Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio

Nel link budget (Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →) il mezzo entra con un solo numero: l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$ alla frequenza della portante. Tre mezzi: cavi, fibre ottiche, collegamento radio.

1. Cavi

Tipi: doppini (telefono), cavi coassiali (TV), cavi Ethernet (Internet). Un cavo è caratterizzato da una impedenza caratteristicaimpedenza che un cavo presenta a un'onda che lo percorre, determinata da r, l, g e c per unità di lunghezza $Z_0$ determinata dalle costanti primarie per unità di lunghezza: resistenza $r$, induttanza $\ell$, conduttanza $g$, capacità $c$: $$Z_0=\sqrt{\frac{r+j2\pi f\ell}{g+j2\pi fc}}.$$ Interessa la risposta in frequenza del canale su una lunghezza $d$: $$H_{ch}(f)=e^{-\gamma(f)d},\qquad\gamma(f)=\alpha(f)+j\beta(f),$$ con $\alpha$ costante di attenuazione e $\beta$ di fase. Il guadagno in potenza è $$g_{ch}(f)=\lvert H_{ch}(f)\rvert^2=e^{-2\alpha(f)d}.$$ Nei fogli dati si trova l'attenuazione specifica $\tilde a_{ch}$ in dB/km, e l'attenuazione totale è proporzionale alla lunghezza: $$a_{ch}\big|_{dB}=\tilde a_{ch}\big|_{dB/km}\cdot d_{km}.$$ L'attenuazione specifica cresce con la frequenza secondo $$\boxed{\tilde a_{ch}(f)=\tilde a_{ch}(f_1)\sqrt{\frac f{f_1}}\quad\left[\text{dB/km}\right]}$$ ($f_1$ è una frequenza nota, di solito quella del foglio dati; l'effetto pellea frequenze alte la corrente scorre solo vicino alla superficie del conduttore e la resistenza cresce come radice di f fa crescere la resistenza come $\sqrt f$).

Esempio. Cavo da $20$ km con $3$ dB/km alla portante: $a_{ch}=60$ dB. Una linea con $1$ dB/km a $f_1=10$ MHz attenua $2$ dB/km a $40$ MHz ($\sqrt{40/10}=2$).

Segnale a larga banda. Poiché l'attenuazione dipende da $f$, un segnale con densità di potenza costante su $[-f_1,f_1]$ ha in uscita uno spettro "inclinato". La potenza in uscita si trova integrando $\int p_{in}(f)g_{ch}(f)\,df$ (Esercizio 17 · linea con attenuazione che cresce con la radice della frequenza (foglio di esercizi sui mezzi di trasmissione)).

2. Fibre ottiche

La fibra ottica è un filo di vetro (nucleo e rivestimento) che guida la luce per riflessione totale. La banda è enorme, $10^{14}\div10^{15}$ Hz ("a banda larga"). Con i segnali luminosi si parla di lunghezza d'onda $$\lambda=\frac vf,\qquad v=\frac cn$$ ($v$ velocità della luce nel mezzo, $n$ indice di rifrazione; $c=3\cdot10^8$ m/s). Il vetro ha minimi di attenuazione solo in tre finestre, che sono le bande usate: $800\div900$ nm, $1250\div1350$ nm, $1500\div1600$ nm.

Un tipico sistema di trasmissione ottico: sorgente luminosa (LED o laser, che converte il segnale elettrico in luce) $\to$ accoppiatore $\to$ fibra $\to$ fotorivelatore (fotodiodo, converte la luce in corrente) $\to$ amplificatore. Le parti prima dell'accoppiatore e dopo il fotorivelatore sono nel dominio elettrico, la fibra nel dominio ottico.

Il canale è descritto da una risposta in frequenza con attenuazione $A_F$ (lineare), un ritardo di propagazione $\tau_F$ e un termine passa-basso gaussiano dovuto alla dispersioneallargamento dell'impulso perché la luce segue cammini di lunghezza diversa nel nucleo $\sigma_F$: $$G_{ch}(f)=\frac1{A_F}\,e^{-(2\pi f\sigma_F)^2}\,e^{-j2\pi f\tau_F},\qquad g_{ch}(f)=\lvert G_{ch}(f)\rvert^2=\frac1{A_F^2}\,e^{-(4\pi f\sigma_F)^2},$$ e l'attenuazione $A_F$ in dB è, come per i cavi, proporzionale alla lunghezza, $$\left(A_F\right)_{dB}=\left(\tilde A_F\right)_{dB/km}\cdot d_{km}.$$ La dispersione nasce perché la luce segue cammini diversi nel nucleo: a ogni "rimbalzo" l'energia si sparpaglia e l'impulso si allarga; l'indice di rifrazione (profilo d'indice: la distribuzione di $n$ nella sezione, con $n_{nucleo}>n_{rivestimento}$) la limita. La fibra è sensibile a torsioni e curve.

3. Collegamenti radio

Un'antenna trasmittente alimentata con potenza $P_{tx}$ irradia nello spazio. Una antenna isotropicairradia allo stesso modo in tutte le direzioni (uguale in tutte le direzioni) produce a distanza $d$, sulla sfera di area $4\pi d^2$, la densità di potenza $$\Phi_0=\frac{P_{tx}}{4\pi d^2}\quad[\text{W/m}^2].$$ Il fattore $d^2$ implica che per aumentare la distanza di un fattore $10$ si devono aumentare i watt di $20$ dB. In generale non serve irradiare in tutte le direzioni: con una antenna direttiva di guadagno $g_{tx}$ la densità sulla direzione puntata è $$\Phi=\Phi_0g_{tx}=\frac{P_{tx}\,g_{tx}}{4\pi d^2}.$$ Antenna direttiva o isotropica? Dipende: la direttiva fa risparmiare potenza ma richiede di puntare il ricevitore; se il ricevitore si muove l'isotropica è l'unica scelta.

In ricezione la potenza raccolta è la densità per l'area efficacearea equivalente su cui un'antenna in ricezione raccoglie la potenza dell'antenna $A_{rx}$ per l'efficienza $\eta$: $$P_{rc}=\Phi\,A_{rx}\,\eta=\frac{P_{tx}g_{tx}}{4\pi d^2}A_{rx}\eta\quad\Rightarrow\quad g_{ch}=\frac{P_{rc}}{P_{tx}}=\frac{A_{rx}\eta}{4\pi d^2}\,g_{tx}.$$ Per una qualunque antenna il guadagno in ricezione è $g_{rx}=\frac{4\pi A_{rx}\eta}{\lambda^2}$, cioè $A_{rx}\eta=\frac{g_{rx}\lambda^2}{4\pi}$. Sostituendo si ottiene la formula di Friis (spazio liberopropagazione senza ostacoli né assorbimenti: vale la formula di Friis): $$\boxed{g_{ch}=g_{tx}\,g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2,\qquad a_{ch}=\frac1{g_{ch}}.}$$ $\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$ è il coefficiente di attenuazione di spazio libero. In dB, con $\lambda=\frac cf$, $d$ in km e $f$ in MHz: $$\boxed{\left(a_{ch}\right)_{dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-\left(g_{tx}\right)_{dB}-\left(g_{rx}\right)_{dB}.}$$ (La costante: $20\log_{10}\frac{4\pi\cdot10^3\cdot10^6}{3\cdot10^8}=32{,}4$.) L'attenuazione cresce con la frequenza della portante: da un lato si vorrebbe trasmettere ad alte frequenze (più banda, antenne più piccole), dall'altro aumenta l'attenuazione.

Esempio. $d=15$ km, $f_0=90$ MHz, $G_{tx}=5$ dB, $G_{rx}=0$ dB: $a_{ch}=32{,}4+23{,}5+39{,}1-5=90{,}0$ dB. Con un collegamento radio in banda $B$ e quelli di prima si ricava poi l'SNR (Progetto di un collegamento - link budget e modulazioneEsercizio tipico d'esame: dati potenza, guadagni, frequenza e banda, si calcola (1) l'attenuazione (spazio libero o cavo) e quindi la distanza massima, (2) l'SNR di riferimento $\Gamma_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$, (3) la cardinalità massima $M$ della QAM (o PSK) tale che $P\le P_{target}$, (4) la potenza minima per una modulazione fissata invertendo $P(\Gamma)$: $\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}\right]^2$ per la 4-QAM e poi $P_{tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F+10\log_{10}B_{MHz}$.Progetto di un collegamento - link budget e modulazione →).

Esempio (radio o cavo?). Due stazioni a $10$ km: via cavo con $5$ dB/km l'attenuazione è $50$ dB; via radio a $90$ MHz con $G_{tx}=5$ dB, $G_{rx}=1$ dB è $32{,}4+20+39{,}1-6=85{,}5$ dB. Per la sola attenuazione conviene il cavo ($35$ dB in meno), ma la radio non richiede di stendere la linea.

Errori comuni

• Dimenticare di sottrarre i guadagni delle antenne nell'attenuazione di Friis.
• Usare $d$ in metri o $f$ in hertz nella formula con $32{,}4$ (servono km e MHz).
• Raddoppiare $d$ aspettandosi $+3$ dB: in spazio libero sono $+6$ dB ($20\log_{10}2$).
• Applicare la legge $\sqrt f$ all'attenuazione totale invece che a quella specifica (poi si moltiplica per $d$).