SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore

Definizione

L'errore di quantizzazione si comporta come un rumore sommato al segnale (Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori →): $a_q=a+e_q$. Per misurare quanto è grave si usa il rapporto segnale/rumore di quantizzazione (signal to noise ratio, SNR): $$\Lambda_q=\frac{E\left[a(mT_s)^2\right]}{E\left[e_q(mT_s)^2\right]}=\frac{M_a}{M_e},$$ il rapporto tra la potenza statisticavalore atteso del quadrato del segnale: per segnali a media nulla coincide con la varianza del segnale e quella dell'errore (se il segnale ha media nulla $M_a=\sigma_a^2$). Più è alto, più il segnale quantizzato è fedele.

La formula del progetto

Con le due semplificazioni (A) $P_{sat}$ piccola e (B) $L$ grande, $M_e=\frac{\Delta^2}{12}$ e $$\Lambda_q=\frac{\sigma_a^2}{\Delta^2/12}\ ,\qquad\Delta=\frac{2V_{sat}}L,\quad L=2^b.$$ Sostituendo: $\Delta^2=\frac{4V_{sat}^2}{4^b}$, quindi $$\Lambda_q=\frac{12\,\sigma_a^2\,4^b}{4\,V_{sat}^2}=3\,\frac{\sigma_a^2}{V_{sat}^2}\,4^b=12\,\frac{\sigma_a^2}{V_{sat}^2}\,2^{2(b-1)}.$$ In decibel ($10\log_{10}3=4{,}77$, $10\log_{10}4=6{,}02$): $$\boxed{[\Lambda_q]_{dB}=6{,}02\,b+4{,}77+20\log_{10}\frac{\sigma_a}{V_{sat}}.}$$

Questa formula è utile perché riunisce in una riga i quattro parametri del progetto: SNR, $b$, $\sigma_a$ e $V_{sat}$. Conseguenze:

• ogni bit in più (raddoppio dei livelli) migliora l'SNR di $6{,}02$ dB (la potenza dell'errore è divisa per 4);
• allargare il range dinamico lo peggiora: se $V_{sat}=k\sigma$, il termine $20\log_{10}\frac\sigma{V_{sat}}=-20\log_{10}k$ vale $-9{,}5$ dB per $k=3$ e $-14$ dB per $k=5$.

Valori calcolati per un segnale gaussiano ($V_{sat}=k\sigma$):

Procedura di progetto

Dati tipici dell'esame: la densità del segnale (gaussiano, laplaciana, esponenziale) con il suo parametro, una probabilità di saturazioneprobabilità che il campione esca dal range dinamico massima e/o un SNR minimo.

1. Range dinamico dalla probabilità di saturazione.

• gaussiano a media nulla: $P_{sat}=2Q\left(\frac{V_{sat}}\sigma\right)\Rightarrow V_{sat}=\sigma\,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$;
• laplaciana (parametro $b_L$): $P_{sat}=e^{-V_{sat}/b_L}\Rightarrow V_{sat}=b_L\ln\frac1{P_{sat}}$;
• esponenziale (segnale solo positivo): si usa il range $[0,V_{sat}]$ con $P_{sat}=e^{-\lambda V_{sat}}\Rightarrow V_{sat}=\frac1\lambda\ln\frac1{P_{sat}}$ e passo $\Delta=\frac{V_{sat}}L$ (non ha senso sprecare metà dei livelli sui valori negativi).

2. Bit dall'SNR richiesto, risolvendo la formula in $b$: $b\ge\frac{\Lambda_{dB}-4{,}77-20\log_{10}\frac\sigma{V_{sat}}}{6{,}02}$, arrotondato per eccessosi prende l'intero successivo, perché con meno bit l'SNR sarebbe sotto la soglia all'intero successivo. L'SNR effettivo con $b$ intero è un po' maggiore del richiesto.
3. Risultati: $L=2^b$, $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$, SNR, range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$, bit in uscita $b$, rate $F_sb$.

Esempio 1 (gaussiano). Segnale gaussiano a media nulla con $\sigma^2=2$ mV², quantizzatore mid-riser con $b=3$ bit e $P_{sat}=2\cdot10^{-4}$ (tema d'esame gennaio 2025, Esercizio 1 · quantizzatore uniforme di un segnale gaussiano, SNR ed entropia in uscita (tema d'esame gennaio 2025)).

• $V_{sat}=\sigma\,Q^{-1}(10^{-4})=\sqrt2\cdot3{,}719=5{,}26$ mV.
• $L=8$: $\Delta=\frac{2\cdot5{,}26}8=1{,}315$ mV.
• $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=\frac{2\cdot12}{1{,}729}=13{,}88\approx11{,}42$ dB (la formula in dB dà $11{,}42$).

Esempio 2 (laplaciana, SNR dato). Segnale laplaciano con $b_L=1$ V ($\sigma^2=2b_L^2=2$ V²), $P_{sat}=2\cdot10^{-4}$, SNR $\ge60$ dB (tema d'esame febbraio 2026, Esercizio 5 · quantizzatore a 60 dB per un segnale laplaciano e codice di Huffman (tema d'esame febbraio 2026)).

• $V_{sat}=\ln(5000)=8{,}52$ V; $\frac\sigma{V_{sat}}=\frac{1{,}414}{8{,}52}$, quindi $20\log_{10}\frac\sigma{V_{sat}}=-15{,}6$ dB.
• $b\ge\frac{60-4{,}77+15{,}6}{6{,}02}=11{,}76\Rightarrow b=12$, $L=4096$, $\Delta=4{,}16$ mV, $\Lambda_q=61{,}4$ dB. Con 11 bit si avrebbe $55{,}4$ dB (insufficiente).

Segnali non a media nulla. Nella definizione conta la potenza statistica $M_a=\sigma^2+m_a^2$, non la varianza. Per l'esponenziale $\operatorname{Exp}(\lambda)$: $M_a=\frac2{\lambda^2}$. Con il range $[0,V_{sat}]$ e $L$ livelli $\Lambda_q=\frac{M_a}{\Delta^2/12}$ con $\Delta=\frac{V_{sat}}L$.

Quando la semplificazione non basta

L'approssimazione (A) si regge solo se $P_{sat}$ è piccola rispetto all'errore granulare. Aumentando $b$, $\Delta^2/12$ scende di un fattore 4 a ogni bit, mentre la potenza dell'errore di saturazione $M_{sat}$ resta uguale (dipende solo da $V_{sat}$ e dalla densità). Prima o poi domina e l'SNR smette di crescere: la formula dei $6$ dB per bit non vale più.

Esempio numerico (gaussiano a media nulla con $\sigma^2=0{,}01$ V², range $[-0{,}4,0{,}4]$ V, $P_{sat}=2Q(4)=6{,}3\cdot10^{-5}$, calcoli con integrazione numerica):

Con $L=8$ la saturazione non conta; con $L=800$ è quasi alla pari con l'errore granulare e toglie $2{,}5$ dB.

Errori comuni

• Dimenticare di arrotondare $b$ per eccesso (con $b$ per difetto l'SNR è sotto la soglia) e di dare poi il valore effettivo.
• Usare la varianza al posto della potenza statistica per segnali a media non nulla.
• Dimenticare il fattore 2 nella probabilità di saturazione di un segnale simmetrico ($Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$, non $Q^{-1}(P_{sat})$).
• Credere che l'SNR cresca di $6$ dB a ogni bit sempre: vale finché la saturazione è trascurabile.