Esercizio 16quadripoli in cascata, figura di rumore e ordine degli amplificatori (foglio di esercizi sui mezzi di trasmissione)

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Teoria usata: Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →, Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →.

Impostazione

Si convertono i dati in lineare: $g_1=5\ \text{dB}=3{,}16$, $F_1=5\ \text{dB}=3{,}16$, $g_2=8\ \text{dB}=6{,}31$, $F_2=7\ \text{dB}=5{,}01$. L'SNR è $\Lambda=\frac{P_s}{P_w}$: la potenza del segnale in uscita è $P_{s,out}=g_{tot}\,P_{s,in}$, e $g_{tot}=g_1g_2$ non dipende dall'ordine (il prodotto è commutativo), quindi il numeratore è lo stesso nei due casi. Cambia invece la potenza di rumore: $$P_w=k\,T_{eff}\,B,\qquad T_{eff}=T_S+T_A=T_S+T_0\,(F_{tot}-1),$$ con $k$ e $B$ costanti e $T_S=100$ K della sonda. $T_{eff}$ è crescente con la figura di rumore totale $F_{tot}$ della cascata: l'SNR migliore è quello con $F_{tot}$ minore. (Il guadagno dell'antenna e l'impedenza di $377\ \Omega$ moltiplicano segnale e rumore allo stesso modo e non influenzano il confronto.)

Figura di rumore delle due cascate

Con $F_{eq}=F_{prima}+\frac{F_{seconda}-1}{g_{prima}}$:

• $A_1\to A_2$: $F=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}=3{,}16+\frac{5{,}01-1}{3{,}16}=3{,}16+1{,}27=4{,}43$ ($6{,}46$ dB);
• $A_2\to A_1$: $F=F_2+\frac{F_1-1}{g_2}=5{,}01+\frac{3{,}16-1}{6{,}31}=5{,}01+0{,}34=5{,}35$ ($7{,}29$ dB).

Le temperature efficaci ($T_0=290$ K):

Risposta

Conviene $A_1$ per primo, seguito da $A_2$: ha la figura di rumore totale minore ($4{,}43<5{,}35$) e quindi $T_{eff}$ minore. Il rapporto delle potenze di rumore è $\frac{1363}{1095}=1{,}24$, cioè l'SNR di riferimento è migliore di $10\log_{10}1{,}24=0{,}95$ dB. Qui $A_1$ ha la cifra di rumore minore ($5$ dB contro $7$ dB) ma anche il guadagno minore ($5$ dB contro $8$ dB): in generale non basta guardare l'una o l'altro, conta la combinazione $F_{prima}+\frac{F_{seconda}-1}{g_{prima}}$. Nell'ordine scelto si paga $F_1=3{,}16$ più un termine di rumore dell'altro stadio ridotto a $1{,}27$; nell'ordine inverso $F_2=5{,}01$ più $0{,}34$: il primo stadio pesa per intero, e quello di $A_1$ costa meno.

Controllo con un caso estremo. Se $A_2$ avesse un guadagno molto alto (per esempio $g_2=30$ dB) e $F_2=7$ dB: $A_2\to A_1$ darebbe $F=5{,}01+\frac{2{,}16}{1000}=5{,}01$ ($7{,}0$ dB) contro $A_1\to A_2$ con $4{,}43$: $A_1$ per primo resta meglio, perché il termine dominante è la figura del primo stadio.

(Verificato: $F_{A_1\to A_2}=4{,}431$ ($6{,}465$ dB), $F_{A_2\to A_1}=5{,}355$ ($7{,}287$ dB); $T_{eff}=1095$ K e $1363$ K.)

Errori comuni

• Sommare le figure di rumore in dB ($5+7=12$ dB): si usa la formula lineare con il $-1$ e la divisione per il guadagno.
• Pensare che il guadagno cambi con l'ordine: il guadagno totale è lo stesso, cambia solo il rumore.
• Mettere per primo "quello con più guadagno" senza guardare la figura di rumore: conta la combinazione.
• Dimenticare la temperatura di sorgente $T_S=100$ K in $T_{eff}$ (non cambia l'ordine, ma cambia il rapporto di SNR: $0{,}95$ dB e non $0{,}82$ dB).