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Note per Studenti Decibel, dBW e dBm

Decibel, dBW e dBm

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Perché i decibel

Nelle comunicazioni i rapporti di potenza sono enormi: un collegamento radio può attenuare di 10910^{9} (si parla di "90 dB") e il rumore termicorumore dovuto all'agitazione termica delle cariche, di densità kT in watt per hertz è dell'ordine di 10−2110^{-21} W/Hz. Una scala logaritmica rende i numeri maneggevoli e trasforma i prodotti in somme, che è comodo perché i sistemi sono catene di blocchi con guadagni e attenuazioni.

Definizione

Per un rapporto di potenze PxPy\frac{P_x}{P_y}: [PxPy]dB=10log⁡10PxPy.\left[\frac{P_x}{P_y}\right]_{dB}=10\log_{10}\frac{P_x}{P_y}. Per un rapporto di ampiezze (tensioni, correnti), poiché la potenza è proporzionale al quadrato dell'ampiezza: [VxVy]dB=20log⁡10VxVy.\left[\frac{V_x}{V_y}\right]_{dB}=20\log_{10}\frac{V_x}{V_y}. Il numero 10x/1010^{x/10} è il rapporto di potenza corrispondente a xx dB. Il decibeldieci volte il logaritmo in base 10 di un rapporto di potenze è adimensionale (è un rapporto).

Per convenzione si usa un riferimento unitario (la grandezza al denominatore vale 1), così si può esprimere una grandezza assoluta.

  • dBW: PdBW=10log⁡10PWP_{dBW}=10\log_{10}P_W (riferita a 1 W).
  • dBm: PdBm=10log⁡10PmWP_{dBm}=10\log_{10}P_{mW} (riferita a 1 mW).

Siccome PmW=1000 PWP_{mW}=1000\,P_W: PdBm=PdBW+30.\boxed{P_{dBm}=P_{dBW}+30.}

Valori da ricordare

Rapporto di potenza dB Rapporto di ampiezza
×1\times1 00 ×1\times1
×2\times2 ≈3\approx3 (3,013{,}01) ×2\times\sqrt2
×4\times4 ≈6\approx6 ×2\times2
×10\times10 1010 ×3,16\times3{,}16
×100\times100 2020 ×10\times10
×1000\times1000 3030 ×31,6\times31{,}6
×12\times\frac12 ≈−3\approx-3
×10−9\times10^{-9} −90-90

Altri: 5 dB→3,165\ \text{dB}\to3{,}16; 7 dB→5,017\ \text{dB}\to5{,}01; 17 dB→50,117\ \text{dB}\to50{,}1; 25 dB→31625\ \text{dB}\to316. Per convertire a mano: si scompone in 10, 3 e 1 dB (es. 13 dB=10+3→×10⋅2=×2013\ \text{dB}=10+3\to\times10\cdot2=\times20).

Regole di calcolo

  • Cascata: guadagni e attenuazioni in dB si sommano: due stadi con g1=5g_1=5 dB e g2=8g_2=8 dB danno 1313 dB; [g1g2]dB=[g1]dB+[g2]dB\left[g_1g_2\right]_{dB}=\left[g_1\right]_{dB}+\left[g_2\right]_{dB}.
  • Attenuazione e guadagno: a=1ga=\frac1g, quindi [a]dB=−[g]dB[a]_{dB}=-[g]_{dB}. Un'attenuazione di 20 dB è un guadagno di −20-20 dB.
  • Potenza dopo un blocco: Pout,dBm=Pin,dBm+gdBP_{out,dBm}=P_{in,dBm}+g_{dB} (si somma un dBm e un dB e si ottiene dBm).
  • Differenza di due potenze assolute: dBm −- dBm == dB (è un rapporto: per esempio l'SNR).
  • Non si sommano potenze in dB. 10 dBm+10 dBm10\ \text{dBm}+10\ \text{dBm} non fa 20 dBm20\ \text{dBm} (è il prodotto): due potenze da 10 mW sommate danno 20 mW, cioè 13 dBm13\ \text{dBm}. Per sommare potenze si torna in lineare.
  • Per unità di lunghezza o di frequenza: si parla di dB/km (attenuazione specificaattenuazione per unità di lunghezza, in dB per chilometro: adB=a~dB/km⋅dkma_{dB}=\tilde a_{dB/km}\cdot d_{km}), di dBm/Hz (densità di potenza) e di 10log⁡10BMHz10\log_{10}B_{MHz} per la banda.

Esempi

Potenza trasmessa. P=100P=100 mW: 10log⁡10100=2010\log_{10}100=20 dBm =−10=-10 dBW. P=10P=10 mW: 1010 dBm. P=1P=1 mW: 00 dBm. P=1P=1 W: 3030 dBm.

Attenuazione. Un canale che attenua di 9090 dB lascia passare 10−910^{-9} della potenza: da 1010 mW trasmessi arrivano 10−1110^{-11} W, cioè 10 dBm−90 dB=−80 dBm10\ \text{dBm}-90\ \text{dB}=-80\ \text{dBm} (1010 mW ⋅10−9=10−11\cdot10^{-9}=10^{-11} W =10−8=10^{-8} mW, 10log⁡1010−8=−8010\log_{10}10^{-8}=-80 dBm).

Rumore termico. kT0=1,38⋅10−23⋅290=4,0⋅10−21kT_0=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290=4{,}0\cdot10^{-21} W/Hz =−204=-204 dBW/Hz =−174=-174 dBm/Hz. Su una banda di 11 MHz (+60+60 dB) la potenza di rumore è −114-114 dBm: da qui viene la costante 114114 della formula di Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, SNRdB=Ptx,dBm−ach,dB+114−FdB−10log⁡10BMHz\text{SNR}_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}.

Un SNR. Potenza del segnale −80-80 dBm e potenza di rumore −111-111 dBm: SNR=−80−(−111)=31\text{SNR}=-80-(-111)=31 dB ≈1259\approx1259.

Errori comuni

  • Usare 10log⁡10\log per le ampiezze (serve 20log⁡20\log) o 20log⁡20\log per le potenze.
  • Sommare dBm con dBm, oppure convertire dBm in dBW sommando 30 (si sottrae: PdBW=PdBm−30P_{dBW}=P_{dBm}-30).
  • Mettere in dB una quantità con unità senza il riferimento (dBW, dBm) e poi confrontarla con una nell'altra scala.
  • Dimenticare che 3 dB è un fattore 2 in potenza ma 2\sqrt2 in tensione.

Versione ripasso

  • Potenze: [x]dB=10log⁡10x[x]_{dB}=10\log_{10}x; ampiezze: 20log⁡1020\log_{10}. Inverso: x=10[x]dB/10x=10^{[x]_{dB}/10}.
  • Assolute: PdBW=10log⁡10PWP_{dBW}=10\log_{10}P_W, PdBm=10log⁡10PmWP_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}, PdBm=PdBW+30P_{dBm}=P_{dBW}+30.
  • Memoria: 3 dB≈×23\ \text{dB}\approx\times2, 6≈×46\approx\times4, 10=×1010=\times10, 20=×10020=\times100, −90=10−9-90=10^{-9}; 5→3,165\to3{,}16, 7→5,017\to5{,}01, 17→5017\to50.
  • Cascata: si sommano i dB; a=1g⇒[a]dB=−[g]dBa=\frac1g\Rightarrow[a]_{dB}=-[g]_{dB}; dBm + dB = dBm; dBm −- dBm = dB. Le potenze non si sommano in dB.
  • Esempi: 100 mW =20=20 dBm; 90 dB =10−9=10^{-9}; kT0=−174kT_0=-174 dBm/Hz, su 1 MHz −114-114 dBm.
  • Errori tipici: 1010 al posto di 2020 per le ampiezze; dBW↔dBm con il segno sbagliato.

Esercizi su questo argomento

Teoria collegata