Esercizio 23quattro segnali ortogonali e antipodali, soglia MAP e probabilità d'errore (tema d'esame febbraio 2026)

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Teoria usata: Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali →, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →, Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonaliCon $M>2$ segnali la probabilità di errore esatta non si trova in forma chiusa, ma si limita con la distanza minima: $\frac{N^}{M}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ ($N^$ = numero di punti con almeno un vicino a $d_{min}$). L'upper bound è molto vicino al valore vero ad SNR alto. Per $M$ segnali ortogonali $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e la dimensione è $M$; per i biortogonali (un segnale opposto più $M-2$ ortogonali) la dimensione è $\frac M2$.Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali →, Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di erroreDue segnali $s_1,s_2$ hanno costellazione $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\rho\sqrt{E_2},\sqrt{E_2(1-\rho^2)})$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]$ e distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$. Con AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$. A parità di energia $E_s$ il minimo errore si ha per $\rho=-1$ (antipodale: $Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right)$); per $\rho=0$ (ortogonale) $Q\left(\sqrt{E_s/N_0}\right)$, 3 dB peggio.Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore →.

(1) Base e costellazione

Energie in trasmissione: $E_1=\int s_1^2\,dt=A^2\frac T2+A^2\frac T2=A^2T$ (due rettangoli di durata $\frac T2$ con segni opposti: il segno non conta nell'energia) e $E_3=A^2T$. Prodotto scalare: $$\langle s_1,s_3\rangle=\int_0^{T/2}A\cdot A\,dt+\int_{T/2}^TA\cdot(-A)\,dt=\frac{A^2T}2-\frac{A^2T}2=0,$$ quindi $s_1$ e $s_3$ sono ortogonali ($s_2=-s_1$ e $s_4=-s_3$ non servono a ampliare la base). La base ortonormale è $$\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{A^2T}}=\frac1{\sqrt T}\left[\operatorname{rect}\left(\tfrac{t-T/4}{T/2}\right)-\operatorname{rect}\left(\tfrac{t-3T/4}{T/2}\right)\right],\qquad\phi_2=\frac{s_3}{\sqrt{A^2T}}=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right),$$ dimensione $I=2$. Il canale attenua di $10$ dB in potenza ($\times10$), cioè di $\sqrt{10}$ in ampiezza: in ricezione i punti sono $$\mathbf s_1=(a,0),\ \mathbf s_2=(-a,0),\ \mathbf s_3=(0,a),\ \mathbf s_4=(0,-a),\qquad a=\frac{A\sqrt T}{\sqrt{10}}.$$ È una modulazione biortogonale con $M=4$ (due coppie antipodali ortogonali tra loro): quattro punti sui due assi, a distanza $a$ dall'origine (in trasmissione $a_{tx}=A\sqrt T$).

(2) Distanza minima e regioni

Le distanze: tra opposti $d_{1,2}=d_{3,4}=2a$, tra punti adiacenti $d_{1,3}=\sqrt2\,a$. Quindi $$d_{min}=\sqrt2\,a=\frac{A\sqrt{2T}}{\sqrt{10}}\quad\left(=\sqrt{2E_{rx}},\ E_{rx}=a^2\right).$$ Il canale è AWGN e (per ora) i simboli sono equiprobabili, quindi il criterio MD è ottimo (coincide con ML e MAP). Le soglie sono gli assi dei segmenti tra punti adiacenti: le due diagonali $\rho_2=\pm\rho_1$; le regioni sono quattro settori da $90^\circ$ centrati sui semiassi ($\mathcal R_1=\{\rho_1>\lvert\rho_2\rvert\}$, $\mathcal R_2=\{\rho_1<-\lvert\rho_2\rvert\}$, $\mathcal R_3=\{\rho_2>\lvert\rho_1\rvert\}$, $\mathcal R_4=\{\rho_2<-\lvert\rho_1\rvert\}$).

(3) Soglia MAP per $s_1,s_2$ con $p_2=0{,}8$

Solo i due punti $\pm a$ sulla retta di $\phi_1$, con $A=3$ V: $$a=\frac{3\sqrt{10^{-3}}}{\sqrt{10}}=\frac{3\cdot0{,}031623}{3{,}1623}=0{,}030\ \text{V}\sqrt{\text{s}}.$$ Rumore: $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=5\cdot10^{-6}\ \text{V}^2\text{s}$, $\sigma_I=2{,}236\cdot10^{-3}$. Le probabilità sono diverse ($p_1=0{,}2$, $p_2=0{,}8$): il criterio ottimo è il MAP. Si decide $s_1$ ($+a$) se $\rho>\theta$, con $\theta=\frac{s_1+s_2}2+\sigma_I^2\frac{\ln(p_2/p_1)}{s_1-s_2}$ (la formula dei criteri con $i=2$, $j=1$): $$\theta=0+\frac{5\cdot10^{-6}\,\ln\frac{0{,}8}{0{,}2}}{2\cdot0{,}030}=\frac{5\cdot10^{-6}\cdot1{,}386}{0{,}06}=1{,}16\cdot10^{-4}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}.$$ La soglia è spostata verso $s_1$ (il simbolo meno probabile), cioè la regione di $s_2$ (più probabile) si allarga. Lo spostamento è minuscolo ($0{,}4\%$ di $a$) perché il rumore è piccolo rispetto alla distanza: $\frac a{\sigma_I}=13{,}4$. La probabilità di errore è $P[E]=0{,}2\,\Phi\left(\frac{\theta-a}{\sigma_I}\right)+0{,}8\,Q\left(\frac{\theta+a}{\sigma_I}\right)=1{,}9\cdot10^{-41}$ (con soglia MD in $0$ sarebbe $Q(13{,}4)=2{,}4\cdot10^{-41}$): in pratica nulla in entrambi i casi.

(4) Probabilità di errore sul simbolo per tutta la costellazione

Con $A=3$ V: $a=0{,}030$, $\frac a{\sigma_I}=13{,}42$ e la semidistanza minima in unità di $\sigma_I$ vale $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}=\frac{\sqrt2\,a}{2\sigma_I}=\frac a{\sqrt2\,\sigma_I}=9{,}49$. Ogni punto ha due vicini a $d_{min}$ (i due punti sull'altro asse): con le formule per $M$ segnali (Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonaliCon $M>2$ segnali la probabilità di errore esatta non si trova in forma chiusa, ma si limita con la distanza minima: $\frac{N^}{M}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ ($N^$ = numero di punti con almeno un vicino a $d_{min}$). L'upper bound è molto vicino al valore vero ad SNR alto. Per $M$ segnali ortogonali $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e la dimensione è $M$; per i biortogonali (un segnale opposto più $M-2$ ortogonali) la dimensione è $\frac M2$.Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali →): $$Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-2)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)+Q\left(\frac{d_{opp}}{2\sigma_I}\right),$$ cioè $1{,}2\cdot10^{-21}\le P[E]\le2\,Q(9{,}49)+Q(13{,}4)=2{,}4\cdot10^{-21}$. La probabilità è dominata dal termine con $d_{min}$ ($2$ vicini): $P[E]\approx2\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=2\,Q(9{,}49)=2{,}4\cdot10^{-21}$. Il calcolo esatto con la densità del rumore lungo i due assi ($P[C]=\int\varphi(w_1)\left[1-2Q\left(\frac a{\sigma_I}+w_1\right)\right]dw_1$) dà lo stesso numero, $P[E]=2{,}4\cdot10^{-21}$. Il sistema è praticamente senza errori: l'SNR per simbolo è $\frac{E_{s,rx}}{N_0}=\frac{a^2}{N_0}=90=19{,}5$ dB.

(Verificato con scipy: $a=0{,}03$ V$\sqrt{\text{s}}$, $\frac a{\sigma_I}=13{,}416$, soglia MAP $1{,}155\cdot10^{-4}$, $P[E]_{MAP}=1{,}94\cdot10^{-41}$, $P[E]_{4\ simboli}\approx2{,}4\cdot10^{-21}$.)

Errori comuni

• Dimenticare l'attenuazione: la costellazione va scritta lato ricevitore ($\sqrt{10}$ in meno in ampiezza).
• Spostare la soglia MAP verso il simbolo più probabile (sposta verso il meno probabile).
• Usare la distanza tra opposti ($2a$) come $d_{min}$ per la costellazione a quattro punti: la minima è $\sqrt2\,a$ (punti adiacenti).
• Usare per la probabilità l'upper bound $(M-1)Q$ senza accorgersi che il segnale opposto è molto più lontano.