Canale numerico, ISI e codifica di Gray

Il canale numerico

La catena completa del trasmettitore e del ricevitore è:

$$b_\ell\xrightarrow{T_b}\boxed{\text{BMAP}}\xrightarrow{a_k,\ T}\boxed{\text{MOD}}\xrightarrow{s_{tx}(t)}\boxed{\text{canale}}\xrightarrow{r(t)}\boxed{\text{proiezione}}\xrightarrow{\mathbf r}\boxed{\text{rivelatore}}\xrightarrow{\hat a_k}\boxed{\text{IMAP}}\xrightarrow{\hat b_\ell,\ T_b}$$

• BMAP (bit mapping) raggruppa $\log_2M$ bit in un simbolo $a_k$;
• il modulatore lo trasforma nel segnale $s_{m}(t)$ (con $m$ dato da $a_k$); il periodo di simbolo e la frequenza di simbolo (in baud) sono $$T=T_b\log_2M,\qquad R=\frac{R_b}{\log_2M}\quad\left(R_b=\frac1{T_b}\right);$$
• il canale fa $r(t)=c\,s_{tx}(t)+w(t)$ (modello a banda stretta: $\lvert c\rvert^2=g_{ch}$ dipende da guadagno e attenuazione, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →);
• il demodulatore ha due parti: il proiettore (calcola $\mathbf r=\langle r,\phi_i\rangle$, Ricevitore a correlatori e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza proietta $r(t)$ sulla base, $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=\int r\phi_i^dt$, e sceglie il punto $\mathbf s_m$ più vicino. Ogni proiezione è un filtro con risposta impulsiva $g_i(t)=\phi_i^(t_0-t)$ (filtro adattato) campionato in $t_0$, la durata dell'impulso. Alternativa: $\hat m=\arg\max_m\left{\operatorname{Re}\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right}$, con $M$ filtri adattati ai segnali: conviene la prima se $M\gg I$, la seconda se $M\approx I$ (non serve calcolare la base).Ricevitore a correlatori e filtro adattato →) e il rivelatore (detector, applica MAP, ML o MD, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →);
• IMAP trasforma i simboli decisi nei bit.

Esempio. Un collegamento a $R_b=20$ Mbit/s con 16-QAM ($\log_2M=4$) ha $R=5$ Msimboli/s e $T=0{,}2\ \mu$s.

Il canale numerico è il blocco ideale equivalente: dal modulatore al rivelatore si vede come una scatola in cui entrano bit ed escono bit, con qualche errore.

Interferenza intersimbolo (ISI)

Stiamo trasmettendo un simbolo alla volta. Ma non è scontato che ciò che si riceve a un istante dipenda solo dal segnale trasmesso in quel periodo: se le forme d'onda durano più di $T$, si sovrappongono e ciò che si riceve in un periodo dipende anche dai simboli precedenti. Questa è l'interferenza intersimboloeffetto dei simboli precedenti sul simbolo che si sta ricevendo, quando gli impulsi si sovrappongono (ISI, intersymbol interference), un problema grave. Condizione di assenza di ISI (condizione di Nyquist): le forme d'onda devono essere ortogonali alle proprie versioni traslate di multipli del periodo di simbolo, $$\boxed{\langle\phi_i(t),\ \phi_j(t-kT)\rangle=0\qquad\forall\,i,j,\ \forall k\ne0.}$$

Casi pratici:

• impulso rettangolare $A\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{D}\right)$ di durata $D$: non c'è ISI se $T\ge D$ (le traslate non si sovrappongono); con $T=D$ si trasmette al massimo ritmo possibile;
• impulso triangolare $\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}{\tau}\right)$: dura $2\tau$ e serve $T\ge2\tau$;
• $\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)$: le sue traslate di $kT$ sono ortogonali ($\operatorname{sinc}$ ha zeri in $kT$ e lo spettro è $T\operatorname{rect}(fT)$), anche se dura per sempre.

Causalità. Un impulso centrato in $t_0$ con durata $D$ è nullo per $t<0$ solo se $t_0\ge\frac D2$.

Esempio (da un foglio di esercizi). Impulso $h_{tx}(t)=10\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}{5\ \text{s}}\right)$: ha durata $10$ s, quindi è causale se $t_0\ge5$ s e non c'è ISI con $T=10$ s. Con $T=5$ s le code di simboli consecutivi si sommerebbero.

Pulse shaping. Non si possono generare veri rettangoli (richiedono banda infinita, Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenzaRipasso dei segnali per le comunicazioni. Un segnale ha un'energia $E=\int|s|^2dt$ e, se questa è infinita, una potenza media; il teorema di Parseval la riscrive in frequenza con la densità di energia $|S(f)|^2$. Un segnale a durata finita ha banda infinita, quindi si definisce una banda pratica (primo zero, ampiezza, energia). Un sistema LTI non distorce se nella banda del segnale ha $H(f)=A_0e^{-j2\pi ft_0}$. La modulazione moltiplica per una portante e trasla lo spettro.Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenza →). Si modellano allora gli impulsi in modo che siano simili a un rettangolo ma con banda limitata e senza ISI; si usa tipicamente il coseno rialzatoimpulso a banda limitata senza ISI che somiglia a un rettangolo (raised cosine), con un parametro $\alpha$ (roll-offparametro del coseno rialzato tra 0 e 1: più è grande, più banda occupa l'impulso) tra $0$ e $1$ che dice quanto l'impulso somiglia a un rettangolo in banda: più $\alpha$ è grande, più è facile da realizzare ma più banda occupa. Nel corso, negli esercizi, si usa sempre un rettangolo per semplicità.

Il canale binario simmetrico

Con simboli binari il canale numerico è il BSC (binary symmetric channel):

• $P_{0|0}=P_{1|1}=1-P_{bit}$ e $P_{1|0}=P_{0|1}=P_{bit}$, con $P_{bit}$ la probabilità di errore su un bit;
• $P[C]=P_0P_{0|0}+P_1P_{1|1}$.

Con $M>2$ simboli (per esempio 4) sbagliare un simbolo non è come sbagliare un bit: se il simbolo $00$ viene ricevuto come $01$ si è sbagliato un bit, ma se viene ricevuto come $11$ se ne sbagliano due. Quindi in generale $$P[E]\ne P_{bit}.$$ Con due simboli ($M=2$), invece, $P_{bit}=P[E]$.

Codifica di Gray

Strategia: associare le parole di bit ai simboli in modo che simboli vicini abbiano parole molto simili. Si misura la similitudine con la distanza di Hammingnumero di bit in cui due parole differiscono $d_H(\xi,\xi^*)=\sum_j\left(1-\delta_{\xi_j,\xi_j^*}\right)$, il numero di bit in cui due parole differiscono (per esempio $000$ e $001$: $d_H=1$; $001$ e $100$: $d_H=2$).

Perché serve: l'errore più probabile è finire nella regione vicina; se i vicini differiscono di un solo bit, quasi ogni errore di simbolo costa un solo bit sbagliato.

Come si costruisce un codice di Gray (per riflessione): si parte da $M=2$: $0,1$. Per raddoppiare si riflette la lista in basso e si aggiunge $0$ davanti alla prima metà e $1$ davanti alla seconda:

Righe consecutive (e la prima e l'ultima) differiscono per un solo bit. Per una QAM quadrata si assegna un codice di Gray a ciascun asse (per $M=16$: $00,01,11,10$ sulle colonne e sulle righe): ogni punto ha bit dell'asse $I$ e dell'asse $Q$, e i vicini orizzontali o verticali differiscono per un bit (QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →).

Conseguenza. Se gli errori avvengono verso i simboli vicini e $P[E]$ è piccola: $$\boxed{P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}.}$$ Un errore di simbolo (un solo bit sbagliato su $\log_2M$) costa circa $\frac1{\log_2M}$ di bit.

Esempio. 4-PAM con $P[E]=0{,}16$: con la mappa di Gray $00,01,11,10$ sui livelli $-3,-1,+1,+3$, $P_{bit}\approx\frac{0{,}16}2=0{,}08$. (Non è la mappa naturale $00,01,10,11$, in cui lo scambio tra $-1$ e $+1$ cambia due bit.)

Errori comuni

• Dire che $P_{bit}=P[E]$ anche con $M>2$: vale solo per $M=2$; altrimenti serve la mappa (con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$).
• Scegliere la forma d'onda troppo lunga rispetto a $T$: si ha ISI.
• Dimenticare la causalità: il segnale centrato in $t_0$ deve avere $t_0\ge\frac D2$.
• Applicare $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$ senza Gray, o quando gli errori verso i simboli lontani non sono trascurabili (SNR basso).