\mid I]$, sindrome $\mathbf s=\mathbf rH^T=\mathbf eH^T$; $d_{min}=$ peso minimo; Hamming $(2^m-1,2^m-1-m,3)$.
• Capacità: BSC $1-H_2(p)$; cancellazione $1-\varepsilon$; AWGN $\frac12\log_2(1+\text{SNR})$ per uso, $B\log_2(1+\text{SNR})$ bit/s; $\frac{E_b}{N_0}>\frac{2^\nu-1}\nu$ ($-1{,}59$ dB).
• Accesso: TDMA $\frac{R_b}N\eta$; ALOHA puro $S=Ge^{-2G}$ (max $0{,}184$); slotted $S=Ge^{-G}$ (max $\frac1e$); CSMA non persistente $\frac{Ge^{-aG}}{G(1+2a)+e^{-aG}}$.
• ARQ: $p=1-(1-P_{bit})^L$; SW $\frac{t_P(1-p)}{t_P+t_A+2\tau_P}$; GBN $\frac{(1-p)t_P}{[1+(N-1)p](t_P+t_A)}$, $N-1=\left\lceil\frac{2\tau_P}{t_P+t_A}\right\rceil$; SR $(1-p)\frac{t_P}{t_P+t_A}$.
• M/M/1: $\rho=\frac\lambda\mu$, $\bar N=\frac\rho{1-\rho}$, $\bar W=\frac1{\mu-\lambda}$, Little $\bar N=\lambda\bar W$; M/M/1/K: $P_K=\frac{(1-\rho)\rho^K}{1-\rho^{K+1}}$.
• PCM con errori sul canale: $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}(4^b-1)}$.