QAM - modulazione di ampiezza in quadratura

Idea

La PAM modula solo l'ampiezza e usa una dimensione (PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →). La QAM (quadrature amplitude modulation) modula sia l'ampiezza sia la fase della portante: i coefficienti da numeri reali diventano complessi, $$\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\,\alpha_{m,Q},$$ con una componente in fasecomponente moltiplicata per il coseno della portante (I) e una in quadraturacomponente moltiplicata per il seno della portante (Q). Il segnale trasmesso è $$s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_m\,h(t)\,e^{j2\pi f_0t}\right]=\left[\alpha_{m,I}\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}\sin(2\pi f_0t)\right]h(t),$$ dove $h(t)$ è l'impulso (il pulse shaperimpulso che dà la forma al segnale e determina l'ISI, che determina l'ISI: Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →) e $f_0$ la frequenza portante (carrier frequency). Il segnale è in banda passante (attorno a $f_0$), a differenza della PAM in banda base.

Base e costellazione

Con $f_0\gg\frac1T$ le funzioni $$\phi_1(t)=\sqrt{\frac2{E_h}}\cos(2\pi f_0t)\,h(t),\qquad\phi_2(t)=-\sqrt{\frac2{E_h}}\sin(2\pi f_0t)\,h(t)$$ sono ortonormali (il prodotto $\cos\cdot\sin$ si integra a zero, $\cos^2$ vale $\frac12$ in media e dà $\frac{E_h}2$, da cui il fattore $\sqrt{\frac2{E_h}}$). La dimensione è $I=2$ e $$\mathbf s_m=\sqrt{\frac{E_h}2}\,\left[\alpha_{m,I},\ \alpha_{m,Q}\right].$$

QAM quadrata ($M=L^2$): $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\in\{\pm1,\pm3,\dots,\pm(L-1)\}$: è il prodotto di due PAM a $L$ livelli. Esempio: $L=4$, $M=16$; le coordinate sono $\sqrt{\frac{E_h}2}\cdot\{\pm1,\pm3\}$ per ciascun asse (una griglia $4\times4$).

(Una possibile mappa di Gray: i primi due bit scelgono la colonna con $00,01,11,10$, gli ultimi due la riga con $00,01,11,10$ dal basso: i vicini orizzontali e verticali differiscono per un solo bit.) Altre costellazioni QAM hanno forma a croce o circolare ($M=8,32,128$, o la 256-QAM ottenuta da una griglia $16\times16$).

La distanza minima è quella tra due punti adiacenti: $d_{min}=2\sqrt{\frac{E_h}2}=\sqrt{2E_h}$. L'energia media si ottiene dalla somma delle due PAM (energia in unità di $\frac{E_h}2$): $E[\alpha_I^2+\alpha_Q^2]=2\frac{L^2-1}3=2\frac{M-1}3$, quindi $$E_s=\frac{E_h}2\cdot2\,\frac{M-1}3=\boxed{E_h\,\frac{M-1}3,\qquad E_h=E_s\frac3{M-1}.}$$ (Per $M=16$: $E_s=5E_h$.)

Probabilità di errore

Si usa il criterio MD (ottimo con AWGN ed equiprobabili, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →); le regioni sono quadrati (per i punti interni) e settori aperti (per i punti esterni). Le due componenti del rumore sono indipendenti, $\mathcal N\left(0,\frac{N_0}2\right)$. Poiché la distanza da una soglia è $\frac{d_{min}}2=\sqrt{\frac{E_h}2}$, il rapporto con $\sigma_I$ è $\frac{\sqrt{E_h/2}}{\sqrt{N_0/2}}=\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}$. Si distinguono tre casi di punti:

• A: angoli (4 punti, due soglie di contorno vicine): $P_A=\left[1-Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2$;
• B: lati ($4(L-2)$ punti, una coordinata con una soglia, l'altra con due): $P_B=\left[1-Q\right]\left[1-2Q\right]$;
• C: interni ($(L-2)^2$ punti, quattro soglie): $P_C=\left[1-2Q\right]^2$,

con $Q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)$ e probabilità di decisione corretta (condizionata) per ognuno. Allora $P[C]=\frac1M\left[4P_A+4(L-2)P_B+(L-2)^2P_C\right]$. Poiché la QAM quadrata è il prodotto di due PAM a $L$ livelli con rumori indipendenti, il risultato si semplifica: con $P_L=2\left(1-\frac1L\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)$ (l'errore di ciascuna PAM, dove l'energia di ognuna è $\frac{E_h}2$ e quindi $\sqrt{\frac{2E_h/2}{N_0}}$), si ha $P[C]=(1-P_L)^2$: $$P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1L\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1L\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)$$ (si trascura il termine quadratico). Sostituendo $E_h=\frac{3E_s}{M-1}$ e $L=\sqrt M$: $$\boxed{P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\,\frac{E_s}{N_0}}\right).}$$ Con la codifica di Gray, $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. Con l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{N_0TB_{min}}$ e $B_{min}=\frac1T$ (banda passantespettro attorno alla frequenza portante) si ha $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$ e $$\boxed{P_{bit}\approx\frac4{\log_2M}\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right).}$$

Verifiche. $M=4$: $E_h=E_s$ e $P[E]=1-(1-Q(\sqrt{E_s/N_0}))^2\approx2Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$, il risultato della 4-PSK (QPSK). Per $M=16$ e $\Gamma=20$ dB ($\Gamma=100$): $\sqrt{\frac{3\cdot100}{15}}=4{,}47$, $P_{bit}\approx\frac44\cdot\frac34Q(4{,}47)=0{,}75\cdot3{,}87\cdot10^{-6}=2{,}9\cdot10^{-6}$ ($P[E]\approx3Q=1{,}16\cdot10^{-5}$). A $\Gamma=15$ dB: $P_{bit}\approx4{,}5\cdot10^{-3}$. Con simulazione Monte Carlo a $\Gamma=10$ dB: $P[E]=0{,}222$ (formula esatta $0{,}222$, approssimata $0{,}236$: l'approssimazione sovrastima a SNR basso).

Pro e contro

• Pro: due dimensioni nella stessa banda $\frac1T$: a parità di banda e di distanza trasmette più bit della PAM (stessa efficienza spettrale di PAM, ma in banda passante); a SNR alto è la scelta migliore tra le modulazioni di ampiezza e fase (Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →).
• Contro: l'energia media cresce con $M$ ($E_s\propto M$ a parità di $E_h$) e a SNR basso le costellazioni fitte sono troppo vulnerabili al rumore: si usa una cardinalità più bassa.

Errori comuni

• Usare $\alpha_m\sqrt{E_h}$ come coordinata invece di $\alpha_m\sqrt{E_h/2}$: la base ha il fattore $\sqrt{\frac2{E_h}}$.
• Dimenticare che $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$ per la QAM (banda $\frac1T$): è $\frac{2E_s}{N_0}$ per la PAM.
• Applicare $P[E]\approx4(1-\frac1{\sqrt M})Q$ a $M$ non quadrato (8, 32): non vale.
• Scambiare $M$ con $L=\sqrt M$ nel fattore $\left(1-\frac1L\right)$.