Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenza

Questa nota ripassa, con le notazioni che servono alle comunicazioni (frequenza $f$ in hertz, non pulsazione), ciò che si è visto in Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza → e Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi → del corso di Segnali e Sistemi.

Segnali e segnali notevoli

Un segnale analogico assume valori in $\mathbb R$ (o $\mathbb C$) e dipende dal tempo continuo; un segnale digitale assume valori in un insieme finito. I segnali notevoli (tutti con ampiezza 1 nell'origine):

Con $A,T,t_0$ si ottengono versioni scalate e ritardate: $A\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{T}\right)$ è alto $A$, largo $T$ e centrato in $t_0$. Per essere causalenullo per t minore di zero: non dipende dal futuro (nullo per $t<0$) deve valere $t_0\ge\frac T2$.

Trasformata di Fourier

$$S(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\,e^{-j2\pi ft}\,dt,\qquad s(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}S(f)\,e^{j2\pi ft}\,df.$$

Proprietà che servono (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →):

• linearità; ritardo: $s(t-t_0)\leftrightarrow S(f)e^{-j2\pi ft_0}$ (il modulo non cambia, la fase sì);
• scalamento: $s(at)\leftrightarrow\frac1{\lvert a\rvert}S\left(\frac fa\right)$ (un segnale più stretto ha uno spettro più largo);
• modulazione: $s(t)\cos(2\pi f_0t)\leftrightarrow\frac12\left[S(f-f_0)+S(f+f_0)\right]$;
• convoluzione: $x*h\leftrightarrow X\,H$.

Coppie notevoli: $\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{sinc}(fT)$; $\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{rect}(fT)$; $\delta(t)\leftrightarrow1$; $\operatorname{triang}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{sinc}^2(fT)$.

Esempio. $s(t)=A\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$ con $A=2$ V e $T=1$ ms: $S(f)=AT\operatorname{sinc}(fT)\,e^{-j\pi fT}$, con $\lvert S(0)\rvert=AT=2$ mV·s e primo zero in $f=\frac1T=1$ kHz.

Energia, potenza e teorema di Parseval

Energia e potenza media di un segnale (la potenza statistica, in V², non è la potenza elettrica in watt: Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →):

$$E_s=\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert s(t)\rvert^2dt,\qquad M_s=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}\lvert s(t)\rvert^2dt.$$

• Se $E_s<\infty$ allora $M_s=0$ (energia finital'integrale del modulo quadro del segnale è un numero finito: tipico dei segnali che durano un tempo limitato, potenza nulla): i segnali a durata finita.
• Se $0<M_s<\infty$ allora $E_s=\infty$: i segnali periodici, come $A\cos(2\pi f_0t)$ con $M=\frac{A^2}2$.

Teorema di Parseval: $$E_s=\int\lvert s(t)\rvert^2dt=\int\lvert S(f)\rvert^2df=\int\mathcal E_s(f)\,df,\qquad\mathcal E_s(f)=\lvert S(f)\rvert^2,$$ dove $\mathcal E_s(f)$ è la densità spettrale di energiacome l'energia del segnale si distribuisce sulle frequenze: dice come l'energia si distribuisce sulle frequenze. (Con la frequenza $f$ in hertz non compare il fattore $\frac1{2\pi}$ della pulsazione.)

Esempio. $s=A\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$: nel tempo $E=A^2T=4\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}$; in frequenza $\int A^2T^2\operatorname{sinc}^2(fT)\,df=A^2T$ (si ritrova lo stesso valore).

Banda pratica

Un segnale che dura un tempo finito ha, per il principio di indeterminazioneun segnale stretto nel tempo ha spettro largo, e viceversa: non si può avere entrambi limitati, spettro non nullo ovunque: banda infinita. Ma ci interessa solo una porzione dello spettro; si definisce una banda praticaporzione dello spettro fuori dalla quale lo spettro è abbastanza piccolo da essere trascurato $B$ fuori dalla quale lo spettro è trascurabile. Ci sono tre criteri, tutti per $f\ge0$:

• primo zero: $B_0=\min\{f\ge0:\lvert S(f)\rvert=0\}$;
• ampiezza (a $A$ dB): $B_A=\max\{f\ge0:\lvert S(f)\rvert\ge S_{max}\cdot10^{-A/20}\}$, l'ultima frequenza in cui lo spettro è a meno di $A$ dB dal massimo;
• energia (frazione $1-\varepsilon$): $B_E=\min\{B\ge0:\ 2\int_0^{B}\mathcal E_s(f)\,df\ge(1-\varepsilon)E_s\}$, la banda che contiene la frazione voluta dell'energia.

Esempio (rettangolo di durata $T$, $\lvert S\rvert\propto\lvert\operatorname{sinc}(fT)\rvert$, valori calcolati numericamente):

Il lobo principale (primo zero) contiene il $90{,}3\%$ dell'energia. Per $T=1$ ms il primo zero è a 1 kHz. Un 99% di energia richiede una banda dieci volte maggiore: per questo i rettangoli, in pratica, si sostituiscono con impulsi più "morbidi" (Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →).

Sistemi LTI e assenza di distorsione

Un sistema lineare e tempo-invariante con risposta impulsiva $h(t)$ e risposta in frequenza $H(f)=\mathcal F[h]$ lega ingresso e uscita con $y=x*h$, cioè $Y(f)=H(f)X(f)$ (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →).

Condizione di non distorsione di Heaviside. Il segnale non viene deformato (uscita = ingresso moltiplicato per una costante e ritardato) se $$h(t)=A_0\,\delta(t-t_0)\quad\Longleftrightarrow\quad H(f)=A_0\,e^{-j2\pi ft_0}:$$ modulo costante e fase lineare. Nei sistemi reali basta che questo valga nella banda $\mathcal B$ del segnale: $$H(f)=\begin{cases}A_0e^{-j2\pi ft_0}&f\in\mathcal B\\\text{qualsiasi}&f\notin\mathcal B\end{cases}$$ perché fuori banda il segnale non ha energia. Qui i blocchi $h(t)$ sono quelli che si progettano (filtri) oppure il canale.

Perché si modula

Il canale lascia passare bene solo alcune frequenze (si comporta come un filtro passa-banda), non si può trasmettere dove si vuole (regolamenti) e ci sono interferenze. Si trasla allora lo spettro attorno a una portantesinusoide a frequenza alta che trasla in frequenza il segnale da trasmettere $f_0$ moltiplicando per $\cos(2\pi f_0t)$:

$$s(t)\cos(2\pi f_0t)\ \leftrightarrow\ \tfrac12\big[S(f-f_0)+S(f+f_0)\big].$$

Lo spettro è ora centrato in $\pm f_0$ e ha ampiezza dimezzata (la potenza si dimezza: è il costo). Questa è la modulazione analogica, usata oggi solo nella radio AM/FM (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →); la modulazione che interessa al corso è quella digitale, in cui i segnali trasmessi sono scelti da un insieme finito per rappresentare sequenze di bit (Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali →).

Errori comuni

• Dimenticare la dipendenza dalla scala: un impulso lungo $T$ ha banda $\propto\frac1T$, quindi dimezzare $T$ raddoppia la banda.
• Confondere energia (V²·s) con potenza media (V²) e con potenza elettrica (W).
• Usare un rettangolo come se avesse banda finita.