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Note per Studenti Esercizio 22 · PAM a tre livelli con probabilità diverse, MAP e soglie simmetriche (tema d'esame giugno 2026)

Esercizio 22PAM a tre livelli con probabilità diverse, MAP e soglie simmetriche (tema d'esame giugno 2026)

Esame
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Testo (tema d'esame del 19 giugno 2026, esercizio 3). Si consideri la seguente modulazione digitale: hTX(t)=rect⁡(t−t010 ms)h_{TX}(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{10\ \text{ms}}\right) (ampiezza 11 V), si(t)=αihTX(t)s_i(t)=\alpha_ih_{TX}(t) con αi∈{−3,0,2}\alpha_i\in\{-3,0,2\} e probabilità p1=13p_1=\frac13, p2=12p_2=\frac12, p3=16p_3=\frac16. L'attenuazione del canale è aCH=40a_{CH}=40 dB.

  1. Quanto deve valere t0t_0 affinché il segnale hTX(t)h_{TX}(t) sia causale? Avendo a disposizione Ts=5 ms/10 ms/20 msT_s=5\ \text{ms}/10\ \text{ms}/20\ \text{ms}, quale valore scelgo per il tempo di simbolo (motivare)? (Suggerimento: considerare la trasmissione di 0,−3,20,-3,2.)
  2. Si calcoli N02\frac{N_0}2 considerando un SNR=10\text{SNR}=10 dB.
  3. Disegnare la costellazione lato trasmettitore e lato ricevitore. Quale criterio di decisione scelgo tra MAP e MD? (motivare)
  4. Consideriamo ora soglie di decisione simmetriche pari a metà della norma del vettore s1\mathbf s_1 lato ricevitore: calcolare la probabilità di errore sul simbolo.

Teoria usata: PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →, Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →.

(1) Causalità e tempo di simbolo

L'impulso è un rettangolo di durata D=10D=10 ms centrato in t0t_0: è nullo per t<0t<0 solo se il suo inizio t0−D2≥0t_0-\frac D2\ge0, cioè t0≥5t_0\ge5 ms (con t0=5t_0=5 ms occupa [0,10][0,10] ms).

Per il tempo di simbolo TsT_s serve l'assenza di ISI: le traslate dell'impulso di kTskT_s non devono sovrapporsi, quindi Ts≥D=10T_s\ge D=10 ms. Delle tre scelte:

  • Ts=5T_s=5 ms: ISI (ogni impulso si sovrappone per 55 ms al successivo; per esempio la sequenza 0,−3,20,-3,2 darebbe in ricezione la somma di tratti di −3-3 e 22 nello stesso istante);
  • Ts=10T_s=10 ms: nessuna ISI e frequenza di simbolo massima, R=100R=100 simboli/s;
  • Ts=20T_s=20 ms: nessuna ISI ma rate dimezzato.

Si sceglie Ts=10T_s=10 ms (rate massimo senza ISI).

(2) Densità di rumore per SNR=10\text{SNR}=10 dB

Segnale in banda base: l'SNR di riferimento è Γ=Es,rxN0TBmin\Gamma=\frac{E_{s,rx}}{N_0TB_{min}} con Bmin=12TB_{min}=\frac1{2T}, quindi Γ=Es,rxN0/2=Es,rxσI2\Gamma=\frac{E_{s,rx}}{N_0/2}=\frac{E_{s,rx}}{\sigma_I^2}. Energia dell'impulso Eh=12⋅10−2=10−2 V2sE_h=1^2\cdot10^{-2}=10^{-2}\ \text{V}^2\text{s}; con simboli non equiprobabili Es,tx=E[α2] Eh=(9⋅13+0⋅12+4⋅16)Eh=113Eh=3,667⋅10−2 V2s.E_{s,tx}=E[\alpha^2]\,E_h=\left(9\cdot\frac13+0\cdot\frac12+4\cdot\frac16\right)E_h=\frac{11}3E_h=3{,}667\cdot10^{-2}\ \text{V}^2\text{s}. L'attenuazione di 4040 dB divide l'energia per 10410^4: Es,rx=3,667⋅10−6 V2sE_{s,rx}=3{,}667\cdot10^{-6}\ \text{V}^2\text{s}. Con Γ=10\Gamma=10 dB =10=10: N02=σI2=Es,rxΓ=3,67⋅10−7 V2/Hz=0,367 mV2/Hz (−4,36 dBmV2/Hz),σI=6,06⋅10−4 Vs.\frac{N_0}2=\sigma_I^2=\frac{E_{s,rx}}\Gamma=3{,}67\cdot10^{-7}\ \text{V}^2/\text{Hz}=0{,}367\ \text{mV}^2/\text{Hz}\ (-4{,}36\ \text{dBmV}^2/\text{Hz}),\qquad\sigma_I=6{,}06\cdot10^{-4}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}.

(3) Costellazione e criterio

La base è ϕ=hTXEh\phi=\frac{h_{TX}}{\sqrt{E_h}} (I=1I=1). Lato trasmettitore i punti sono αiEh={−3,0,2}⋅0,1={−0,3,0,0,2} Vs\alpha_i\sqrt{E_h}=\{-3,0,2\}\cdot0{,}1=\{-0{,}3,0,0{,}2\}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}. Lato ricevitore (attenuazione in ampiezza 100100, Eh,rx=0,1100=10−3\sqrt{E_{h,rx}}=\frac{0{,}1}{100}=10^{-3}): s1=−3 mVs,s2=0,s3=+2 mVs.\mathbf s_1=-3\ \text{mV}\sqrt{\text{s}},\quad\mathbf s_2=0,\quad\mathbf s_3=+2\ \text{mV}\sqrt{\text{s}}. Le probabilità a priori sono diverse: il criterio ottimo è il MAP; il MD, che ignora le probabilità, sarebbe ottimo solo con simboli equiprobabili. Le soglie MAP (unico punto in cui pi p(ρ∣si)=pj p(ρ∣sj)p_i\,p(\rho|s_i)=p_j\,p(\rho|s_j)) sono, con θij=si+sj2+σI2ln⁡(pi/pj)sj−si\theta_{ij}=\frac{s_i+s_j}2+\sigma_I^2\frac{\ln(p_i/p_j)}{s_j-s_i}: θ12=−1,5+(0,606)2ln⁡(2/3)3 (unitaˋ mVs)=−1,55,θ23=1+(0,606)2ln⁡32=+1,20.\theta_{12}=-1{,}5+\frac{(0{,}606)^2\ln(2/3)}{3}\ \text{(unità mV}\sqrt{\text{s}})=-1{,}55,\qquad\theta_{23}=1+\frac{(0{,}606)^2\ln3}{2}=+1{,}20. Il MD darebbe −1,5-1{,}5 e +1,0+1{,}0. Il MAP sposta le soglie verso i simboli meno probabili (s1s_1 e s3s_3) e allarga la regione del più probabile s2s_2 (p2=12p_2=\frac12): R2=[−1,55, +1,20]\mathcal R_2=[-1{,}55,\ +1{,}20] contro [−1,5, +1,0][-1{,}5,\ +1{,}0].

(4) Soglie simmetriche a ±12∥s1∥\pm\frac12\lVert\mathbf s_1\rVert

Le soglie sono ±12⋅3=±1,5\pm\frac12\cdot3=\pm1{,}5 mVs\sqrt{\text{s}} (valore assoluto della metà di s1\mathbf s_1): R1=(−∞,−1,5]\mathcal R_1=(-\infty,-1{,}5], R2=[−1,5,1,5]\mathcal R_2=[-1{,}5,1{,}5], R3=[1,5,∞)\mathcal R_3=[1{,}5,\infty). Si ha Eh,rxσI=10,606=1,651\frac{\sqrt{E_{h,rx}}}{\sigma_I}=\frac{1}{0{,}606}=1{,}651. Probabilità di errore per simbolo:

  • s1=−3s_1=-3: errore se ρ>−1,5\rho>-1{,}5, cioè w>1,5w>1{,}5: Q(1,50,606)=Q(2,477)=0,00662Q\left(\frac{1{,}5}{0{,}606}\right)=Q(2{,}477)=0{,}00662;
  • s2=0s_2=0: errore se ∣w∣>1,5\lvert w\rvert>1{,}5: 2 Q(2,477)=0,013242\,Q(2{,}477)=0{,}01324;
  • s3=+2s_3=+2: errore se ρ<1,5\rho<1{,}5, cioè w<−0,5w<-0{,}5: Q(0,50,606)=Q(0,826)=0,2045Q\left(\frac{0{,}5}{0{,}606}\right)=Q(0{,}826)=0{,}2045 (la soglia è molto vicina a s3s_3).

P[E]=13⋅0,00662+12⋅0,01324+16⋅0,2045=0,00221+0,00662+0,03408=0,0429.P[E]=\frac13\cdot0{,}00662+\frac12\cdot0{,}01324+\frac16\cdot0{,}2045=0{,}00221+0{,}00662+0{,}03408=0{,}0429. Per confronto: con le soglie MD (−1,5-1{,}5 e 1,01{,}0) P[E]=0,0384P[E]=0{,}0384; con le soglie MAP (−1,55-1{,}55 e 1,201{,}20) P[E]=0,0328P[E]=0{,}0328, il minimo possibile: le soglie simmetriche costano circa 0,010{,}01 in più (da 3,3%3{,}3\% a 4,3%4{,}3\%).

(Verificato con Python: σI2=3,667⋅10−7\sigma_I^2=3{,}667\cdot10^{-7}, Eh,rxσI=1,6514\frac{\sqrt{E_{h,rx}}}{\sigma_I}=1{,}6514, soglie MAP −1,5496-1{,}5496 e 1,20141{,}2014 mVs\sqrt{\text{s}}, P[E]=0,04291P[E]=0{,}04291 (simmetriche), 0,038400{,}03840 (MD), 0,032810{,}03281 (MAP).)

Errori comuni

  • Scegliere Ts=5T_s=5 ms (ISI) o 2020 ms (rate dimezzato) invece di Ts=D=10T_s=D=10 ms.
  • Calcolare l'energia media con α2\alpha^2 senza pesare con le probabilità: E[α2]=113E[\alpha^2]=\frac{11}3, non 133\frac{13}3 (9+0+43\frac{9+0+4}3 equiprobabili).
  • Usare il MD con simboli non equiprobabili senza dire che non è ottimo.
  • Dimenticare l'attenuazione: la costellazione e il rumore vanno confrontati lato ricevitore.

Versione ripasso

Testo. hTX=rect⁡t−t010 msh_{TX}=\operatorname{rect}\frac{t-t_0}{10\ \text{ms}}, α∈{−3,0,2}\alpha\in\{-3,0,2\} con p=(13,12,16)p=(\frac13,\frac12,\frac16), 4040 dB: t0t_0 e Ts∈{5,10,20}T_s\in\{5,10,20\} ms; N02\frac{N_0}2 per SNR 1010 dB; costellazione e criterio; P[E]P[E] con soglie ±12∥s1∥\pm\frac12\lVert\mathbf s_1\rVert (giugno 2026).

Teoria collegata