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Note per Studenti Esercizio 11 · radio locale in M-QAM, distanza, SNR, cardinalità e potenza minima (temi d'esame gennaio e agosto 2025)

Esercizio 11radio locale in M-QAM, distanza, SNR, cardinalità e potenza minima (temi d'esame gennaio e agosto 2025)

Esame
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Testo (temi d'esame gennaio 2025 e agosto 2025, esercizio 2). Una radio locale vuole diffondere il proprio segnale s(t)s(t) sfruttando una banda B=60B=60 kHz attorno alla frequenza centrale f0=90f_0=90 MHz, utilizzando una modulazione MM-QAM. Il guadagno in trasmissione è GTx=5G_{Tx}=5 dB e l'attenuazione massima tollerata è:

  • gennaio 2025: potenza trasmessa PTx=10P_{Tx}=10 mW (il testo riporta "10 mV"), attenuazione massima 9090 dB, probabilità di errore (sul bit o sul simbolo, il testo è dubbioso) al più 10−310^{-3};
  • agosto 2025: PTx=0,1P_{Tx}=0{,}1 W, attenuazione massima 9292 dB, probabilità di errore sul bit al più 3⋅10−33\cdot10^{-3} (per la cardinalità massima) e Pbit=10−3P_{bit}=10^{-3} per l'ultimo punto.

Calcolare:

  1. La massima distanza da cui è possibile ricevere il segnale considerando GRx=0G_{Rx}=0 dB.
  2. L'SNR di riferimento all'ingresso del ricevitore, assumendo che il ricevitore abbia figura di rumore F=17F=17 dB e che tutto il sistema sia alla temperatura standard T0=290T_0=290 K.
  3. La maggiore cardinalità MM che garantisce la probabilità di errore richiesta.
  4. La più piccola potenza in trasmissione (in dB, in dBm) della stazione che garantisce una probabilità di errore di al più 10−310^{-3} con M=4M=4.

Teoria usata: Progetto di un collegamento - link budget e modulazioneEsercizio tipico d'esame: dati potenza, guadagni, frequenza e banda, si calcola (1) l'attenuazione (spazio libero o cavo) e quindi la distanza massima, (2) l'SNR di riferimento $\Gamma_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$, (3) la cardinalità massima $M$ della QAM (o PSK) tale che $P\le P_{target}$, (4) la potenza minima per una modulazione fissata invertendo $P(\Gamma)$: $\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}\right]^2$ per la 4-QAM e poi $P_{tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F+10\log_{10}B_{MHz}$.Progetto di un collegamento - link budget e modulazione →, Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →, Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm →.

Gennaio 2025

(1) Distanza massima

L'attenuazione di spazio libero è ach=32,4+20log⁡10dkm+20log⁡10fMHz−GTx−GRxa_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{Tx}-G_{Rx}. Con ach=amax=90a_{ch}=a_{max}=90 dB, 20log⁡1090=39,0820\log_{10}90=39{,}08 dB: 20log⁡10dkm=90−32,4−39,08+5+0=23,52 ⟹ dkm=1023,52/20=15,0 km.20\log_{10}d_{km}=90-32{,}4-39{,}08+5+0=23{,}52\ \Longrightarrow\ d_{km}=10^{23{,}52/20}=15{,}0\ \text{km}.

(2) SNR di riferimento

PTx=10P_{Tx}=10 mW =10=10 dBm; B=60B=60 kHz =0,06=0{,}06 MHz, 10log⁡100,06=−12,2210\log_{10}0{,}06=-12{,}22 dB. Con la formula del link budget (sorgente a T0T_0, quindi la temperatura efficace aggiunge FdBF_{dB}): ΓdB=PTx,dBm−ach+114−FdB−10log⁡10BMHz=10−90+114−17+12,22=29,2 dB (Γ=830).\Gamma_{dB}=P_{Tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}=10-90+114-17+12{,}22=29{,}2\ \text{dB}\ (\Gamma=830). Controllo in lineare: Γ=10−2⋅10−91,38⋅10−23⋅290⋅50,1⋅6⋅104=830\Gamma=\frac{10^{-2}\cdot10^{-9}}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290\cdot50{,}1\cdot6\cdot10^4}=830.

(3) Cardinalità massima

Γ=830\Gamma=830. Per la MM-QAM quadrata (QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →) Pbit≈4log⁡2M(1−1M)Q(3ΓM−1)P_{bit}\approx\frac4{\log_2M}\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right) e P[E]≈4(1−1M)Q(3ΓM−1)P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right):

MM 3ΓM−1\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}} PbitP_{bit} P[E]P[E]
1616 12,912{,}9 1,2⋅10−381{,}2\cdot10^{-38} 4,9⋅10−384{,}9\cdot10^{-38}
6464 6,296{,}29 8,3⋅10−118{,}3\cdot10^{-11} 5,0⋅10−105{,}0\cdot10^{-10}
256256 3,133{,}13 4,0⋅10−44{,}0\cdot10^{-4} 3,2⋅10−33{,}2\cdot10^{-3}
10241024 1,561{,}56 2,3⋅10−22{,}3\cdot10^{-2} 0,230{,}23

Se la condizione è sul bit (Pbit≤10−3P_{bit}\le10^{-3}): il massimo è M=256M=256 (4⋅10−4≤10−34\cdot10^{-4}\le10^{-3}; 10241024-QAM non va), con rate Rb=log⁡2256⋅B=8⋅60=480R_b=\log_2256\cdot B=8\cdot60=480 kbit/s. Se fosse sul simbolo (P[E]≤10−3P[E]\le10^{-3}): M=64M=64 (la 256256-QAM ha 3,2⋅10−33{,}2\cdot10^{-3}).

(4) Potenza minima con M=4M=4

Per la 44-QAM Pbit=Q(Γ)P_{bit}=Q\left(\sqrt\Gamma\right) (formula con M=4M=4: 42⋅12 Q(3Γ3)\frac42\cdot\frac12\,Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{3}}\right)). Imponendo Pbit≤10−3P_{bit}\le10^{-3}: Γ≥Q−1(10−3)=3,09\sqrt\Gamma\ge Q^{-1}(10^{-3})=3{,}09, Γmin=9,55→9,80\Gamma_{min}=9{,}55\to9{,}80 dB. Invertendo il link budget: PTx,min=Γmin+ach−114+FdB+10log⁡10BMHz=9,80+90−114+17−12,22=−9,4 dBm (=−39,4 dBW=0,11 mW).P_{Tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F_{dB}+10\log_{10}B_{MHz}=9{,}80+90-114+17-12{,}22=-9{,}4\ \text{dBm}\ (=-39{,}4\ \text{dBW}=0{,}11\ \text{mW}). Se il vincolo fosse sulla probabilità di errore del simbolo (P[E]≈2Q(Γ)≤10−3P[E]\approx2Q\left(\sqrt\Gamma\right)\le10^{-3}, Γmin=10,35\Gamma_{min}=10{,}35 dB): −8,9-8{,}9 dBm (0,130{,}13 mW).

Agosto 2025

Con PTx=0,1 W=20P_{Tx}=0{,}1\ \text{W}=20 dBm e amax=92a_{max}=92 dB:

  1. 20log⁡10dkm=92−32,4−39,08+5=25,52⇒d=18,920\log_{10}d_{km}=92-32{,}4-39{,}08+5=25{,}52\Rightarrow d=18{,}9 km.
  2. ΓdB=20−92+114−17+12,22=37,2\Gamma_{dB}=20-92+114-17+12{,}22=37{,}2 dB (Γ=5 250\Gamma=5\,250).
  3. Pbit≤3⋅10−3P_{bit}\le3\cdot10^{-3}: M=256M=256: 8,0⋅10−168{,}0\cdot10^{-16}; M=1024M=1024: 1,6⋅10−51{,}6\cdot10^{-5} (≤3⋅10−3\le3\cdot10^{-3}); M=4096M=4096: 8,1⋅10−38{,}1\cdot10^{-3} (no). Quindi M=1024M=1024, Rb=10⋅60=600R_b=10\cdot60=600 kbit/s.
  4. 44-QAM, Pbit=10−3P_{bit}=10^{-3}: Γmin=9,80\Gamma_{min}=9{,}80 dB; PTx,min=9,80+92−114+17−12,22=−7,4P_{Tx,min}=9{,}80+92-114+17-12{,}22=-7{,}4 dBm (0,180{,}18 mW).

(Verificato con Python: d=14,988d=14{,}988 e 18,86918{,}869 km, Γ=29,218\Gamma=29{,}218 e 37,21837{,}218 dB, PbitP_{bit} come in tabella, PTx,min=−9,419P_{Tx,min}=-9{,}419 e −7,419-7{,}419 dBm.)

Errori comuni

  • Usare dBW al posto di dBm nella formula con 114114 (serve PTxP_{Tx} in dBm; con dBW la costante è 144144).
  • Dimenticare che B=60B=60 kHz =0,06=0{,}06 MHz: il termine −10log⁡10BMHz-10\log_{10}B_{MHz} è positivo (+12,2+12{,}2 dB).
  • Confondere probabilità sul bit e sul simbolo nella scelta di MM (256256 contro 6464 nel caso di gennaio).
  • Dimenticare i guadagni delle antenne nell'attenuazione di Friis (e il −5-5 dB di GTxG_{Tx} nel calcolo di dd).

Versione ripasso

Testo. Radio locale MM-QAM, B=60B=60 kHz, f0=90f_0=90 MHz, GTx=5G_{Tx}=5 dB, F=17F=17 dB: distanza massima (GRx=0G_{Rx}=0), SNR di riferimento, MM massima, potenza minima con M=4M=4 (gennaio: 1010 mW, 9090 dB; agosto: 0,10{,}1 W, 9292 dB, 2025).

Teoria collegata