PSK - modulazione di fase

Definizione

Nella PSK (phase shift keying) invece di modulare l'ampiezza si modula la fase della portante: tutti i segnali hanno la stessa ampiezza e un'inclinazione diversa, $$s_m(t)=h(t)\cos\left(2\pi f_0t+\varphi_m\right)=\operatorname{Re}\left[h(t)\,e^{j\left(2\pi f_0t+\varphi_m\right)}\right],\qquad\varphi_m=\frac\pi M\,(2m-1),\ m=1,\dots,M.$$ Le $M$ fasi possibili sono equispaziate sulla circonferenza (con un offset di $\frac\pi M$ rispetto all'asse $I$). Il segnale è in banda passante, come la QAM (QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →).

Base e costellazione

Sviluppando $\cos(2\pi f_0t+\varphi_m)=\cos\varphi_m\cos(2\pi f_0t)-\sin\varphi_m\sin(2\pi f_0t)$ si ritrova la stessa base a due dimensioni della QAM: $$\phi_1=\sqrt{\frac2{E_h}}\cos(2\pi f_0t)\,h(t),\quad\phi_2=-\sqrt{\frac2{E_h}}\sin(2\pi f_0t)\,h(t)\ \Longrightarrow\ \mathbf s_m=\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\cos\varphi_m,\ \sin\varphi_m\right].$$ I punti sono equispaziati sulla circonferenza di raggio $\sqrt{\frac{E_h}2}$. Tutti hanno la stessa energia $$E_m=\frac{E_h}2=E_s\quad\forall m,$$ quindi anche l'energia media è $E_s=\frac{E_h}2$. Esempio $M=8$: otto punti a $22{,}5^\circ,67{,}5^\circ,\dots$; ogni punto ha una regione di decisione che è un settore circolare di apertura $\frac{2\pi}M$ delimitato dalle due semirette a metà tra il punto e i suoi vicini (il modulo di $\boldsymbol\rho$ è irrilevante: conta solo l'angolo).

Distanza minima. Due punti adiacenti formano un angolo $\frac{2\pi}M$: la corda è $$\boxed{d_{min}=2\sqrt{E_s}\,\sin\frac\pi M=\sqrt{2E_h}\,\sin\frac\pi M.}$$

Probabilità di errore

L'errore si ha quando il punto ricevuto esce dal settore, attraversando una delle due semirette di confine. Ciascuna dista dal punto $\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M=\frac{d_{min}}2$ ed è attraversata con probabilità $Q\left(\frac{d_{min}/2}{\sigma_I}\right)$. Si approssima con la somma delle due ($2\times$, union bound, accurato ad SNR alto): $$\boxed{P[E]\approx2\,Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\,\sin\frac\pi M\right)}\qquad(M>2).$$ Con la codifica di Gray, $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$: introducendo l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{N_0TB_{min}}$ con $B_{min}=\frac1T$ (banda passante) $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$, e $$P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}\,Q\left(\sqrt{2\Gamma\sin^2\frac\pi M}\right)\ (M>2),\qquad P_{bit}=Q\left(\sqrt{2\Gamma}\right)\ (M=2).$$

Due casi notevoli.

• $M=2$: $\varphi_m=\pm\frac\pi2$, i due segnali sono opposti: antipodale, detta BPSKbinary PSK: due fasi opposte (binary PSK), $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$ (esatto).
• $M=4$: quattro punti a $45^\circ,135^\circ,\dots$, sugli assi del piano ruotati di $45^\circ$: coincide con la 4-QAM, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$ (QPSKquadrature PSK: quattro fasi, equivalente alla 4-QAM).

Confronto con la QAM

Per $M$ grande $\sin\frac\pi M\approx\frac\pi M$: l'argomento della $Q$ è $\sqrt{2\Gamma}\frac\pi M\propto\frac{\sqrt\Gamma}M$, mentre per la QAM è $\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\propto\frac{\sqrt\Gamma}{\sqrt M}$. Cioè raddoppiare $M$ costa 6 dB nella PSK e 3 dB nella QAM: a SNR alto le modulazioni di ampiezza (QAM) sono più efficienti di quelle di sola fase. Valori di $\Gamma$ (dB) per ottenere $P_{bit}$ assegnata (calcolati con le formule precedenti):

Per $M=16$ la PSK richiede quasi $4$ dB in più della QAM. Perché allora si usa? Perché l'ampiezza è costante: negli amplificatori non lineari (per esempio nei satelliti) una modulazione che varia l'ampiezza viene distorta, mentre la sola fase è robusta (Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →).

Esempio (foglio di esercizi). Uno smartphone scarica $2$ Mbit in $500$ ms con 8-PSK garantendo $P_{bit}=10^{-6}$: serve $\Gamma=18{,}7$ dB, e il rate è $4$ Mbit/s, cioè $\frac43$ Msimb/s (Esercizio 25 · smartphone con PSK adattiva in galleria (foglio di esercizi sulla modulazione digitale)).

Errori comuni

• Usare $\sin\frac{2\pi}M$ invece di $\sin\frac\pi M$ (la semidistanza dal confine usa metà angolo).
• Usare per $M=2$ la formula con $\frac2{\log_2M}$ valida per $M>2$: con due punti c'è una sola frontiera e $P_{bit}=Q\left(\sqrt{2\Gamma}\right)$.
• Dimenticare che le energie di tutti i punti sono uguali: $E_s=E_m=\frac{E_h}2$.
• Credere che la PSK sia meglio della QAM: lo è solo quando l'ampiezza costanteil segnale ha sempre lo stesso modulo: robusto agli amplificatori non lineari è un requisito.