Il rumore AWGN nello spazio dei segnali

Dopo aver rappresentato i segnali come vettori (Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali →) occorre capire come il rumore $w(t)$ sposta il punto ricevuto. Una volta nota la forma del rumore si potranno scrivere le regioni di decisione ottime (Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →).

Solo una parte del rumore conta

Il rumore $w(t)$ in generale non appartiene allo spazio generato dalla base $\{\phi_1,\dots,\phi_I\}$: non si può scrivere come combinazione di quelle funzioni. Si scompone allora come somma di due parti: $$w(t)=w_\parallel(t)+w_\perp(t),\qquad w_\parallel\in\operatorname{span}\{\phi_i\},\quad w_\perp\perp\operatorname{span}\{\phi_i\}.$$ La parte $w_\perp$ è ortogonale a tutti i segnali possibili: non ha componente su nessuna $\phi_i$, quindi non modifica le coordinate $\rho_i=\langle r,\phi_i\rangle$ su cui si decide, e il ricevitore può ignorarla. Resta il vettore delle componenti $$\mathbf w=[w_1,\dots,w_I],\qquad w_i=\langle w,\phi_i\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}w(t)\,\phi_i^*(t)\,dt,\qquad\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w.$$

Statistica delle componenti

Il rumore è un processo gaussiano e WSS, bianco con densità $\frac{N_0}2$, cioè $E[w(t)w^*(u)]=\frac{N_0}2\delta(t-u)$ (Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →). Si ricava:

1. Le $w_i$ sono gaussiane. Sono un'operazione lineare (un integrale) su un processo gaussiano.
2. Media nulla. Scambiando valore atteso e integrale (teorema di Fubiniteorema che permette di scambiare valore atteso e integrale) e poiché $\phi_i$ è deterministica: $$E[w_i]=\int E[w(t)]\,\phi_i^*(t)\,dt=0.$$
3. Correlazione. Per $i$ e $j$ qualunque: $$E\left[w_iw_j^*\right]=\iint E\left[w(t)w^*(u)\right]\phi_i^*(t)\phi_j(u)\,dt\,du=\iint\frac{N_0}2\delta(t-u)\,\phi_i^*(t)\phi_j(u)\,dt\,du=\frac{N_0}2\int\phi_i^*(t)\phi_j(t)\,dt.$$ L'ultimo integrale è il prodotto scalare di due elementi di una base ortonormale: vale $0$ se $i\ne j$ e $1$ se $i=j$. Quindi $$E\left[w_iw_j^*\right]=\frac{N_0}2\,\delta_{ij}.$$

Conseguenza. Per $i=j$: $E\left[\lvert w_i\rvert^2\right]=\frac{N_0}2$, cioè ogni componente ha varianza $$\boxed{\sigma_I^2=\frac{N_0}2\qquad(w_i\sim\mathcal N(0,\sigma_I^2)).}$$ Per $i\ne j$ le componenti sono scorrelatecon correlazione nulla: per gaussiane equivale a indipendenti; essendo gaussiane, sono statisticamente indipendenti (Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioniUna variabile aleatoria è descritta da una PMD (discreta) o da una PDF (continua) e dalla funzione di ripartizione; per la gaussiana $P[x>a]=Q\left(\frac{a-m}{\sigma}\right)$ con la funzione coda $Q$. Media $m_x$, varianza $\sigma_x^2$ e potenza statistica $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$. Per un vettore aleatorio contano l'indipendenza, le probabilità condizionate (totali e di Bayes) e la correlazione; combinazioni lineari di gaussiane sono gaussiane, e gaussiane scorrelate sono indipendenti.Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioni →). Il risultato non dipende dalla base scelta: la varianza per dimensione è sempre $\frac{N_0}2$ (con le unità giuste: $w_i$ si misura in V$\cdot\sqrt{\text{s}}$, la varianza in V²s $=$ V²/Hz).

Esempio. Se $\frac{N_0}2=2\cdot10^{-6}$ V²/Hz, $\sigma_I^2=2\cdot10^{-6}$ V²s e $\sigma_I=1{,}41\cdot10^{-3}$ V$\sqrt{\text{s}}$ per ogni dimensione. Se la base ha $I=2$ dimensioni, le due componenti sono due gaussiane indipendenti con questa varianza.

La densità del vettore ricevuto

Per l'indipendenza la densità congiunta di $\mathbf w$ è il prodotto delle densità marginali: $$p_{\mathbf w}(\mathbf u)=\prod_{i=1}^I\frac1{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{u_i^2}{N_0}}=\left(\frac1{\sqrt{\pi N_0}}\right)^Ie^{-\frac{\sum u_i^2}{N_0}}=\left(\frac1{\sqrt{\pi N_0}}\right)^Ie^{-\frac{\lVert\mathbf u\rVert^2}{N_0}}$$ (con $\frac1{\sqrt{2\pi\sigma_I^2}}=\frac1{\sqrt{\pi N_0}}$ e $\frac{u^2}{2\sigma_I^2}=\frac{u^2}{N_0}$). Poiché $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$, ipotizzando che sia stato trasmesso $s_m$, la densità del vettore ricevuto è $$\boxed{p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho\mid m)=\left(\frac1{\sqrt{\pi N_0}}\right)^Ie^{-\frac{\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2}{N_0}}.}$$ Dipende solo dalla distanza tra il punto ricevuto e quello trasmesso: il rumore non ha una direzione preferita, è circolare ("a campana" centrata sul punto trasmesso, con la stessa larghezza in tutte le direzioni).

Verso la probabilità di decisione corretta

La probabilità di decidere bene si scrive, con le regioni di decisione $\mathcal R_m$ e con la funzione indicatricevale 1 nella regione e 0 fuori $\mu_m(\boldsymbol\rho)=1$ se $\boldsymbol\rho\in\mathcal R_m$ e $0$ altrimenti, $$P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho\mid m)\,P_m\,d\boldsymbol\rho=\sum_m\int_{\mathbb R^I}\mu_m(\boldsymbol\rho)\,D(\boldsymbol\rho;m)\,d\boldsymbol\rho,\qquad D(\boldsymbol\rho;m)=P_m\,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho\mid m),$$ con $P_m$ la probabilità a priori del simbolo $m$. La funzione di decisione $D$ dipende dal rumore (cioè dal canale); i dati di progetto sono le $\mathcal R_m$, che vanno scelte per massimizzare l'integrale (cioè per ogni $\boldsymbol\rho$, scegliere la regione che massimizza $D$: Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →).

Esempio in dimensione 1. Tre punti $s_1,s_2,s_3$ con probabilità a priori $P_2\ll P_1,P_3$: le tre campane $D(\rho;m)=P_m\,p(\rho\mid m)$ hanno altezze diverse (la seconda molto più bassa); la regione scelta in $\rho$ è quella della campana più alta. Per spostare le campane più lontane tra loro (e ridurre le sovrapposizioni) si aumenta la distanza dei punti, cioè l'energia.

Errori comuni

• Dire che il rumore ha varianza $N_0$ per dimensione: è $\frac{N_0}2$.
• Credere che la varianza dipenda dalla base: $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ per qualsiasi base ortonormale.
• Dimenticare che l'indipendenza delle componenti richiede che siano gaussiane (non basta la scorrelazione).
• Pensare che $w_\perp$ influenzi la decisione: è ortogonale a tutti i segnali e viene scartata.