Esercizio 15cavo di riserva per un collegamento radio e amplificatore in ricezione (tema d'esame febbraio 2026)

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Teoria usata: Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →.

(1) Attenuazione specifica del cavo

Attenuazione del canale radio (Friis, $d=5$ km, $f_c=600$ MHz): $$a_{rad}=32{,}4+20\log_{10}5+20\log_{10}600-G_{TX}-G_{RX}=32{,}4+13{,}98+55{,}56-10-6=85{,}94\ \text{dB}.$$ Il cavo deve dare la stessa attenuazione totale sulla stessa distanza: $a_{cavo}=\tilde a\,d$, quindi $$\tilde a=\frac{a_{rad}}d=\frac{85{,}94\ \text{dB}}{5\ \text{km}}=17{,}2\ \text{dB/km}.$$

(2) Potenza in trasmissione per $\text{SNR}=20$ dB

Con $B=500$ kHz $=0{,}5$ MHz ($10\log_{10}0{,}5=-3{,}01$ dB) e $a=85{,}94$ dB, invertendo il link budget $\Gamma_{dB}=P_{TX}-a+114-F-10\log_{10}B_{MHz}$: $$P_{TX}=\Gamma+a-114+F+10\log_{10}B_{MHz}=20+85{,}94-114+20-3{,}01=8{,}9\ \text{dBm}\ (\approx7{,}8\ \text{mW}).$$

(3) Modulazione che massimizza il rate con $P_{bit}<10^{-4}$

Con $\Gamma=20$ dB $=100$ si cerca la $M$-QAM più grande tale che $P_{bit}\approx\frac4{\log_2M}\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right)<10^{-4}$:

L'ultima che soddisfa il vincolo è la $16$-QAM ($2{,}9\cdot10^{-6}<10^{-4}$; la $64$-QAM sbaglia $0{,}85\%$ dei bit). Rate massimo: $R_b=\log_2M\cdot B_{min}=4\cdot500\ \text{kHz}=2$ Mbit/s ($T=2\ \mu$s, $4$ bit/simbolo).

(4) Più potenza o un amplificatore?

Nella formula di $P_{bit}$ entra solo $\Gamma$: conviene l'intervento che fa guadagnare più decibel di SNR, a parità di costo.

• Aumentare $P_{tx}$ di $x$ dB guadagna esattamente $x$ dB (e costa potenza elettrica ed emissione: ci sono limiti normativi e di batteria).
• Aggiungere uno stadio amplificatore in ricezione, davanti al ricevitore (che ha $F=20$ dB, una cifra di rumore alta): la cascata ha $F_{tot}=F_a+\frac{F-1}{g_a}$ (Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →) e il rumore dominante è quello del primo stadio, il nuovo. Con un LNA tipico ($g_a=20$ dB, $F_a=3$ dB): $F_{tot}=1{,}995+\frac{99}{100}=2{,}985\ (4{,}75\ \text{dB})$ contro $F=100$ ($20$ dB): $\Gamma$ aumenta di $\frac{100}{2{,}985}\to15{,}25$ dB, cioè $\Gamma=35{,}25$ dB.

Con $35{,}25$ dB la $256$-QAM ha $P_{bit}=8\cdot10^{-11}<10^{-4}$, la $1024$-QAM $3{,}3\cdot10^{-4}$ (no): il rate sale da $2$ a $4$ Mbit/s ($M=256$, $8$ bit/simbolo), senza aumentare $P_{tx}$. Per ottenere lo stesso guadagno aumentando la potenza servirebbe $P_{tx}=8{,}9+15{,}25=24{,}2$ dBm ($263$ mW), cioè $34$ volte tanto. Risposta: è più conveniente aggiungere l'amplificatore a basso rumore (se posto prima del ricevitore, perché il suo guadagno riduce l'influenza della figura di rumore elevata dello stadio successivo); un amplificatore dopo il ricevitore non cambierebbe $F_{tot}$: $F_{tot}=F+\frac{F_a-1}{g}$ è dominato dal primo stadio da $20$ dB.

(Verificato con Python: $a_{rad}=85{,}942$ dB, $P_{TX}=8{,}932$ dBm, $P_{bit}(16)=2{,}9\cdot10^{-6}$, $F_{tot}=4{,}75$ dB.)

Errori comuni

• Dimenticare che l'attenuazione "a parità" è quella totale (poi si divide per $d$ per l'attenuazione specifica).
• Per $P_{TX}$ dimenticare il termine $10\log_{10}B_{MHz}=-3{,}01$ dB (banda $0{,}5$ MHz, non $500$).
• Mettere l'amplificatore in coda alla catena: il rumore del primo stadio non diminuisce.
• Scegliere la $64$-QAM perché "più veloce": non rispetta $P_{bit}<10^{-4}$.