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Note per Studenti Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta

Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta

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Il modello AWGN

Dal punto di vista elettrico un sistema di trasmissione è una catena: canale fisico (impedenze di ingresso e di uscita Zch,inZ_{ch,in}, Zch,outZ_{ch,out}), front-end del ricevitore (impedenze, amplificatore) e il carico (Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →). Si traduce in uno schema a blocchi di signal processing:

stx(t) → hch → src(t) →+ wrc(t) rrc(t) → grc → rL(t)s_{tx}(t)\ \to\ \boxed{h_{ch}}\ \to\ s_{rc}(t)\ \xrightarrow{+\,w_{rc}(t)}\ r_{rc}(t)\ \to\ \boxed{g_{rc}}\ \to\ r_L(t)

  • src=stx∗hchs_{rc}=s_{tx}*h_{ch} è il segnale dopo il canale;
  • si somma il rumore: rrc=src+wrcr_{rc}=s_{rc}+w_{rc};
  • il ricevitore filtra: rL=rrc∗grcr_L=r_{rc}*g_{rc}.

Il rumore wrcw_{rc} rappresenta tutte le non idealità, sia del canale fisico sia del front-endprimo stadio del ricevitore: antenna, filtri, amplificatore. È un processo di tipo AWGN (additive white Gaussian noise):

  • Additivo: si somma al segnale;
  • White (biancocon la stessa densità di potenza a tutte le frequenze in banda): la densità spettrale di potenza è la stessa a tutte le frequenze (in banda);
  • Gaussiano: ha distribuzione gaussiana (è rumore termico: somma di moltissimi contributi indipendenti);
  • Noise.

Questo è uno dei modelli possibili (non cattura il fading, le interferenze, il multipath).

La densità del rumore

All'ingresso del front-end il rumore della sorgente ha densità 12kTS\frac12kT_S (Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →); all'uscita, con guadagno g(f)g(f) e rumore aggiunto dal ricevitore, pw,out(f)=12k Teff g(f),Teff=TS+TA.p_{w,out}(f)=\tfrac12k\,T_{eff}\,g(f),\qquad T_{eff}=T_S+T_A. Per passare alla densità spettrale di potenza statistica (in V²/Hz) del rumore: pw,out(f)=Pw,out(f)RL(f)∣ZL(f)∣2p_{w,out}(f)=\mathcal P_{w,out}(f)\frac{R_L(f)}{\lvert Z_L(f)\rvert^2} (Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →). La si indica Pw(f)=N02,\mathcal P_{w}(f)=\frac{N_0}2, dove N0N_0 è la densità di rumore bilatera (convenzione: N02\frac{N_0}2 per essere N0N_0 nella banda "unilatera"). Per una banda BB (da −B-B a BB, quindi larga 2B2B, oppure due fette larghe BB attorno a ±f0\pm f_0 per un segnale passa-banda): Mw=∫Pw(f) df=2B⋅N02=N0 B.M_w=\int\mathcal P_w(f)\,df=2B\cdot\frac{N_0}2=N_0\,B.

Rapporto segnale/rumore

L'SNR dice quanto è "buono" il segnale: esistono due definizioni.

  • SNR statisticorapporto tra le potenze statistiche (in V quadro) del segnale e del rumore: ΛM=E[∣s(t)∣2]E[∣w(t)∣2]=∫Ps(f) df∫Pw(f) df\Lambda_M=\dfrac{E\left[\lvert s(t)\rvert^2\right]}{E\left[\lvert w(t)\rvert^2\right]}=\dfrac{\int\mathcal P_s(f)\,df}{\int\mathcal P_w(f)\,df} (per segnale a media nulla);
  • SNR elettrico: ΛP=PsPw=∫RL∣ZL∣2Ps df∫RL∣ZL∣2Pw df\Lambda_P=\dfrac{P_s}{P_w}=\dfrac{\int\frac{R_L}{\lvert Z_L\rvert^2}\mathcal P_s\,df}{\int\frac{R_L}{\lvert Z_L\rvert^2}\mathcal P_w\,df} (potenze in watt).

In una banda BB in cui l'impedenza è la stessa per segnale e rumore, Z(f)=ZZ(f)=Z, i due coincidono: ΛM=ΛP\Lambda_M=\Lambda_P. Si parla di SNR sul segnale o in banda; più è alto, più è bassa la probabilità di sbagliare un simbolo (Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di erroreDue segnali $s_1,s_2$ hanno costellazione $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\rho\sqrt{E_2},\sqrt{E_2(1-\rho^2)})$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]$ e distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$. Con AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$. A parità di energia $E_s$ il minimo errore si ha per $\rho=-1$ (antipodale: $Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right)$); per $\rho=0$ (ortogonale) $Q\left(\sqrt{E_s/N_0}\right)$, 3 dB peggio.Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore →).

Vogliamo legare l'SNR ai parametri del collegamento, cioè la potenza trasmessa PtxP_{tx} e la banda BB (il "link budgetbilancio dei guadagni e delle attenuazioni lungo il collegamento che dà l'SNR").

Front-end. Si ipotizza che il guadagno del front-end in banda sia costante, grc(f)=gg_{rc}(f)=g (il ricevitore lo progettiamo noi). Allora, con PrcP_{rc} la potenza elettrica del segnale all'ingresso del ricevitore: Ps=∫Bps,out df=Prc g,Pw=2∫0B12kTeffg df=kTeff g B,P_s=\int_{\mathcal B}p_{s,out}\,df=P_{rc}\,g,\qquad P_w=2\int_0^B\tfrac12kT_{eff}g\,df=kT_{eff}\,g\,B, ΛP=ΛM=Prc gkTeff g B=PrckTeff B.\Lambda_P=\Lambda_M=\frac{P_{rc}\,g}{kT_{eff}\,g\,B}=\boxed{\frac{P_{rc}}{kT_{eff}\,B}.} (il guadagno del front-end si semplifica: moltiplica segnale e rumore.)

Canale a banda strettail canale ha attenuazione circa costante nella banda del segnale. Si vorrebbe esprimere PrcP_{rc} con PtxP_{tx}: servirebbe integrare sulla risposta del canale. Si considera allora il caso particolare in cui ∣Hch(f)∣\lvert H_{ch}(f)\rvert è circa costante nella banda del segnale (la banda è stretta rispetto a come varia il canale): in quella banda il canale è un'attenuazione costante cc e un ritardo, src(t)=c stx(t−t0)s_{rc}(t)=c\,s_{tx}(t-t_0). Perciò Mrc=Mtxc2M_{rc}=M_{tx}c^2 con c2≈∣Hch(f)∣2=gchc^2\approx\lvert H_{ch}(f)\rvert^2=g_{ch} (guadagno del canale in potenza), e Prc=Ptx gch=PtxachP_{rc}=P_{tx}\,g_{ch}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}} con ach=1gcha_{ch}=\frac1{g_{ch}} l'attenuazione: Λ=Ptxk Teff B ach.\boxed{\Lambda=\frac{P_{tx}}{k\,T_{eff}\,B\,a_{ch}}.}

In decibel. kT0=4,0⋅10−21kT_0=4{,}0\cdot10^{-21} W/Hz =−174=-174 dBm/Hz; su 11 MHz =+60=+60 dB si ha −114-114 dBm: 10log⁡10(k T0⋅106 Hz⋅103 mW/W)=−11410\log_{10}\left(k\,T_0\cdot10^6\ \text{Hz}\cdot10^3\ \text{mW/W}\right)=-114. Quindi [Λ]dB=(Ptx)dBm−(ach)dB+114−10log⁡10TeffT0−10log⁡10BMHz.\boxed{\left[\Lambda\right]_{dB}=\left(P_{tx}\right)_{dBm}-\left(a_{ch}\right)_{dB}+114-10\log_{10}\frac{T_{eff}}{T_0}-10\log_{10}B_{MHz}.} Se la sorgente è a T0T_0 (TS=T0T_S=T_0, Teff=T0FT_{eff}=T_0F) il termine 10log⁡10TeffT010\log_{10}\frac{T_{eff}}{T_0} è la figura di rumore FdBF_{dB}. È la formula che si usa in tutti gli esercizi di collegamento.

Esempio. Radio locale: Ptx=10P_{tx}=10 mW =10=10 dBm, attenuazione ach=90a_{ch}=90 dB, ricevitore con F=17F=17 dB, banda B=60B=60 kHz =0,06=0{,}06 MHz (10log⁡100,06=−12,210\log_{10}0{,}06=-12{,}2 dB): ΛdB=10−90+114−17+12,2=29,2 dB (≈830).\Lambda_{dB}=10-90+114-17+12{,}2=29{,}2\ \text{dB}\ (\approx830). (Calcolato in lineare: 10−2⋅10−91,38⋅10−23⋅290⋅50,1⋅6⋅104=830\frac{10^{-2}\cdot10^{-9}}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290\cdot50{,}1\cdot6\cdot10^4}=830: 29,229{,}2 dB: Esercizio 11 · radio locale in M-QAM, distanza, SNR, cardinalità e potenza minima (temi d'esame gennaio e agosto 2025).)

Variazione con la distanza

L'attenuazione varia con la distanza e con il mezzo (Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →); noto l'SNR a una distanza si ricava quello a un'altra dalla sola differenza di attenuazione, perché tutti gli altri termini restano uguali. Esempio (foglio di esercizi). Un drone è comandato con un segnale di banda 250250 Hz attorno a 1,051{,}05 MHz; a 11 m l'SNR è 8484 dB e non deve scendere sotto 3030 dB. La differenza ammessa è 5454 dB: in spazio libero a∝d2a\propto d^2, quindi dM2d02=105,4\frac{d_M^2}{d_0^2}=10^{5{,}4} e dM=1 m⋅102,7≈501d_M=1\ \text{m}\cdot10^{2{,}7}\approx501 m.

Errori comuni

  • Usare la banda in Hz nella formula in dB (serve in MHz) o la potenza in dBW (serve dBm, altrimenti la costante cambia: +144+144 per dBW).
  • Dimenticare di sottrarre FdBF_{dB} (o la temperatura efficace) dall'SNR.
  • Applicare la formula a un canale a banda larga senza verificare che l'attenuazione sia circa costante in banda.
  • Confondere N0N_0 con N02\frac{N_0}2: il rumore in banda BB vale N0BN_0B.

Versione ripasso

  • Modello: stx→hch→srcs_{tx}\to h_{ch}\to s_{rc}, +wrc+w_{rc} (AWGN), →grc→rL\to g_{rc}\to r_L. ww: additivo, bianco, gaussiano, a tutte le non idealità.
  • Rumore: all'uscita 12kTeffg\frac12kT_{eff}g, Teff=TS+TAT_{eff}=T_S+T_A. Statistico Pw=N02\mathcal P_w=\frac{N_0}2 (N0N_0 bilatera), potenza in banda Mw=N0BM_w=N_0B.
  • SNR: ΛM=E[∣s∣2]E[∣w∣2]\Lambda_M=\frac{E[\lvert s\rvert^2]}{E[\lvert w\rvert^2]} (statistico), ΛP=PsPw\Lambda_P=\frac{P_s}{P_w} (elettrico); uguali se ZZ costante in banda.
  • Link budget (guadagno front-end costante, canale a banda stretta): Λ=PrckTeffB=PtxkTeffB ach\Lambda=\frac{P_{rc}}{kT_{eff}B}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B\,a_{ch}}.
  • In dB: ΛdB=Ptx,dBm−ach,dB+114−FdB−10log⁡10BMHz\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz} (kT0=−174kT_0=-174 dBm/Hz). Es.: 10−90+114−17+12,2=29,210-90+114-17+12{,}2=29{,}2 dB.
  • Distanza: differenza di SNR = differenza di attenuazione; a∝d2a\propto d^2 (drone: 5454 dB →d=501\to d=501 m).
  • Errori tipici: banda in MHz; dBm (non dBW); dimenticare FF; N0N_0 vs N02\frac{N_0}2.

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