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Note per Studenti Esercizio 21 · PAM a quattro livelli con simboli -4, -3, 3, 4 e disturbo sinusoidale (tema d'esame giugno 2025)

Esercizio 21PAM a quattro livelli con simboli -4, -3, 3, 4 e disturbo sinusoidale (tema d'esame giugno 2025)

Esame
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Testo (tema d'esame del 19 giugno 2025, esercizio 3). Si consideri un sistema che usa la seguente forma d'onda in trasmissione: si(t)=αi hTx(t)s_i(t)=\alpha_i\,h_{Tx}(t) con αi∈{−4,−3,3,4}\alpha_i\in\{-4,-3,3,4\} e impulso hTx(t)=Arect⁡(t−T/2T)h_{Tx}(t)=A\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right) con A=1A=1 V (nel testo trascritto è "1 mV": con questo valore il rumore sommerge il segnale, quindi si assume 11 V) e T=100 μT=100\ \mus, e simboli equiprobabili. Il canale introduce un'attenuazione di 2020 dB e un rumore AWGN con N02=2,5⋅10−7 V2/Hz\frac{N_0}2=2{,}5\cdot10^{-7}\ \text{V}^2/\text{Hz}.

  1. (2p) Determinare una base per la segnalazione e rappresentare la costellazione associata.
  2. (2p) Calcolare la distanza minima e l'energia media per simbolo.
  3. (2p) Si determinino le regioni di decisione usando il criterio a minima distanza MD. È ottimo? Giustificare la risposta.
  4. (3p) Determinare la probabilità di errore sul bit del sistema.
  5. (2p) Si consideri il caso in cui, oltre al rumore AWGN, sia presente in ingresso al ricevitore anche il disturbo d(t)=sin⁡(4πtT)d(t)=\sin\left(4\pi\frac tT\right), per 0≤t≤T0\le t\le T, tale che r(t)=si(t)+w(t)+d(t)r(t)=s_i(t)+w(t)+d(t). Quanto vale la nuova probabilità di errore?

Teoria usata: PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →, Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →, Il rumore AWGN nello spazio dei segnaliIl ricevitore vede solo la componente del rumore nello spazio dei segnali: $w_i=\langle w,\phi_i\rangle$. Per un rumore bianco gaussiano le $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate (quindi indipendenti) e con la stessa varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, qualunque sia la base ortonormale. Il vettore ricevuto $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ ha densità condizionata $p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)=\left(\pi N_0\right)^{-I/2}e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2/N_0}$: il rumore sposta il punto trasmesso in modo circolare.Il rumore AWGN nello spazio dei segnali →.

(1) Base e costellazione

Tutti i segnali sono multipli dello stesso impulso: la base è unidimensionale, ϕ(t)=hTx(t)Eh=1Trect⁡(t−T/2T),Eh=∫hTx2 dt=A2T=10−4 V2s.\phi(t)=\frac{h_{Tx}(t)}{\sqrt{E_h}}=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right),\qquad E_h=\int h_{Tx}^2\,dt=A^2T=10^{-4}\ \text{V}^2\text{s}. Le coordinate sono αiEh\alpha_i\sqrt{E_h}. Il canale attenua di 2020 dB in potenza (fattore 100100), quindi di 1010 in ampiezza: in ricezione l'impulso ha energia Eh,rx=Eh100=10−6 V2sE_{h,rx}=\frac{E_h}{100}=10^{-6}\ \text{V}^2\text{s} e Eh,rx=10−3 Vs\sqrt{E_{h,rx}}=10^{-3}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}. La costellazione nel punto di decisione (all'uscita del correlatore) è s1=−4Eh,rx, s2=−3Eh,rx, s3=+3Eh,rx, s4=+4Eh,rx(=±4 mVs, ±3 mVs).\mathbf s_1=-4\sqrt{E_{h,rx}},\ \mathbf s_2=-3\sqrt{E_{h,rx}},\ \mathbf s_3=+3\sqrt{E_{h,rx}},\ \mathbf s_4=+4\sqrt{E_{h,rx}}\quad(=\pm4\ \text{mV}\sqrt{\text{s}},\ \pm3\ \text{mV}\sqrt{\text{s}}). (Ai fini del progetto del ricevitore ci si mette in ricezione; in trasmissione le stesse coordinate sono moltiplicate per 1010.)

Grafico interattivo: Costellazione in ricezione in unità di √E_h,rx = 1 mV·√s: punti −4, −3, +3, +4; soglie MD in −3,5, 0 e +3,5

(2) Distanza minima ed energia media

Distanze: d1,2=d3,4=Eh,rxd_{1,2}=d_{3,4}=\sqrt{E_{h,rx}} (da −4-4 a −3-3 e da 33 a 44), d2,3=6Eh,rxd_{2,3}=6\sqrt{E_{h,rx}}, d1,4=8Eh,rxd_{1,4}=8\sqrt{E_{h,rx}}. Quindi dmin=Eh,rx=10−3 Vs.d_{min}=\sqrt{E_{h,rx}}=10^{-3}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}. Energia media per simbolo (in ricezione, simboli equiprobabili): Es,rx=14(16+9+9+16)Eh,rx=12,5 Eh,rx=1,25⋅10−5 V2s(in trasmissione 1,25⋅10−3 V2s).E_{s,rx}=\frac14\left(16+9+9+16\right)E_{h,rx}=12{,}5\,E_{h,rx}=1{,}25\cdot10^{-5}\ \text{V}^2\text{s}\qquad(\text{in trasmissione }1{,}25\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}).

(3) Regioni di decisione

Il canale è AWGN e i simboli sono equiprobabili: il criterio MD coincide con ML e MAP ed è ottimo (Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →). Le soglie sono a metà tra punti adiacenti, in unità di Eh,rx\sqrt{E_{h,rx}}: R1=(−∞,−3,5],R2=[−3,5,0],R3=[0,3,5],R4=[3,5,+∞).\mathcal R_1=(-\infty,-3{,}5],\quad\mathcal R_2=[-3{,}5,0],\quad\mathcal R_3=[0,3{,}5],\quad\mathcal R_4=[3{,}5,+\infty). (La soglia centrale è in 00, a metà tra −3-3 e +3+3: le due regioni centrali sono larghe 3,53{,}5 ciascuna.)

(4) Probabilità di errore sul bit

Il rumore ha σI2=N02=2,5⋅10−7 V2s\sigma_I^2=\frac{N_0}2=2{,}5\cdot10^{-7}\ \text{V}^2\text{s}, σI=5⋅10−4\sigma_I=5\cdot10^{-4}, quindi Eh,rxσI=2\frac{\sqrt{E_{h,rx}}}{\sigma_I}=2. Probabilità di errore per ciascun simbolo:

  • s1=−4s_1=-4: sbaglia se il rumore supera +0,5Eh,rx+0{,}5\sqrt{E_{h,rx}} (verso −3-3): Q(0,5⋅2)=Q(1)Q\left(0{,}5\cdot2\right)=Q(1);
  • s2=−3s_2=-3: sbaglia verso −4-4 (rumore <−0,5E<-0{,}5\sqrt{E}) con Q(1)Q(1), oppure verso lo 00 (rumore >+3E>+3\sqrt{E}) con Q(6)Q(6);
  • s3,s4s_3,s_4: simmetrici.

P[E]=14[Q(1)+(Q(1)+Q(6))+(Q(1)+Q(6))+Q(1)]=Q(1)+12Q(6)=0,1587+5⋅10−10=0,1587.P[E]=\frac14\left[Q(1)+\left(Q(1)+Q(6)\right)+\left(Q(1)+Q(6)\right)+Q(1)\right]=Q(1)+\tfrac12Q(6)=0{,}1587+5\cdot10^{-10}=0{,}1587. Il termine Q(6)Q(6) (errore tra −3-3 e +3+3) è trascurabile. Ci sono 44 simboli: ogni simbolo porta log⁡24=2\log_24=2 bit. Con una mappa di Gray (00→−400\to-4, 01→−301\to-3, 11→+311\to+3, 10→+410\to+4) un errore verso il simbolo adiacente cambia un solo bit, per cui Pbit≈P[E]log⁡24=0,15872=0,0793≈8⋅10−2.P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_24}=\frac{0{,}1587}2=0{,}0793\approx8\cdot10^{-2}.

(5) Disturbo sinusoidale

Il ricevitore proietta r(t)r(t) su ϕ(t)\phi(t); il disturbo dà il contributo dϕ=⟨d,ϕ⟩=1T∫0Tsin⁡(4πtT)dt=1T[−T4πcos⁡4πtT]0T=1T⋅T4π(1−cos⁡4π)=0,d_\phi=\langle d,\phi\rangle=\frac1{\sqrt T}\int_0^T\sin\left(\frac{4\pi t}T\right)dt=\frac1{\sqrt T}\left[-\frac T{4\pi}\cos\frac{4\pi t}T\right]_0^T=\frac1{\sqrt T}\cdot\frac T{4\pi}\left(1-\cos4\pi\right)=0, perché d(t)d(t) compie esattamente due periodi in [0,T][0,T] e ha media nulla. Il disturbo è ortogonale alla base (e a tutti i segnali): non entra nel vettore rr e non sposta il punto ricevuto. La probabilità d'errore non cambia: P[E]=0,1587P[E]=0{,}1587, Pbit≈0,079P_{bit}\approx0{,}079. (Con un numero non intero di periodi, o con un periodo T/2T/2 dispari, la proiezione non sarebbe nulla e il disturbo sarebbe un offset da sommare alla soglia.)

(Verificato numericamente: P[E]=0,15865525P[E]=0{,}15865525, Eh,rxσI=2,0\frac{\sqrt{E_{h,rx}}}{\sigma_I}=2{,}0; ∫0Tsin⁡(4πt/T)dt=0\int_0^T\sin(4\pi t/T)dt=0.)

Errori comuni

  • Dimenticare l'attenuazione: l'energia che conta è quella in ricezione (Eh100\frac{E_h}{100}), non quella trasmessa.
  • Scegliere le soglie a ±3,5\pm3{,}5 e 00 senza controllare: sono i punti medi tra −4,−3,3,4-4,-3,3,4 (−3,5-3{,}5, 00, 3,53{,}5).
  • Usare 2(1−1M)Q(⋅)2(1-\frac1M)Q(\cdot) (formula della PAM regolare): qui i simboli non sono equidistanti, serve il conto per simbolo.
  • Dire che un disturbo sinusoidale cambia sempre la probabilità: qui ⟨d,ϕ⟩=0\langle d,\phi\rangle=0.

Versione ripasso

Testo. si=αihTxs_i=\alpha_ih_{Tx}, αi∈{−4,−3,3,4}\alpha_i\in\{-4,-3,3,4\}, hTx=Arect⁡t−T/2Th_{Tx}=A\operatorname{rect}\frac{t-T/2}T (A=1A=1 V, T=100 μT=100\ \mus), 2020 dB, N02=2,5⋅10−7\frac{N_0}2=2{,}5\cdot10^{-7}: base e costellazione; dmind_{min} ed EsE_s; MD e ottimalità; PbitP_{bit}; disturbo sin⁡4πtT\sin\frac{4\pi t}T (giugno 2025).

Teoria collegata