Esercizio 5quantizzatore a 60 dB per un segnale laplaciano e codice di Huffman (tema d'esame febbraio 2026)

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Teoria usata: Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →, SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →, Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori →, Codici di Shannon-Fano e di HuffmanIn un codice ottimo le parole più probabili non sono più lunghe di quelle meno probabili e le due parole più lunghe differiscono solo per l'ultimo simbolo. Shannon-Fano costruisce l'albero dall'alto dividendo ripetutamente i simboli in due gruppi di probabilità quasi uguali; Huffman lo costruisce dal basso unendo ogni volta i due simboli meno probabili ed è sempre ottimo tra i codici a prefisso. La lunghezza media $L_y$ è la somma delle probabilità dei nodi uniti, l'efficienza è $\eta=\frac{H}{L_y}$.Codici di Shannon-Fano e di Huffman →, Informazione ed entropiaL'informazione di un evento di probabilità $p$ è $\log_2\frac1p$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza della sorgente: $0\le H\le\log_2M$, con il massimo quando i simboli sono equiprobabili. Per più simboli: $H(x,y)\le H(x)+H(y)$ (uguaglianza se indipendenti), $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$. Per una sorgente con $F_s$ simboli al secondo il rate di informazione è $F_sH_s$, il rate nominale $F_s\log_2M$ e l'efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione ed entropia →.

(1) Frequenza di campionamento

Il segnale ha banda $B=3$ kHz: il teorema del campionamento chiede $F_s\ge2B=6$ kHz. Delle tre scelte, $1$ kHz e $2$ kHz sono sotto la frequenza di Nyquist (aliasing: le componenti oltre $\frac{F_s}2$ si ripiegano in banda e non si possono più separare), mentre $F_s=8$ kHz la rispetta ($\ge6$ kHz) e lascia anche un margine per il filtro anti-aliasing e l'interpolatore reali.

(2) Quantizzatore da $60$ dB

La laplaciana ha varianza $\sigma^2=2b^2=2\ \text{V}^2$ e media nulla. La probabilità di saturazione (due code): $$P_{sat}=P[\lvert x\rvert>V_{sat}]=e^{-V_{sat}/b}\ \Longrightarrow\ V_{sat}=b\ln\frac1{P_{sat}}=\ln(5000)=8{,}517\ \text{V}.$$ Range dinamico $[-8{,}52\ \text{V},\ +8{,}52\ \text{V}]$. L'SNR (con $P_{sat}$ piccola) è $\Lambda_q=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2}L^2$; imponendo $60$ dB $=10^6$: $$L^2=\frac{10^6\,V_{sat}^2}{3\sigma^2}=\frac{10^6\cdot72{,}54}{6}=1{,}209\cdot10^7\ \Longrightarrow\ L\ge3477.$$ Ma $L=2^b$: $b\ge\log_23477=11{,}76$, quindi $b=12$ bit, $L=4096$ livelli. Con $12$ bit l'SNR vale $$[\Lambda_q]_{dB}=6{,}02\cdot12+4{,}77+20\log_{10}\frac{1{,}414}{8{,}517}=72{,}24+4{,}77-15{,}60=61{,}4\ \text{dB}\ \ge60.$$ Con $11$ bit si avrebbe $55{,}4$ dB (insufficiente). Il passo è $\Delta=\frac{2\cdot8{,}517}{4096}=4{,}16$ mV. I bit in uscita sono $12$ per campione: con $F_s=8$ kHz il rate nominale è $96$ kbit/s.

(3) Codifica di Huffman

Si uniscono i due nodi meno probabili:

Parole (ramo $0$ in alto):

(4) Funzione caratteristica

Per il quantizzatore di (2) la funzione ha $4096$ gradini larghi $\Delta=4{,}16$ mV tra $-8{,}52$ V e $+8{,}52$ V: a scala di volt è praticamente la retta $a_q=a$ (errore al più $\frac\Delta2=2{,}1$ mV), con la saturazione a $\pm(V_{sat}-\frac\Delta2)=\pm8{,}515$ V. Si tratta dello stesso disegno del mid-riser a $L=8$ in scala diversa: a titolo di illustrazione, con lo stesso $V_{sat}$ ma solo $8$ livelli ($\Delta=2{,}13$ V; livelli $\pm1{,}06,\ \pm3{,}19,\ \pm5{,}32,\ \pm7{,}45$ V; soglie nei multipli di $\Delta$, nessun livello in $0$):

(5) Lunghezza media, efficienza, rate

$$L_y=0{,}5\cdot1+(0{,}15+0{,}10)\cdot3+(0{,}08+0{,}07+0{,}05)\cdot4+(0{,}03+0{,}02)\cdot5=0{,}5+0{,}75+0{,}8+0{,}25=2{,}30\ \text{bit}$$ (e la somma dei nodi interni $0{,}05+0{,}10+0{,}15+0{,}20+0{,}30+0{,}50+1=2{,}30$). L'entropia vale $H=\sum p_i\log_2\frac1{p_i}=2{,}284$ bit, quindi $$\eta=\frac{H}{L_y}=\frac{2{,}284}{2{,}30}=0{,}993.$$ Con $F_s=8$ kHz (punto 1): rate nominale $F_sL_y=8000\cdot2{,}30=18{,}4$ kbit/s, contro $24$ kbit/s di un codice a lunghezza fissa ($3$ bit per livello, $\eta=0{,}76$); il rate di informazione è $F_sH=18{,}27$ kbit/s: la codifica ne è molto vicina.

(Verificato numericamente: $V_{sat}=8{,}5172$ V, $L_{min}=3477{,}1$, SNR a $12$ bit $61{,}42$ dB, $L_y=2{,}30$, $H=2{,}2835$.)

Errori comuni

• Scegliere $F_s=2$ kHz o $6$ kHz: serve almeno $2B$ e tra le scelte date solo $8$ kHz va bene.
• Usare $P_{sat}=2Q\left(\frac{V_{sat}}\sigma\right)$ (valida per il gaussiano) con la laplaciana: qui $P_{sat}=e^{-V_{sat}/b}$.
• Fermarsi a $L=3477$ senza passare a $2^b$ con $b$ intero: $L$ deve essere una potenza di $2$ per mappare i livelli in bit.
• Calcolare l'efficienza con $\log_2 8=3$ invece di $L_y$.