Progetto di un collegamento - link budget e modulazione

Questa nota mette in sequenza i pezzi dei capitoli precedenti (Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →) nella procedura che si usa quasi in ogni esame (esercizio 2: collegamento radio con QAM).

Procedura

Dati tipici: banda $B$, frequenza portante $f_0$ (o un cavo con attenuazione specifica), potenza $P_{tx}$, guadagni delle antenne $G_{tx}$, $G_{rx}$, figura di rumore $F$ (con temperatura di riferimento $T_0=290$ K), probabilità di errore richiesta.

1. Attenuazione.

• Radio: $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ (dB). Se è data l'attenuazione massima tollerata $a_{max}$, la distanza massima si ricava invertendo: $20\log_{10}d_{km}=a_{max}-32{,}4-20\log_{10}f_{MHz}+G_{tx}+G_{rx}$.
• Cavo: $a_{ch}=\tilde a\cdot d_{km}$ (con $\tilde a$ in dB/km, al più riscalato con $\sqrt f$).

2. SNR di riferimento: $$\Gamma_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz},\qquad B=B_{min}.$$ Si usa per $B$ la banda del segnale assegnata dal testo (uguale a $B_{min}=\frac1T$ per una modulazione passa-banda come QAM e PSK).
3. Cardinalità massima: si calcola $P(M,\Gamma)$ per $M=4,16,64,256,1024,\dots$ con le formule di QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura → (o PSK) e si sceglie il $M$ più grande tale che $P\le P_{target}$. Il testo dice se la probabilità è sul simbolo ($P[E]\approx4(1-\frac1{\sqrt M})Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right)$) o sul bit ($P_{bit}=\frac{P[E]}{\log_2M}$): non sono la stessa condizione. Il rate è $R_b=\log_2M\cdot B_{min}$.
4. Potenza minima per una modulazione fissata (per esempio $M=4$, $P_{bit}\le P_{target}$): si inverte $P(\Gamma)$.

• 4-QAM: $P_{bit}=Q\left(\sqrt\Gamma\right)\Rightarrow\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}(P_{target})\right]^2$ (in dB $20\log_{10}Q^{-1}(P_{target})$). Per il simbolo, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt\Gamma\right)\Rightarrow\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}\left(\frac{P_{target}}2\right)\right]^2$.
• poi la potenza trasmessa minima: $P_{tx,dBm}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F_{dB}+10\log_{10}B_{MHz}$ (si risolve la formula del punto 2 rispetto a $P_{tx}$).

5. Variazioni: raddoppiare $P_{tx}$ aggiunge $3$ dB a $\Gamma$; un amplificatore in ricezione cambia la figura di rumore totale (Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →); raddoppiare la distanza in spazio libero toglie $6$ dB; passare da una banda $B$ a $2B$ toglie $3$ dB.

Esempio completo (tema d'esame gennaio 2025)

Una radio locale trasmette con $P_{tx}=10$ mW $=10$ dBm in banda $B=60$ kHz intorno a $f_0=90$ MHz, con $M$-QAM. Guadagno in trasmissione $G_{tx}=5$ dB, attenuazione massima tollerata $90$ dB, ricevitore con $G_{rx}=0$ dB, $F=17$ dB, $T_0=290$ K (Esercizio 11 · radio locale in M-QAM, distanza, SNR, cardinalità e potenza minima (temi d'esame gennaio e agosto 2025)).

1. Distanza massima: $20\log_{10}d_{km}=90-32{,}4-39{,}08+5=23{,}52\Rightarrow d_{km}=15{,}0$ km ($20\log_{10}90=39{,}08$).
2. SNR: $B_{MHz}=0{,}06$, $10\log_{10}0{,}06=-12{,}22$: $\Gamma=10-90+114-17+12{,}22=29{,}2$ dB $(\approx830)$.
3. Cardinalità (probabilità sul bit $\le10^{-3}$): con $\Gamma=830$

Sul bit il massimo è $M=256$ ($4\cdot10^{-4}\le10^{-3}$, $R_b=8\cdot60$ kHz $=480$ kbit/s); se il vincolo fosse sul simbolo ($P[E]\le10^{-3}$) servirebbe $M=64$ (la 256-QAM ha $3{,}2\cdot10^{-3}$). 4. Potenza minima per $M=4$, $P_{bit}\le10^{-3}$: $Q^{-1}(10^{-3})=3{,}09$, $\Gamma_{min}=3{,}09^2=9{,}55\to9{,}80$ dB. $P_{tx,min}=9{,}80+90-114+17-12{,}22=-9{,}4$ dBm $=0{,}11$ mW (sul simbolo: $\Gamma_{min}=10{,}35$ dB, $-8{,}9$ dBm).

Con la stessa procedura e dati diversi (tema d'esame agosto 2025: $P_{tx}=100$ mW, attenuazione massima $92$ dB): $d=18{,}9$ km, $\Gamma=37{,}2$ dB, la 1024-QAM ha $P_{bit}=1{,}6\cdot10^{-5}$ e la 4096-QAM $8{,}1\cdot10^{-3}$ (oltre il vincolo $3\cdot10^{-3}$): $M=1024$.

Radio o cavo?

Il confronto si fa sull'attenuazione ($a_{ch}$ minore è meglio) e sul costo: per $10$ km con $5$ dB/km il cavo attenua $50$ dB, la radio a $90$ MHz con guadagni $5+1$ dB attenua $85{,}5$ dB, quindi il cavo ha $35$ dB in più di marginedifferenza in dB tra l'SNR disponibile e quello richiesto. Un collegamento radio ha altri vantaggi (mobilità, broadcast) e svantaggi (rumore, interferenze).

Errori comuni

• Confondere $P_{bit}$ e $P[E]$ (e dimenticare quale delle due il testo impone).
• Usare $B$ in kHz o Hz nella formula con $10\log_{10}B_{MHz}$ (il termine è positivo, $+12{,}2$ dB, se $B<1$ MHz).
• Usare il guadagno dell'antenna ricevente nella $P_{tx}$ invece che nell'attenuazione (i guadagni riducono $a_{ch}$).
• Scegliere $M$ non potenza di 4 per la QAM quadrata (le formule valgono per $M=L^2$).
• Risolvere "potenza minima" senza invertire la $Q$: serve $\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}(P)\right]^2$ per la 4-QAM.