Ricevitore a correlatori e filtro adattato

Con canale AWGN e simboli equiprobabili il criterio ottimo è la minima distanza (Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →). Qui si vede come realizzare il ricevitore.

Procedura generale

Il ricevitore:

1. riceve $r(t)$;
2. calcola la proiezione sulla base: $\mathbf r=[r_1,\dots,r_I]$, con $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}r(t)\,\phi_i^*(t)\,dt$;
3. calcola le distanze $d_m=\frac{\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert^2}{N_0}$ per $m=1,\dots,M$;
4. sceglie la $m$ con $d_m$ minima.

Calcolo delle proiezioni: causalità e durata finita

Perché le proiezioni siano calcolabili serve che le funzioni di base abbiano durata finita (si integra su un tempo limitato) e siano causali ($\phi_i(t)=0$ per $t<0$: la decisione deve dipendere solo da ciò che è già successo). Se $\phi_i$ è non nulla in $(0,t_0)$, la proiezione si calcola in modo continuo con una finestra mobileintegrale su un intervallo di durata fissa che scorre nel tempo di durata $t_0$: $$r_i(t)=\int_{t-t_0}^{t}r(\tau)\,\phi_i^*\left(\tau-(t-t_0)\right)d\tau,$$ e si campiona all'istante $t=t_0$ (fine del simbolo) per ottenere il numero $r_i=\langle r,\phi_i\rangle$.

Esempio. $\phi_1(t)=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$ ($t_0=T$): $r_1=\frac1{\sqrt T}\int_0^Tr(t)\,dt$, cioè la media del segnale moltiplicata per $\sqrt T$.

Implementazione I: correlatori / filtri adattati e distanze

Lo schema a blocchi ha $I$ rami in parallelo, uno per ogni funzione di base: $r(t)$ è moltiplicato per $\phi_i(t)$, integrato su $(t-t_0,t)$ e campionato in $t_0$, producendo $r_i$; poi un blocco calcola le distanze $\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert$ e uno sceglie il minimo.

Ogni blocco integratore si può vedere come un filtro lineare tempo-invariante: l'integrale di finestra è la convoluzione di $r$ con la risposta impulsiva $$g_i(t)=\phi_i^*(t_0-t)$$ (la funzione di base ribaltata e ritardata di $t_0$, "adattata" alla $\phi_i$). Verifica: $r*g_i(t_0)=\int r(\tau)\,g_i(t_0-\tau)\,d\tau=\int r(\tau)\phi_i^*(\tau)\,d\tau$. Un filtro di questo tipo è il filtro adattato (matched filter). Il suo scopo è anche massimizzare l'SNR all'istante di campionamento (la sua uscita ha picco pari all'energia del segnale in quell'istante).

Esempio. Con $\phi=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$ (simmetrica rispetto a $\frac T2$) il filtro adattatofiltro la cui risposta impulsiva è la funzione di base ribaltata e ritardata: massimizza l'SNR nell'istante di campionamento ha la stessa forma, $g(t)=\phi(T-t)=\phi(t)$: la sua uscita nell'istante $t=T$ è l'integrale su $(0,T)$.

Implementazione II: correlatori con i segnali

Poiché $\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert^2=\lVert\mathbf r\rVert^2+\lVert\mathbf s_m\rVert^2-2\operatorname{Re}\langle\mathbf r,\mathbf s_m\rangle$, e $\lVert\mathbf r\rVert^2$ è uguale per tutte le ipotesi: $$\hat b=\arg\min_m\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert^2=\arg\min_m\left(E_{s_m}-2\operatorname{Re}\langle r,s_m\rangle\right)=\arg\max_m\left\{\operatorname{Re}\langle r,s_m\rangle-\frac{E_{s_m}}2\right\},$$ dove si è usato $\langle\mathbf r,\mathbf s_m\rangle=\langle r,s_m\rangle$ (il prodotto scalare non cambia passando ai vettori). Lo schema ha $M$ rami: in ciascuno il filtro adattato $s_m(t_0-t)$ (o l'integrale del prodotto $r\,s_m^*$) viene campionato in $t_0$, se ne prende la parte reale, si sottrae $\frac{E_{s_m}}2$ (una costante, nota) e un ultimo blocco sceglie il massimo $U_m$.

Quale implementazione scegliere

• Implementazione I: $I$ operazioni (un filtro per dimensione), ma serve trovare la base (Gram-Schmidtprocedura per costruire una base ortonormale dai segnali: laborioso, Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali →).
• Implementazione II: $M$ operazioni, si usano direttamente i segnali, senza base.

Poiché $M\ge I$: se $M\gg I$ (per esempio una QAM con $M=64$ e $I=2$) conviene la I; se $M\approx I$ (per esempio segnali ortogonali) conviene la II.

Esempio svolto: ricevitore per due segnali antipodali. $s_1(t)=A\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)=-s_2(t)$, con $A=1$ V e $T=1$ ms. Energia $E=A^2T=10^{-3}$ V²s, base $\phi=\frac{s_1}{\sqrt E}$, punti $\mathbf s_1=+\sqrt E=0{,}0316$ V$\sqrt{\text{s}}$, $\mathbf s_2=-\sqrt E$. Con il filtro adattato $g(t)=\phi(T-t)$ campionato in $t=T$ si ottiene $r_1=\mathbf s_m+w_1$. La decisione a minima distanza è $\hat b=b_1$ se $r_1>0$, $\hat b=b_2$ altrimenti (soglia a metà, in $0$).

Errori comuni

• Dimenticare di ribaltare la funzione di base nel filtro adattato (con $\phi$ simmetrica non si vede, ma in generale $g(t)=\phi^*(t_0-t)$).
• Campionare in un istante diverso da $t_0$ (fine dell'impulso): il filtro adattato ha il massimo lì.
• Usare l'implementazione II senza sottrarre $\frac{E_{s_m}}2$ quando le energie dei segnali sono diverse (si può omettere solo se sono tutte uguali).
• Scambiare max e min: la forma con la distanza chiede il minimo, quella con la correlazione il massimo.