Esercizio 10processo gaussiano filtrato e quantizzatore a 1024 livelli (tema d'esame degli anni precedenti)

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Teoria usata: Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →, Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioniUna variabile aleatoria è descritta da una PMD (discreta) o da una PDF (continua) e dalla funzione di ripartizione; per la gaussiana $P[x>a]=Q\left(\frac{a-m}{\sigma}\right)$ con la funzione coda $Q$. Media $m_x$, varianza $\sigma_x^2$ e potenza statistica $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$. Per un vettore aleatorio contano l'indipendenza, le probabilità condizionate (totali e di Bayes) e la correlazione; combinazioni lineari di gaussiane sono gaussiane, e gaussiane scorrelate sono indipendenti.Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioni →, SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →, Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori →.

(1) Varianza di $x(t)$

Per un processo WSS a media nulla la varianza è la potenza statistica, cioè l'autocorrelazione nell'origine: $$\sigma_x^2=M_x=r_x(0)=K_x\operatorname{sinc}(0)=10\ \text{V}^2.$$

(2) Varianza di $y(t)$

La PSD di $x$ è la trasformata dell'autocorrelazione: da $\operatorname{sinc}\left(\frac\tau T\right)\leftrightarrow T\operatorname{rect}(fT)$ con $T=\frac1{f_x}$, $$\mathcal P_x(f)=\frac{K_x}{f_x}\operatorname{rect}\left(\frac f{f_x}\right)\quad(\text{costante }\tfrac{K_x}{f_x}\text{ per }\lvert f\rvert<\tfrac{f_x}2=500\ \text{kHz}).$$ (Si verifica $\int\mathcal P_x=\frac{K_x}{f_x}\cdot f_x=K_x$.) Il filtro lascia passare $\lvert f\rvert\le f_h=400$ kHz, dentro la banda di $x$ ($500$ kHz). L'uscita è ancora WSS gaussiana con media $m_y=m_xH(0)=0$ e $$\mathcal P_y(f)=\mathcal P_x(f)\lvert H(f)\rvert^2=\frac{K_x}{f_x}\left(\frac f{f_h}\right)^2\quad(\lvert f\rvert\le f_h).$$ Integrando (funzione pari): $$\sigma_y^2=M_y=2\int_0^{f_h}\frac{K_x}{f_x}\frac{f^2}{f_h^2}\,df=\frac{2K_x}{f_xf_h^2}\cdot\frac{f_h^3}3=\frac23K_x\frac{f_h}{f_x}=\frac23\cdot10\cdot0{,}4=2{,}667\ \text{V}^2\quad(\sigma_y=1{,}633\ \text{V}).$$

(3) Probabilità $P[y(t_1)>4\ \text{V}]$

Poiché il processo è WSS, la statistica non dipende dall'istante $t_1=2$ ms: $P[y(t_1)>4]=P[y>4]$ con $y\sim\mathcal N(0,2{,}667)$: $$P[y>4]=Q\left(\frac{4-0}{\sigma_y}\right)=Q\left(\frac4{1{,}633}\right)=Q(2{,}449)=7{,}2\cdot10^{-3}.$$

(4) SNR di quantizzazione

Il quantizzatore ha $L=1024=2^{10}$ livelli e $V_{sat}=6$ V: $\Delta=\frac{12}{1024}=11{,}72$ mV. Con la sola potenza dell'errore granulare: $$\Lambda_q=\frac{\sigma_y^2}{\Delta^2/12}=\frac{2{,}667}{1{,}144\cdot10^{-5}}=2{,}33\cdot10^5\ \Longrightarrow\ 53{,}7\ \text{dB}$$ (dalla formula: $6{,}02\cdot10+4{,}77+20\log_{10}\frac{1{,}633}6=60{,}2+4{,}77-11{,}3=53{,}7$ dB).

Verifica dell'ipotesi di saturazione trascurabile. $V_{sat}=\frac{6}{1{,}633}=3{,}67\,\sigma_y$, quindi $P_{sat}=2Q(3{,}67)=2{,}4\cdot10^{-4}$: piccola, ma con $1024$ livelli l'errore granulare ($1{,}1\cdot10^{-5}$ V²) è piccolissimo e quello di saturazione, calcolato per integrazione numerica, vale $M_{sat}=7{,}2\cdot10^{-5}$ V²: non è trascurabile (è sei volte l'errore granulare). L'SNR con entrambi i contributi è $$\Lambda_q=\frac{\sigma_y^2}{M_{gr}+M_{sat}}=\frac{2{,}667}{1{,}1\cdot10^{-5}+7{,}2\cdot10^{-5}}\approx45{,}0\ \text{dB}.$$ La risposta attesa all'esame è il valore con la formula di progetto ($53{,}7$ dB), ma l'SNR vero è sotto di quasi $9$ dB: per recuperarlo basterebbe un range più largo (per esempio $[-8,8]$ V). È l'effetto visto in SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →: con molti livelli domina la saturazione.

(Verificato con scipy: $\sigma_y^2=2{,}6667$ V², $P[y>4]=7{,}15\cdot10^{-3}$, $\Lambda_q=53{,}67$ dB (granulare), $45{,}04$ dB (totale).)

Errori comuni

• Usare la banda $\frac{f_x}2$ del segnale al posto di $f_h$ per integrare la PSD in uscita: il filtro taglia a $400$ kHz.
• Dimenticare il fattore $2$ (parte negativa) nell'integrale della PSD pari.
• Calcolare la probabilità con la varianza di ingresso ($10$ V²) invece di quella di uscita ($2{,}667$ V²).
• Credere che la dipendenza da $t_1$ cambi qualcosa: il processo è WSS.